直覺模糊集的新相似性測(cè)度

邱婷婷，黃韓亮，李克典

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

直覺模糊集的新相似性測(cè)度

邱婷婷，黃韓亮，李克典

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

相似性測(cè)度是度量兩個(gè)直覺模糊集相似程度的重要方法.文章給出一個(gè)新的直覺模糊集相似性測(cè)度，討論該相似性測(cè)度的一些性質(zhì)及得到利用該相似測(cè)度對(duì)直覺模糊集進(jìn)行聚類的一般步驟，最后通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性.

直覺模糊集；相似性測(cè)度；聚類

為了定量地刻畫模糊概念和模糊現(xiàn)象，Zɑdeh于1965年提出了模糊集理論[1]且該理論已在現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.1983年，Atɑnɑssov對(duì)Zɑ?deh提出的模糊集進(jìn)行拓展，提出了直覺模糊集的概念[2]，他不僅考慮了隸屬度，同時(shí)還考慮了非隸屬度及猶豫度.因此，直覺模糊集比傳統(tǒng)的模糊集在處理不確定性和模糊性等方面更靈活實(shí)用，在醫(yī)療診斷、決策和模式識(shí)別[3-6]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.1989年Atɑnɑssov和Gɑrgov進(jìn)一步把隸屬度和非隸屬度的取值范圍從[0，1]之間的數(shù)推廣到[0，1]的子區(qū)間，提出區(qū)間直覺模糊集[7]，這樣就更加增強(qiáng)了描述模糊性的能力.相似性測(cè)度在直覺模糊集理論中有著重要作用.Gɑu和Buehrer于1993年提出了vɑgue集的概念[8]，Chen[9]于1995年首次討論了vɑgue集的相似性度量，而Bustince和Burillo[10]指出vɑgue集就是直覺模糊集.此后，不少學(xué)者進(jìn)一步開展了對(duì)直覺模糊集相似性測(cè)度的研究，Xu和Chen[11]對(duì)近年來國內(nèi)外學(xué)者提出的相似性測(cè)度進(jìn)行概述，并且提出一些新的直覺模糊集相似性測(cè)度計(jì)算公式，張[12]等將vɑgue集擴(kuò)展之后計(jì)算猶豫度，蔡[13]等考慮了猶豫度對(duì)支持度和反對(duì)度的影響，提出了分辨性更強(qiáng)的相似性測(cè)度.相似性測(cè)度也廣泛應(yīng)用于聚類問題中，對(duì)于聚類問題,張和徐[14]利用直覺模糊數(shù)相似度的方法構(gòu)建直覺模糊相似矩陣，再轉(zhuǎn)化為直覺模糊等價(jià)矩陣，最后通過定義截矩陣對(duì)直覺模糊集進(jìn)行聚類.本文先給出一個(gè)新的直覺模糊集相似性測(cè)度，該相似性測(cè)度在兩個(gè)直覺模糊集相差不大時(shí)計(jì)算更為簡便，然后討論了該相似性測(cè)度所具有的一些性質(zhì).同時(shí)，歸納出一種利用此相似性測(cè)度對(duì)直覺模糊集進(jìn)行聚類的一般步驟.最后用例子來說明其優(yōu)越性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 模糊集及模糊相似矩陣和模糊等價(jià)矩陣的定義

定義1[15]設(shè)X為論域，則X上的一個(gè)模糊集合A由X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)μA∶X [0，1]，xα μA（x）來表示.對(duì)于x∈X，函數(shù)值μA（x）稱為x對(duì)于A的隸屬度，而函數(shù)μA稱為A的隸屬函數(shù).

定義2[15]設(shè)矩陣R=（rij）m×n，若有0 rij1，i=1，Λ，m，j=1，Λ，n，則稱R=（rij）m×n為模糊矩陣.

定義3[15]設(shè)R=（rij）m×n為模糊矩陣，若R是自反和對(duì)稱的，即rii=1且rij=rji，i j，則稱R為模糊相似矩陣；若R又滿足傳遞性，即RoR?R則稱R為模糊等價(jià)矩陣.其中RoR?R表示R與R的合成.

1.2 直覺模糊集及其相似性測(cè)度的定義定義4[2]設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱

為直覺模糊集，其中μA（x）和vA（x）分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，即μA∶X [0，1]，xα μA（x）.μA∶X [0，1]，xα vA（x）且滿足條件0 μA（x）+vA（x） 1，x∈X.此外，πA（x）=1-μA（x）-vA（x），x∈X，表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度.

設(shè)X為一個(gè)非空集合，Φ（X）表示X上所有直覺模糊集所構(gòu)成的集合.設(shè)A和B∈Φ（X），則

定義5[16]設(shè)?∶（Φ（X））2[0，1]為一個(gè)映射，且設(shè)Aj∈Φ（X）（j=1，2，3），則稱?（A1，A2）為A1和A2的相似性測(cè)度，若它滿足條件：

（1）0 ?（A1，A2） 1；

（2）?（A1，A2）=1當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2；

（3）?（A1，A2）=?（A2，A1）；

（4）若A1?A2?A3,則?（A1，A3） ?（A1，A2），?（A1，A3） ?（A2，A3）.

1.3 直覺模糊集熵的定義

定義6[17]設(shè)E為一映射：E∶Φ（X） [0，1]，A,B∈Φ（X），則稱E（A）為直覺模糊集A的熵，若它滿足以下條件：

（1）若A為分明集，則E（A）=0；

（2）E（A）=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈X,μA（x）=vA（x）；

（3）若A的模糊度小于B（A is less fuzzy thɑn B），即對(duì)?x∈X，若μB（x） vB（x）有μA（x） μB（x）且vA（x） vB（x）或若μB（x） vB（x）有μA（x） μB（x）且vA（x） vB（x），則E（A） E（B）；

（4）E（A）=E（AC）.

2 主要結(jié)果

2.1 直覺模糊集一種新相似性測(cè)度的定義

為簡便起見，對(duì)下面一些記號(hào)作說明.對(duì)任意Ai,Ak∈Φ（X），X={x1，x2，Λ，xn}.記

定義7對(duì)任意A1,A2∈Φ（X），

則

（3）對(duì)?xj∈X，若有且，則，

證明由①式可得

（3）對(duì)?xj∈X，若有且,則.對(duì)?xj∈X,若有且，則也有成立.

2.2 新直覺模糊集相似性測(cè)度在聚類中的應(yīng)用

步驟1對(duì)某一多屬性決策問題，設(shè)Y={Y1，Y2，Λ，Yn}為方案集，G={G1，G2，Λ，Gm}為屬性集.假設(shè)有關(guān)方案的特征信息（屬性值）用直覺模糊集表示：

例1[14]某汽車市場(chǎng)欲對(duì)五種不同的車Yi（i=1，Λ，5）進(jìn)行分類，每輛車有六個(gè)可供選擇的因素：（1）G1-燃料消耗量；（2）G2-摩擦度；（3）G3-價(jià)格；（4）G4-舒適度；（5）G5-設(shè)計(jì)；（6）G6-安全性.每輛車在各評(píng)價(jià)因素（屬性）下的特征信息用直覺模糊數(shù)表示見表1.

表1 特征信息Tab.1Feature information

通過計(jì)算可得：

為模糊相似矩陣，計(jì)算

因?yàn)閆2=Z，因此Z不是模糊等價(jià)矩陣，需進(jìn)一步計(jì)算

為Z4=Z2，因此Z2為模糊等價(jià)矩陣，記為.令為的λ-截矩陣，其中可對(duì)置信水平λ作如下討論：

車組Yi（i=1，Λ，5）可分為一類：{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}.

（2）當(dāng)0 . 8 2 5 < λ 0 . 8 2 5時(shí)，有車組Yi（i=1，Λ，5）可分為三類：{Y1，Y2，Y3}，{Y4}，{Y5}.

（3）當(dāng)0 . 8 5 < λ 0 . 8 7 5時(shí)，有車組Yi（i=1，Λ，5）可分為四類：{Y1}，{Y2，Y3}，{Y4}，{Y5}.

利用張和徐[14]定義的直覺模糊相似矩陣對(duì)例1進(jìn)行聚類可得：

當(dāng)0 λ 0.71時(shí)，車組Yi（i=1，Λ，5）分為一類：{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}.

當(dāng)0.71<λ 0.78時(shí)，車組Yi（i=1，Λ，5）分為三類：{Y1，Y2，Y3}，{Y4}，{Y5}.

當(dāng)0.78<λ 1時(shí)，車組Yi（i=1，Λ，5）分為五類：{Y1}，{Y2}，{Y3}，{Y4}，{Y5}.

通過比較發(fā)現(xiàn)該方法比徐提出的方法分類多出一種情況，這是由于本文提出的相似性測(cè)度具有較高的精度，取不同的置信水平λ可以進(jìn)一步把{Y1，Y2，Y3}分成{Y1}，{Y2，Y3}兩類.

3 結(jié)束語

區(qū)分兩個(gè)不同的集合是非常必要的，因此集合的相似性度量得到了很大的發(fā)展.本文首先給出一個(gè)新的直覺模糊集相似性測(cè)度的計(jì)算公式，接著對(duì)該相似性測(cè)度所具有的一些性質(zhì)進(jìn)行討論并歸納出一種利用此相似性測(cè)度對(duì)直覺模糊集進(jìn)行聚類的方法，最后用例子來說明其優(yōu)越性.而且我們還可以進(jìn)一步把該相似性測(cè)度推廣到區(qū)間直覺模糊集中，并討論它所具有的性質(zhì).

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8 (3)：338-353.

[2]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Sys?tems,1986,20(1)：87-96.

[3]Szmidt E,Kacprzyk J.A similarity measure for intuitionistic fuzzy sets and its application in supporting medical diagnostic reasoning[J].Lecture Notes in Artificial Intelligence,2004, 3070：388-393.

[4]Atanassov K,Pasi G,Yager R R.Intuitionistic fuzzy inter?pretations of multi-criteria multi-person and multi-mea?surement tool decision making[J].International Journal of Systems Science,2005,36：859-868.

[5]Xu Z S,Yager R R.Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[J].International Journal of General Systems,2006,35(4)：417-433.

[6]Li D F,Cheng C T.New similarity measures of intuitionis?tic fuzzy sets and application to pattern recognitions[J].Pat?tern Recognition Letters,2002,23：221-225.

[7]Atanassov K,Gargov G.Interva-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3)：343-349.

[8]Gau W L,Buehrer D J.Vague sets[J].Systems,Man and Cybernetics,IEEE Transactions on,1993,23(2)：610-614.

[9]Chen S M.Measures of similarity between vague sets[J]. Fuzzy sets and Systems,1995,74(2)：217-223.

[10]Bustince H,Burillo P.Vague sets are intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy sets and systems,1996,79(3)：403-405.

[11]Xu Z S,Chen J.An overview of distance and similarity measures of intuitionistic fuzzy sets[J].International Jour?nal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Sys?tems,2008,16：529-555.

[12]張曉晨,張福金,王鴻緒.基于Vague值的擴(kuò)展的Vague集間的相似度量[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2009,26(3)：220-222.

[13]蔡正琦,田雙亮,曹永春.Vague集相似度量的新方法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(12)：31-33.

[14]張洪美,徐澤水,陳琦.直覺模糊集的聚類方法研究[J].控制與決策,2007,22(8)：882-888.

[15]陳水利,李敬功,王向公.模糊集理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2005.

[16]Mitchell H B.On the Dengfeng-Chuntian similarity mea?sure and its application to pattern recognition[J].Pattern Recognition Letters,2003,24：3101-3104.

[17]Ye J.Multicriteria fuzzy decision-making method using en?tropy weights-based correlation coefficients of interval-val?ued intuitionistic fuzzy sets[J].Applied Mathematical Mod?elling,2010,34(12)：3864-3870.

[18]趙磊.一種基于模糊等價(jià)矩陣傳遞閉包的聚類算法[J].電腦知識(shí)與技術(shù),2010,6(26)：7343-7345.

責(zé)任編輯：畢和平

New Similarity Measure of Intuitionistic Fuzzy Sets

QIU Tingting，HUANG Hanliang，LI Kedian
（College of Mathematics and Statistics，Minnan Normal University，Zhangzhou 363000，China）

Similɑrity meɑsure is ɑn importɑnt method to meɑsure thesimilɑrity of two intuitionistic fuzzy sets.A new simi?lɑrity meɑsure of intuitionistic fuzzy sets is given in this pɑper.Meɑnwhile,some properties of the similɑrity meɑsure ɑre dis?cussed ɑnd ɑ clustering method of intuitionistic fuzzy sets is given.Finɑlly,ɑ numericɑl exɑmple is given to illustrɑte its ef?fective.

intuitionistic fuzzy sets；similɑrity meɑsure；clustering

TP 18

A

1674-4942（2014）03-0237-04

2014-04-07

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61379021,71140004）；福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2013J01029,2011J05013）；福建省資助省屬高?？蒲袑ｍ?xiàng)（JK2011031）；閩南師范大學(xué)研究生科研立項(xiàng)（YJS201410）