利用二叉樹(shù)方法評(píng)估可轉(zhuǎn)換債券的實(shí)證分析

■李忠余 王慧

可轉(zhuǎn)換債券因嵌入許多期權(quán)，條款設(shè)計(jì)復(fù)雜，一般對(duì)估值模型的計(jì)算很難得到解析解，而常用數(shù)值方法來(lái)模擬。二叉樹(shù)方法對(duì)相關(guān)條款的處理比較靈活，可以較好地處理嵌入可轉(zhuǎn)換債券中的各種期權(quán)。作者結(jié)合可轉(zhuǎn)換債券的各種條款對(duì)二叉樹(shù)方法進(jìn)行了分析，并利用該模型對(duì)滬、深兩市的可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行估值模擬。

一、影響可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值的主要條款

可轉(zhuǎn)換債券（以下簡(jiǎn)稱“可轉(zhuǎn)債”）是一種混合型的金融衍生產(chǎn)品，其條款設(shè)計(jì)既體現(xiàn)了普通債券的特征，也體現(xiàn)了期權(quán)衍生品的特征。這些條款會(huì)直接影響可轉(zhuǎn)債的價(jià)值，它們對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響既可能是獨(dú)立的，也可能是交織在一起的。

（一）利率條款

我國(guó)可轉(zhuǎn)債利率條款主要包括票面利率和補(bǔ)償利率。票面利率主要有固定利率和浮動(dòng)利率兩種，目前滬、深上市的可轉(zhuǎn)債都采用浮動(dòng)利率，并且其利率呈逐年上升趨勢(shì)，我國(guó)可轉(zhuǎn)債的票面利率一般不超過(guò)銀行同期存款利率水平。補(bǔ)償利率主要指投資者持有至到期后會(huì)獲得額外的利息作為未轉(zhuǎn)股的補(bǔ)償，該條款可減弱投資者轉(zhuǎn)股欲望，避免轉(zhuǎn)股對(duì)標(biāo)的股價(jià)產(chǎn)生重大影響，從而保護(hù)原有股東的權(quán)益。

（二）轉(zhuǎn)股條款

該條款主要包括轉(zhuǎn)股價(jià)格、轉(zhuǎn)股比例、轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整條款和轉(zhuǎn)股期。轉(zhuǎn)股價(jià)格是指將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成標(biāo)的股票的每股價(jià)格，一般在可轉(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)就已確定。轉(zhuǎn)股比例是指每張債券所能轉(zhuǎn)換成標(biāo)的股票的份數(shù)，轉(zhuǎn)股比例=債券面值／轉(zhuǎn)股價(jià)格。轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整條款是指由于標(biāo)的股票價(jià)格變化達(dá)到一定程度或公司股份、股東權(quán)益發(fā)生變化，為了保護(hù)公司和原有股東權(quán)益而對(duì)轉(zhuǎn)股價(jià)格進(jìn)行調(diào)整。一般分為向上調(diào)整條款和向下調(diào)整條款。轉(zhuǎn)股期是指允許投資者將可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為標(biāo)的股票的期限，轉(zhuǎn)股期可以與債券的期限相同，也可以短于債券的期限。

（三）贖回條款

該條款主要包括贖回期、贖回條件和贖回價(jià)格。贖回期指可轉(zhuǎn)債允許贖回的期限，一般短于債券的整個(gè)壽命期。贖回條件一般分為無(wú)條件贖回和有條件贖回兩種，后者指可轉(zhuǎn)債發(fā)行人在符合約定的條件下能以預(yù)先規(guī)定的價(jià)格從投資者手中提前贖回全部或部分未轉(zhuǎn)股的可轉(zhuǎn)債，當(dāng)公司股價(jià)或某一段時(shí)間平均股價(jià)高于轉(zhuǎn)股價(jià)達(dá)到規(guī)定幅度并持續(xù)一定時(shí)間后，發(fā)行人有權(quán)贖回未轉(zhuǎn)股的可轉(zhuǎn)債。國(guó)外通常把股票價(jià)格在持續(xù)30個(gè)交易日達(dá)到或超過(guò)轉(zhuǎn)股價(jià)格的100～150%作為贖回條件。我國(guó)可轉(zhuǎn)債的贖回條件一般設(shè)定為在可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)股期內(nèi)，如果公司股票在任意連續(xù)30個(gè)交易日中至少有15或20個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)不低于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)格的130%。贖回價(jià)格指可轉(zhuǎn)債贖回時(shí)的價(jià)格，我國(guó)可轉(zhuǎn)債贖回價(jià)格一般為其面值的102～106%，我國(guó)滬、深上市的可轉(zhuǎn)債贖回價(jià)格一般包含當(dāng)期利息。贖回條款的存在會(huì)使可轉(zhuǎn)債的投資價(jià)值降低。

（四）回售條款

該條款主要包括回售期、回售條件和回售價(jià)格?；厥燮谥缚赊D(zhuǎn)債允許回售的期限，一般短于債券的整個(gè)壽命期?；厥蹢l件一般分為無(wú)條件回售和有條件回售，后者指在可轉(zhuǎn)債有效期內(nèi)公司股價(jià)或平均股價(jià)低于轉(zhuǎn)股價(jià)的某一下限幅度時(shí)，投資者有權(quán)向發(fā)行公司以一定的價(jià)格回售全部或部分未轉(zhuǎn)股的可轉(zhuǎn)債。通常是當(dāng)標(biāo)的股票價(jià)格在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)連續(xù)低于轉(zhuǎn)股價(jià)格達(dá)到某一幅度時(shí)，投資者可以高于面值的某個(gè)價(jià)格將可轉(zhuǎn)債回售給發(fā)行公司。我國(guó)可轉(zhuǎn)債回售條件一般設(shè)定為如果收盤(pán)價(jià)連續(xù)30個(gè)交易日低于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)格的70%時(shí)，可轉(zhuǎn)債持有人有權(quán)將其持有的可轉(zhuǎn)債全部或部分按面值的一定倍數(shù)回售給發(fā)行人。按回售方式的不同還可以分為硬回售（Hard put）和軟回售（Soft put），硬回售是指?jìng)l(fā)行人必須以現(xiàn)金方式買(mǎi)回，軟回售指發(fā)行人可以選擇買(mǎi)回方式?；厥蹆r(jià)格指回售可轉(zhuǎn)債時(shí)的價(jià)格，我國(guó)可轉(zhuǎn)債的回售價(jià)格一般為其面值的102～105%，我國(guó)滬、深上市的可轉(zhuǎn)債回售價(jià)格一般包含當(dāng)期利息。該條款是投資者的一項(xiàng)保護(hù)條款，它實(shí)質(zhì)上是投資者的一項(xiàng)看跌期權(quán)，由于投資者是該項(xiàng)期權(quán)的多頭方，因此該條款的設(shè)立使得可轉(zhuǎn)債的投資價(jià)值升高。我國(guó)可轉(zhuǎn)債的實(shí)際運(yùn)作表明由于轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整條款的存在，可轉(zhuǎn)債回售條件很難達(dá)到。

二、二叉樹(shù)方法在評(píng)估可轉(zhuǎn)債時(shí)的應(yīng)用

（一）可轉(zhuǎn)債的價(jià)值方程

本文主要參考Tsiveriotis和Fernandes對(duì)可轉(zhuǎn)債估值的模型，結(jié)合中國(guó)可轉(zhuǎn)債的具體特點(diǎn)和條款利用二叉樹(shù)方法進(jìn)行估值模擬。Tsiveriotis和Fernandes的研究表明利率的隨機(jī)波動(dòng)對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值影響很小，可以忽略，并且認(rèn)為信用風(fēng)險(xiǎn)是不變的，所以該模型可以認(rèn)為是單因素模型。Tsiveriotis和Fernandes將可轉(zhuǎn)債的價(jià)值分解成兩部分，一是現(xiàn)金部分(“cash-only part of the convertible bond”(COCB))，二是股權(quán)部分。這兩部分有不同的風(fēng)險(xiǎn)，股權(quán)部分需用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，現(xiàn)金部分要用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與信用風(fēng)險(xiǎn)利差之和貼現(xiàn)，它們的價(jià)值方程如下：

1. 可轉(zhuǎn)債價(jià)值U的偏微分方程為:

上式中，U為可轉(zhuǎn)債價(jià)值，q為股息率，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，rc為信用風(fēng)險(xiǎn)利差，V為可轉(zhuǎn)債中現(xiàn)金部分的價(jià)值。

2. 現(xiàn)金部分價(jià)值V的偏微分方程為:

這兩個(gè)方程要聯(lián)立求解。本文利用二叉樹(shù)方法來(lái)求解上述方程組。

（二）二叉樹(shù)的應(yīng)用

1. 二叉樹(shù)原理

二叉樹(shù)方法是用離散的隨機(jī)游走模擬資產(chǎn)價(jià)格連續(xù)變動(dòng)的可能路徑，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，在每個(gè)小的時(shí)間間隔內(nèi)資產(chǎn)的價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：上升或者下降。將期權(quán)的有效期平均分為M個(gè)相等的時(shí)間段，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，歐式看漲期權(quán)二叉樹(shù)模型可表示為：

式中：

Ui,j：iΔT時(shí)刻節(jié)點(diǎn)（i，j）處的期權(quán)值；

r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)概率；

p：上升風(fēng)險(xiǎn)中性概率，

u：下降風(fēng)險(xiǎn)中性概率；

Ui+1,j+1：(i+1）ΔT時(shí)刻節(jié)點(diǎn)（i+1，j+1）期權(quán)值；

Ui+1,j：(i+1）ΔT時(shí)刻節(jié)點(diǎn)（i+1，j）期權(quán)值；

ΔT：均分的時(shí)間段。

0≤j≤i≤M–1，j指在某一時(shí)刻對(duì)二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)從下至上進(jìn)行排序的序號(hào)。

同樣，可以得到美式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)模型：

美式看跌期權(quán)的二叉樹(shù)模型：

式中：

Sujdi-j：iΔT時(shí)刻節(jié)點(diǎn)（i，j）處的股票價(jià)格；

K：期權(quán)執(zhí)行價(jià)格。

在利用二叉樹(shù)進(jìn)行倒推計(jì)算時(shí)，要在每個(gè)節(jié)點(diǎn)綜合考慮轉(zhuǎn)換權(quán)、贖回權(quán)和回售權(quán)等期權(quán)，同時(shí)要判斷各項(xiàng)權(quán)利的執(zhí)行情況，最后要從發(fā)行者和投資者角度選擇最優(yōu)策略，確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值。

2. 可轉(zhuǎn)債的終端條件

在二叉樹(shù)的終端節(jié)點(diǎn)上，投資者可以選擇轉(zhuǎn)股也可以選擇得到債券本金和利息，其最優(yōu)策略為：

式中：k為轉(zhuǎn)股比例，S為初始股價(jià)，F(xiàn)為到期時(shí)債券面值和應(yīng)計(jì)利息之和，M為二叉樹(shù)步數(shù)。

3. 在只能持有期內(nèi)，二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的判斷條件

在可轉(zhuǎn)債只能持有期內(nèi)，即可轉(zhuǎn)債既不可被贖回，也不可被回售，還不能被轉(zhuǎn)股。此時(shí)二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)上可轉(zhuǎn)債的價(jià)值為：

4. 在只可轉(zhuǎn)股期限內(nèi)，二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的判斷條件

可轉(zhuǎn)債在只可轉(zhuǎn)股期限內(nèi)，在二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)（i，j）上，投資者可以轉(zhuǎn)股，也可以繼續(xù)持有，其最優(yōu)策略為：

可轉(zhuǎn)債的價(jià)值：

如果Ui,j≤kSuidi-j，則Ui,j= kSuidi-j，Vi,j=0。其中Vi,j為節(jié)點(diǎn)（i，j）處的現(xiàn)金部分價(jià)值。

5. 在贖回期內(nèi)，二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的判斷條件

在贖回期內(nèi)，當(dāng)股價(jià)增大觸發(fā)贖回條件時(shí)，發(fā)行公司可執(zhí)行贖回權(quán)，投資者的最優(yōu)選擇是得到轉(zhuǎn)換價(jià)和贖回價(jià)的最大者。如果在此期限內(nèi)可轉(zhuