高考中簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法探討

文香丹

摘 要 線性規(guī)劃是近幾年高考的必考內(nèi)容，線性規(guī)劃問(wèn)題已成為近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。高考以考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值重點(diǎn)，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義（如斜率、距離、面積等），多以選擇題、填空題以及解答題中的小題出現(xiàn)。本文主要介紹解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題中的圖解法，并對(duì)近幾年全國(guó)各高考試卷中出現(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題解法作一些探討。

關(guān)鍵詞 可行域 圖解法 最值 約束條件

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Study of Solution to Simple Linear Programming

in College Entrance Examination

WEN Xiangdan

（College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133002）.

Abstract A simple linear programming is a necessary part for college entrance examination and it has become a hot problem in recent years. In the college entrance examination， optimal value of linear objective function， algebraic expression of geometry （e.g.， slope， distance， area， etc.） can be examined in the form of multiple choice question， filling in the blanks and small items of answering questions. This paper mainly introduces the solution to graphical method of simple linear programming， makes a further study of solving problems related to national college entrance examination these years.

Key words feasible線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)基本分支，其應(yīng)用極其廣泛，其作用已為越來(lái)越多的人所重視。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是溝通幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的重要橋梁，是不等式與解析幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的集中體現(xiàn)。

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題（例如在生產(chǎn)條件不變的情況下，如何通過(guò)統(tǒng)籌安排，改進(jìn)生產(chǎn)組織或計(jì)劃，合理安排人力、物力資源，組織生產(chǎn)過(guò)程，使總的經(jīng)濟(jì)效益最好）找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求最優(yōu)解。

1 用圖解法解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的算法步驟

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，我們可以用圖解法來(lái)求解。圖解法不僅直觀，而且可從中得到有關(guān)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的許多重要結(jié)論，有助于我們理解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題求解方法的基本原理。圖解法要求是：在平面上畫出可行域，畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線，將目標(biāo)函數(shù)的等值線平移得到最優(yōu)解。

圖解法的步驟為：

第一步：建立平面直角坐標(biāo)系；

第二步：圖示簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件，畫出簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域；

第三步：畫出目標(biāo)函數(shù) = + 的法線方向；

第四步：圖示目標(biāo)函數(shù)的等值線束（注意等值線束必須在可行域內(nèi)）；

第五步：若是求最大值問(wèn)題，將目標(biāo)函數(shù)的等值線束沿其法線正方向平移，（若是求最小值問(wèn)題，將目標(biāo)函數(shù)的等值線束沿其法線負(fù)方向平移），直到再繼續(xù)移動(dòng)就與可行域不相交時(shí)為止，此時(shí)該目標(biāo)函數(shù)直線與可行域的交點(diǎn)即為最優(yōu)解。

2 已知線性約束條件，探求線性目標(biāo)函數(shù)最值

例1 （2012年全國(guó)新課標(biāo)卷·理）設(shè)，滿足約束條件：

則 = 的取值范圍為（ ）。

解：這一問(wèn)題的可行域如圖1所示。目標(biāo)函數(shù)的等值線 = 沿法線正方向平移，得到最優(yōu)解，而最大值為 = = 0。目標(biāo)函數(shù)的等值線 = 沿負(fù)法線方向平移，得到最優(yōu)解，而最小值為 = = 0。因此， = 的取值范圍為〔〕。

3 構(gòu)造線性約束條件，探求應(yīng)用問(wèn)題最值

例2 （2012年四川卷·理）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)300元，每桶乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)400元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A原料不超過(guò)12千克，B原料不超過(guò)12千克。通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是

A.1500元 B.2200元 C.2600元 D.2800元

解：設(shè)生產(chǎn)桶甲產(chǎn)品，桶乙產(chǎn)品，總利潤(rùn)為，故該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型即

在約束條件下，求 = + 目標(biāo)函數(shù)的最大值。

這一問(wèn)題的可行域如圖2所示。目標(biāo)函數(shù)的等值線1200 = + 沿法線正方向平移，得到最優(yōu)解，而最大值為 = 1200 + 1600 = 2800，故選擇D。

4 最優(yōu)解問(wèn)題

在線性規(guī)劃問(wèn)題中，線性約束條件所確定的可行域包括其邊界，則目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解個(gè)數(shù)往往是一個(gè)或無(wú)窮多個(gè)，一般地有：（1）最優(yōu)解個(gè)數(shù)為一個(gè)時(shí)，可在可行域的邊界交點(diǎn)處取得；（2）最優(yōu)解個(gè)數(shù)為無(wú)窮多個(gè)時(shí)，可在可行域的一條邊界上取得，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線與這條邊界重合。

利用以上兩個(gè)結(jié)論來(lái)處理高考題中的線性規(guī)劃客觀題，簡(jiǎn)潔明快，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，下面舉例說(shuō)明最優(yōu)解個(gè)數(shù)為無(wú)窮多個(gè)情況。

例3 （2006年湖北卷·理）已知平面區(qū)域由以（1，3），（5，2），（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成。若在區(qū)域上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（）可使目標(biāo)函數(shù) = + 取得最小值，則 = （ ）

A.2 B.1 C.1 D.4

解：為使目標(biāo)函數(shù) = + 的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，直線 = + 應(yīng)與邊界線或或重合。而要使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，只能與直線重合，于是 = = ，即 = 1故選C。

總之，利用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的圖解法，可以提高學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文從圖解法解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題出發(fā)，將不等式作為解決優(yōu)化問(wèn)題的工具，用不等式組刻畫平面區(qū)域，借助幾何直觀解決一些簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，有助于學(xué)生體會(huì)優(yōu)化思想，理解數(shù)形結(jié)合方法，體會(huì)不等式在解決與實(shí)際情境相關(guān)的優(yōu)化問(wèn)題中的工具作用。

region； graphical method； optimal value

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