周 穎,李德才,魏俊潮*
(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州225002;2.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué),江蘇 揚(yáng)州225009)
本文中R 表示有單位元的結(jié)合環(huán),E(R),N(R),Z(R)分別表示R 的冪等元集合、冪零元集合及R 的中心.設(shè)R 為一個(gè)環(huán),若對(duì)任意a∈R,存在b∈R,使得a=aba,則稱R 為von Neumann正則環(huán)[1];若對(duì)任意a∈R,存在b∈R,使得a=ba2,則稱R 為強(qiáng)正則環(huán)[2];若N(R)?Z(R),則稱R 為CN環(huán)[3].顯然,交換環(huán)、約化環(huán)都是CN 環(huán);關(guān)于CN 環(huán)的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5].若E(R)?Z(R),則稱R 為Abel環(huán).顯然CN 環(huán)是Abel環(huán).若對(duì)a,b∈R,當(dāng)ab=1時(shí),必有ba=1,則稱R 為直接有限環(huán)[6].易知Abel環(huán)是直接有限環(huán);若N(R)=0,則稱R 為約化環(huán)[7];若對(duì)任意a∈R,當(dāng)aRa=0時(shí)必有a=0,則稱R 為半素環(huán).顯然約化環(huán)是半素環(huán).若ab=0時(shí)必有aRb?N(R),則稱R 為nil-semicommutative環(huán)[8-9].
設(shè)R 是一個(gè)環(huán),若對(duì)任意x∈N(R),y∈R,總有x2y2=xy2x,則稱R 為ZY 環(huán).易見(jiàn)CN 環(huán)總是ZY 環(huán),從而交換環(huán)及約化環(huán)是ZY 環(huán).但反過(guò)來(lái)不一定成立.例如:設(shè)易見(jiàn),則有A2B2=AB2A=0,所以R 為ZY 環(huán).取,由于所以CD≠DC,C?Z(R),從而N(R)?Z(R),R 不是CN 環(huán),因此R 既不是交換環(huán)也不是約化環(huán).本文研究ZY環(huán)的一些性質(zhì),推廣有關(guān)約化環(huán)及CN 環(huán)的若干結(jié)果.
命題1設(shè)R 為CN 環(huán),則是ZY 環(huán).
因?yàn)閍∈Z(R),所以ab21a=a2b21;又由于b1a∈N(R)?Z(R),所以ab2(b1a)=b1aab2=b1a2b2=a2b1b2.同理可證ab21b=abb21,ab1b2a=a2b2b1,bb21a=bab21,從而A2B2=AB2A,因此V2(R)為ZY 環(huán).
定理2設(shè)R 是ZY 環(huán)且a∈R,若a2=0,則aRaRa=0.
證明 因?yàn)镽 為ZY 環(huán)且a2=0,所以對(duì)任意x∈R,總有
任取y∈R,用x+ya代替(1)式中的x,得ayaxa=0,由x,y 的任意性知aRaRa=0.
由定理2可知有下面的推論.
推論3R 為約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 為ZY 的半素環(huán).
定理4設(shè)R 為ZY 環(huán)且a∈aRa,則存在c∈R,使得a=ca2.
證明 設(shè)a=aba,其中b∈R.記e=ba,則有a=ae且e2=e;記h=a-ea,則有he=h,eh=0,h2=0,即h∈N(R).因?yàn)镽 為ZY 環(huán),所以對(duì)任意x∈R,有
用x+b代替(2)式中的x,得hbxh+hxbh=0,特別取x=e,則有hbh=0.因?yàn)閎h=b(a-ea)=babea=e-bea,所以0=hbh=h(e-bea)=h-h(huán)bea,從而h=hbea,即a-ea=hbea,因此a=ea+hbea=(1+hb)ea=(1+hb)ba2.若取c=(1+hb)b∈R,則a=ca2.
眾所周知,一個(gè)環(huán)R 是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 為約化的正則環(huán),所以推論3和定理4暗示了下面的推論.
推論5R 為強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 為ZY 的正則環(huán).
推論6設(shè)R 為ZY 環(huán),則R 為直接有限環(huán).
證明 設(shè)a,b∈R,滿足ab=1,則a=1a=aba.由定理4知存在c∈R,使得a=ca2,于是1=ab=ca2b=(ca)(ab)=(ca)1=ca,因此b=1b=(ca)b=c(ab)=c,ba=ca=1,從而R 為直接有限環(huán).
