高等數(shù)學(xué)課程中定積分及其應(yīng)用教學(xué)改革初探

趙侯宇

摘要：定積分及其應(yīng)用在整個(gè)高等數(shù)學(xué)課程中占據(jù)著重要位置，可看作微分部分的后續(xù)課程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究的能力具有不可替代的作用。文章針對(duì)定積分及其應(yīng)用的特點(diǎn)和當(dāng)前教學(xué)中存在的問(wèn)題，通過(guò)幾道題目闡釋了教學(xué)改革中應(yīng)注意的一些問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)改革

定積分作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分占據(jù)著重要位置，這部分內(nèi)容的幾何意義比較明確，解題方法靈活多樣.因此在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)做練習(xí)的方式去自己體會(huì)、總結(jié)解題規(guī)律，特別是應(yīng)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)和已解決過(guò)的問(wèn)題來(lái)處理未知問(wèn)題就顯得尤為重要。下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明解題經(jīng)驗(yàn)積累的重要性。

例1 求■■cos（πt2）dt

分析：該題的上下限都是函數(shù)，而在課堂上老師教給學(xué)生的一般都只是變上限函數(shù)，即形如■f（t）dt，而對(duì)于這種上下都是變化的函數(shù)時(shí)，顯然需要引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)。針對(duì)此題，如果學(xué)生知道了變上限函數(shù)該如何求導(dǎo)，再應(yīng)用定積分的性質(zhì)即可得到答案。

解：原式=■■cos（πt2）dt+■■cos（πt2）dt

=-■■cos（πt2）+■■cos（πt2）dt

=-cos（πsin2x）cosx-cos（πcos2x）sinx。

例2 求極限limx→0■

分析：經(jīng)過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x→0時(shí)，這是一個(gè)■型的問(wèn)題，并且可用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算，此外，該題也考察了變上限函數(shù)的求導(dǎo)公式，如果學(xué)生對(duì)這些掌握熟練的話，相信很快便能寫(xiě)出答案。

解：原式=limx→0■=limx→0■

=limx→0■=2。

例3 求■e2xcosxdx

分析：如果教師在課堂上介紹了一類(lèi)特殊定積分的求法，即■excosxdx，學(xué)生對(duì)此類(lèi)習(xí)題經(jīng)過(guò)一些練習(xí)后，會(huì)很快想到用類(lèi)似方法進(jìn)行計(jì)算。

解：令■e2xcosxdx=T

則原式=e2xsinx|■■-2■e2xsinxdx

=e2xsinx|■■-2[-e2xcosx|■■+2■e2xcosxdx]

=e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■-4T

從而可得原式=■[e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■]=■。

例4 求由下列曲線所圍成的圖形的面積：y=ex，y=e-x及直線x=1。

分析：此題考查學(xué)生對(duì)定積分在幾何上的應(yīng)用。教師在課堂上對(duì)平面圖形面積的求法進(jìn)行細(xì)致的分析，通過(guò)元素法使學(xué)生懂得平面圖形面積的求法，那么此題即可解決。

解：先求出這幾條曲線的交點(diǎn)，易求得交點(diǎn)為（1，e），（1，■），（0，1），取橫坐標(biāo)x為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，1]，相應(yīng)于[0，1]上任一小區(qū)間[x，x+dx]的窄條的面積近似于高為ex-e-x、底為dx的窄矩形的面積，從而得到面積元素：dA=（ex-e-x）dx

以（ex-e-x）dx為被積表達(dá)式，在閉區(qū)間[0，1]上作定積分，便得所求面積為：A=■（ex-e-x）dx=e+■-2。

例5 求下列曲線所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。

y=arcsinx，x=1，y=0

分析：本題考察利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，與上一題類(lèi)似，學(xué)生需要知道通過(guò)體積元素來(lái)求得結(jié)果，對(duì)此需要將該旋轉(zhuǎn)體的體積元素找到，才能進(jìn)行運(yùn)算。

解：首先求得幾條曲線的交點(diǎn)為（0，0），（1，0），（1，■）。取橫坐標(biāo)為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，1]，該旋轉(zhuǎn)體中任一小區(qū)間[x，x+dx]的薄片體積近似于底半徑為arcsinx，高為dx的扁圓柱體的的體積，即體積元素：

dV=π[arcsinx]2dx

于是所求旋轉(zhuǎn)體體積為：

V=■π[arcsinx]2dx=π■t2cotdt=■π3-2π。

定積分及其應(yīng)用作為高等數(shù)學(xué)的重要部分，相對(duì)來(lái)說(shuō)易于理解，但由于解法的技巧性很強(qiáng)，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)常無(wú)法做出答案，如何讓學(xué)生更好的掌握教師交給的知識(shí)，在解題時(shí)熟練的應(yīng)用是老師們一直在思考的問(wèn)題。本文用幾個(gè)例子說(shuō)明了在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，多加練習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)的重要性。筆者認(rèn)為對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，只有多做練習(xí)才能使學(xué)生更好的掌握所學(xué)的抽象知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，還可以幫助他們開(kāi)闊思維、拓展視野、培養(yǎng)興趣、增加學(xué)習(xí)積極性。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)習(xí)題課培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，使他們對(duì)課程產(chǎn)生興趣

和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，逐步提高該課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

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