一類離散型隨機(jī)變量的期望與方差的簡(jiǎn)單解法

趙蕾

摘 要 在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差的過程中，使用定義計(jì)算往往比較困難，本文介紹了兩種簡(jiǎn)單方法：將隨機(jī)變量進(jìn)行分解、利用離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)。這兩種方法大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，對(duì)隨機(jī)變量的期望與方差的學(xué)習(xí)具有一定的啟發(fā)和價(jià)值。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)期望 方差 離散型隨機(jī)變量 概率分布

中圖分類號(hào)：O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

A Simple Way of Computing the Mathematical Expectation

and Variance of Discrete Random Variables

ZHAO Lei

（The College of Post and Telecommunication of WIT， Wuhan， Hubei 430074）

Abstract It's usually difficult to compute the mathematical expectation and variance of discrete random variables by definition. This paper proposes two simple methods as resolving the random variable and using the probability distribution of discrete random variable. Results show that the two methods can simplify calculations， which have great enlightening significance and reference value to study of the mathematical expectation and variance of discrete random variables.

Key words mathematical expectation； variance； discrete random variables； probability distributions

數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是隨機(jī)變量取值的離散程度的一種度量，數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量的兩個(gè)重要的數(shù)字特征。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們往往通過定義，先求出它的分布律（ = ） = ， = 1，2，…，再計(jì)算（）及（），則方差（） = （）[（）]2。但有些時(shí)候，使用定義計(jì)算比較困難，因此，掌握求數(shù)學(xué)期望與方差的技巧及一些簡(jiǎn)化方法是非常重要的。本文提出了兩種計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差的簡(jiǎn)單方法：將隨機(jī)變量進(jìn)行分解、利用離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)。下面結(jié)合具體問題，介紹這兩種方法的使用過程。

1 將隨機(jī)變量進(jìn)行分解

通過將隨機(jī)變量進(jìn)行分解，將它拆分成若干個(gè)隨機(jī)變量的和，可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

例1①② 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布 （），求（）、（）。

解法一： （），則的分布律為 = （ = ） = ， = 0，1，2，…，則

（） = = ， （） = = + ，則方差（） = （）[（）]2 =

從以上解法中可以看出，計(jì)算量是比較大的，有些學(xué)生可能算不出來。如果我們考慮將隨機(jī)變量進(jìn)行分解，則可以使計(jì)算過程大大簡(jiǎn)化。

解法二： （），設(shè)事件發(fā)生的概率為，（） = ，則就可以看作重伯努利實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)。

令

則 = ，且，…，相互獨(dú)立同分布，的概率分布為（ = 1） = ，（ = 0） = 1，故（） = ，（） = ， = 1，2，…。因?yàn)?，…，相互?dú)立，故（） = （） = （） = （） = （） = （） = 。

顯然，解法二將隨機(jī)變量分解成個(gè)隨機(jī)變量的和，使得計(jì)算過程簡(jiǎn)便易算。

2 利用離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)

某些情況下，已知離散型隨機(jī)變量的概率分布，可以構(gòu)造隨機(jī)變量，賦予其實(shí)際意義，再利用分布律的性質(zhì)， = 1，推導(dǎo)出一系列求和公式，在計(jì)算過程中，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。

例2③ 已知隨機(jī)變量的分布律是（ = ） = ， = ，，…求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

解：按照離散型隨機(jī)變量期望的計(jì)算公式

（） = ·（ = ） = ·，

（） = ·（ = ） = ·，

（） = （）[（）]2

容易發(fā)現(xiàn)，直接求（）和（）是比較困難的，如果我們考察隨機(jī)變量的實(shí)際意義，并利用分布律的性質(zhì)來求級(jí)數(shù)（）和（），則將簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.1 構(gòu)造隨機(jī)變量，推導(dǎo)出求和公式

在伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件成功的概率是，得到次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)用隨機(jī)變量來表示，則剛好有

（ = ） = ， = ，，…

于是 = 1 （1）

更一般地，得到 +1次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)用隨機(jī)變量表示，則有（ = + 1） = ， = ，，… 那么

= 1 （2）

得到 +2次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)用隨機(jī)變量表示，則有（ = + 2） = · = ， = ，，…

則 = 1 （3）

2.2 利用求和公式進(jìn)行隨機(jī)變量的期望與方差的簡(jiǎn)化計(jì)算

按照數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式：

（） = ·（ = ） = ·

= =

= =

利用（2）式，得到（） = ，考慮到（）直接求解比較困難，我們先計(jì)算（（ + 1））

（（ + 1）） = ·（ + 1）·（ = ）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

= ·（ + 1）

=

根據(jù)（3）式，可以得到

（（ + 1）） = （） + （） = 故方差（）= （）[（）]2 = =

3 結(jié)論

以上我們提出了求解離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征的兩種簡(jiǎn)單方法，其思想新穎、巧妙，在求解過程中大大簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)隨機(jī)變量的期望與方差的學(xué)習(xí)具有一定的啟發(fā)和價(jià)值。 這兩種方法的思想不同，都建立在對(duì)隨機(jī)變量的深刻認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上，特別是利用離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)，它是概率論與高等數(shù)學(xué)（級(jí)數(shù)）相結(jié)合的一種實(shí)踐，可以用這種思想來求解更多類似問題。

注釋

① 葉鷹，李萍，劉小茂.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004：84-99.

② 韓明，羅明安，林孔容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2010：70-83.

③ 熊德之，張志軍，羅進(jìn).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2009：69-92.