狄氏空間上的有界線性映射

王瑋，馬麗，韓新方

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158

狄氏空間上的有界線性映射

王瑋，馬麗，韓新方*

（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158

建立了非對(duì)稱狄氏型狄氏空間到其對(duì)稱型狄氏空間上的一種映射，證明了該映射及其擬映射都是有界的線性映射，并且給出了在此映射下狄氏空間中元素對(duì)應(yīng)關(guān)系和表達(dá)式.

對(duì)稱狄氏型；非對(duì)稱狄氏型；對(duì)應(yīng)關(guān)系；映射；有界線性映射

設(shè)（E，β（E））為一個(gè)可測(cè)空間，m是（E，β（E））上的δ-有限測(cè)度，以（，）來(lái)記L2（E，m）上的內(nèi)積.用（ε，D（ε））表示L2（E，m）的狄氏型，狄氏型的定義見文[1-3].若這個(gè)狄氏型滿足ε（u，v）=ε（v，u），?u,v∈D()

ε，則稱此狄氏型為對(duì)稱狄氏型.對(duì)稱狄氏型與非對(duì)稱狄氏型有很大的區(qū)別，如正則對(duì)稱狄氏型聯(lián)系著一個(gè)Hunt過(guò)程，而正則非對(duì)稱狄氏型則聯(lián)系著一對(duì)對(duì)偶的Hunt過(guò)程；對(duì)稱狄氏型有漂亮的Beurling-Deny分解和Lejan變換公式，非對(duì)稱狄氏型雖然也有Beurling-Deny分解，但要相對(duì)復(fù)雜一些，要用到S.P.V.可積來(lái)描述跳部分，而強(qiáng)局部部分分成兩塊，一塊滿足Lejan公式，另一塊不對(duì)應(yīng)著測(cè)度，只能通過(guò)算子來(lái)定義，此算子滿足一定的變換公式，詳細(xì)的結(jié)果見文[4].如果能在非對(duì)稱狄氏型和對(duì)稱狄氏型之間建立某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，則研究非對(duì)稱狄氏型時(shí)，可以借助于這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，研究相應(yīng)的對(duì)稱狄氏型.基于這種考慮，本文針對(duì)非對(duì)稱狄氏型定義域中元素和其對(duì)稱型定義域中的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系作了一些探討.

文[5]中引理2.1用Riesz表示定理，得到了如下結(jié)果：設(shè)，則存在唯一的，且對(duì)有

下證算子φ的有界性.對(duì)?f∈D()ε有

對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，任意的f1,f2,g∈D()ε有

（3）對(duì)?f,g∈D()ε有

（4）由非對(duì)稱狄氏型的預(yù)解方程知：對(duì)任意的α，β>0有，Gαf-Gβf=（β-α）GαGβf=（β-α）GβGαf，所以對(duì)?g∈D()ε有

所以

[1]Fukushima M,Oshima Y,Takeda M.Dirichlet forms and symmetric Markov processes[M].(Second version),Walter de Gruyter,2011.

[2]馬志明.狄氏型（Dirichlet Form）簡(jiǎn)介[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,18（1）:1-7.

[3]Ma Z M,Rockner M.Introduction to the theory of(nonsymmetric)Dirichlet form[M].Springer-Verlag,1992.

[4]Hu Z C,Ma Z M,Sun W.On representations of non-sym?metric Dirichlet forms[J].Potential Anal,2010,32:101-131.

[5]Chen C Z,Ma L,Sun W.Stochastic Calculus for Markov Processes Associated with Non-symmetric Dirichlet Forms [J].SCIENCE CHINA Mathematic,2012,55(11):2195-2203.

責(zé)任編輯：畢和平

The Bounded Linear Mappings on Dirichlet Space

WANG Wei，MA Li，HAN Xinfang*
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

This paper constructs one relationship between the functions in the domain of non-symmetric Dirichlet form and its symmetric part and proves that the mapping-relationship has inverse mapping which are both linear bounded mapping on the Dirichlet space.

symmetric Dirichlet form；non-symmetric Dirichlet form；correspondence；the mapping；bounded linear map?ping

O 211.1

A

1674-4942（2014）04-0363-02

2014-07-05

國(guó)家自然科學(xué)基金（11201102，11361021，11326169）；海南省自然科學(xué)基金（112002，113007）

*通訊作者