兩類與等差數(shù)列有關(guān)的組合恒等式

蕭振綱

(湖南理工學(xué)院, 湖南 岳陽(yáng) 414006)

兩類與等差數(shù)列有關(guān)的組合恒等式

蕭振綱

(湖南理工學(xué)院, 湖南 岳陽(yáng) 414006)

巧妙地構(gòu)造出一個(gè)多項(xiàng)式, 利用著名的Lagrange插值公式和L′Hospital法則, 得到了兩類與等差數(shù)列有關(guān)的新穎而深刻的組合恒等式.

∶ Lagrange插值公式; 等差數(shù)列; 組合恒等式

先給出一條引理.

引理設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式, 則

ⅰ) 對(duì)任意復(fù)數(shù)x, 恒有

ⅱ) 當(dāng)x≠0,1,…,n時(shí), 有

證明因f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式, 由Lagrange插值公式[1], 對(duì)任意n+1個(gè)互不相同的數(shù)x0,x1,…,xn, 恒有

于此式中, 取xk=k,k= 0, 1, …,n, 并注意

定理設(shè)是公差分別為d1,d2, …,dn+1,d的等差數(shù)列, 且bk≠0(k= 1, 2, …,n),d≠0, 則有

證明作多項(xiàng)式

則g(x)的次數(shù)不超過(guò)n+1. 顯然

于是由(1)式, 有

比較等式兩邊xn項(xiàng)的系數(shù)即得(3)式.

由L′ Hospital法則[2]，有

又不難知道

因而由(5)式容易得到

再由(7)、(8)兩式立即得到(4)式.

推論1設(shè)是公差分別為d1,d2, …,dn+1的等差數(shù)列, 則有

證明于(3)式中, 令b0=1, 則當(dāng)d→0時(shí), (3)式的左邊→(9)式的左邊. 又

于是, 由L′ Hospital法則, 有

再設(shè){ak}是公差為d的等差數(shù)列, 取則dj=d(j= 1, 2, …,n+1). 因

于是, 由(9)式, 有

(10)、(11)兩式即拙文[3]所證明的兩個(gè)組合恒等式.

推論2設(shè){bk}是公差分別為d1,d2,…,dm,d的等差數(shù)列, 且bk≠0(k= 1, 2, …，n),d≠0, 則當(dāng)0≤m≤n時(shí), 有

其中d0=1.

證明當(dāng)d≠0時(shí), 于定理中, 取=…==1(k= 1, 2, …,n), 則d=…=d=0, 于是由(3)、m+1n+1(4)兩式即知(12)、(13)兩式成立; 當(dāng)d=0時(shí), 由(10)式, 并注意當(dāng)m=n時(shí),dn?m=1即知(12)、(13)兩式也成立.

推論3設(shè){ak}, {bk}是公差分別為da,db的兩個(gè)等差數(shù)列, 且bk≠0(k= 1, 2, …,n), 則當(dāng)0≤m≤n時(shí), 有

證明令=a(k= 0, 1, …,n), 則d=d=…=d=d, 且d=d, 于是, 由(12)、(14)兩式即可得到(14)、(15)兩式.

容易知道, 等式(14)、(15)推廣了拙文[4]中的兩個(gè)組合恒等式(原文(20)、(21)式):

于(14)、(15)兩式中, 取ak=k,bk=k+1(k= 0, 1, …,n), 則由da=db=1, 有

如果取ak=k,bk=2k+1(k= 0, 1,…,n), 則有

[1] 張禾瑞, 郝鈵新. 高等代數(shù)[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 1999: 65

[2] 歐陽(yáng)光中, 朱學(xué)炎, 秦曾復(fù). 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1982: 185～187

[3] 蕭振綱. 兩類有趣的組合恒等式[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 1994(1)

[4] 蕭振綱. Vandermonde行列式的一個(gè)推廣及其在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1994(9)

Two types of Combinatorial Identities Related to Arithmetic Sequence

XIAO Zhen-gang
(Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

In this paper, a polynomial was constructed ingeniously, and by using of the famous Lagrange's interpolation formul a and L'Hospital rule, two types of novel and profound combinatorial identities related to arithmetic sequence were deduced.

Lagrange's interpolation formula; arithmetic sequence; combinatorial identity

O122.7

A

1672-5298(2014)03-0014-04

2013-10-08

蕭振綱(1957? ), 男, 湖南華容人, 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院教授. 主要研究方向: 初等數(shù)學(xué)與競(jìng)賽數(shù)學(xué)