定理7設(shè)R 為ZY 環(huán),則對(duì)任意的e∈E(R),a∈R,有(1-e)aeR(1-e)ae=0.
證明 記h=(1-e)ae,則he=h,eh=0,所以h2=heh=0.類似于定理4的證明知hRh=0,從而(1-e)aeR(1-e)ae=0.
設(shè)R 是一個(gè)環(huán),如果N(R)=0,或者N(R)包含一個(gè)非零理想,則稱R 為NCI環(huán)[10].例如,CN 環(huán)是NCI環(huán).
推論8設(shè)R 是ZY 環(huán),則R 為Abel環(huán)或?yàn)镹CI環(huán).
證明 如果R 不是Abel環(huán),則存在e∈E(R),使得eR(1-e)≠0,從而存在a∈R,使得ea(1-e)≠0.由于設(shè)R 是ZY 環(huán),所以由定理7知ea(1-e)Rea(1-e)=0,從而Rea(1-e)R 是包含在N(R)中的非零理想,因此R 為NCI環(huán).
定理9設(shè)R 為ZY 環(huán)且e∈E(R),則對(duì)R 的任意極大左理想M,或者e∈M 或者1-e∈M.
證明 若e?M,則Re+M=R.記1=ae+m,其中a∈R,m∈M.由于1-e=(1-e)ae+(1-e)m,由定理7知(1-e)aeR(1-e)aeR=0,所以(1-e)aeR 為冪零右理想,從而(1-e)ae∈J(R)?M,因此1-e∈M.
推論10設(shè)R 為ZY 環(huán),則對(duì)任意e∈E(R)及R 的任意極大左理想M,有Me?M.
證明 若Me?M,則M+Me=R,所以有n+me=1,其中n,m∈M.因?yàn)閑?M,由定理9知1-e∈M,故有m(1-e)∈M;又因m∈M,故me∈M.由于n+me∈M,所以1∈M,矛盾,從而Me?M.
推論11設(shè)R 為ZY 環(huán),則對(duì)任意的x∈R,e∈E(R),有Rx+R(xe-1)=R.
證明 若Rx+R(xe-1)≠R,則有R 的極大左理想M,使得Rx+R(xe-1)?M.因?yàn)閤e-1∈M,而1?M,所以xe?M,即e?M.由定理9知1-e∈M,故x-xe=x(1-e)∈M.由于x∈M,所以xe∈M,矛盾,因此Rx+R(xe-1)=R.
定理12若R 為一個(gè)環(huán),滿足對(duì)任意x∈N(R),y∈R,總有(xy)2=xy2x,則R 為ZY 環(huán).
證明 任取a∈N(R),x∈R,由題設(shè)有(ax)2=ax2a,從而
用1+x 代替(3)式中的x,得
由(3)和(4)式知a[a,x]=0,即
用x2代替(5)式中的x,則a2x2=ax2a,所以R 為ZY 環(huán).
定理13ZY 環(huán)為nil-semicommutative環(huán).
證明 設(shè)R 為ZY 環(huán)且a,b∈R 滿足ab=0.由于(ba)2=0,所以對(duì)任意x∈R,有
任取y∈R,用x+ya代替(6)式中的x,得bayaxba=0,所以baRaRba=0;于是對(duì)任意的r∈R,有(bar)3=ba(rb)arbar=0,(arb)4=ar(bar)3b=0,即aRb?N(R),故R 為nil-semicommutative環(huán).
注14Nil-semicommutative環(huán)未必是ZY 環(huán).例如:設(shè)取A=則 有所 以A2B2≠AB2A,即R 不是ZY 環(huán).設(shè),則cidi=0,i=1,4,6.對(duì)任意的由于Z2為交換環(huán),故cixidi=0,i=1,4,6,從而則有(CFD)3=0,即CFD∈N(R),于是CRD?N(R),因此R 為nil-semi-commutative環(huán).
定理15設(shè)R 為ZY 環(huán)且e∈E(R),若ReR=R,則e=1.
證明 由于ReR=R,所以1=∑aiebi,ai,bi∈R.由定理7知(1-e)aieR(1-e)aie=0,所以(1-e)aie∈J(R),從而1-e=(1-e)·1=∑n
i=1(1-e)aiebi∈J(R),因此1=e.
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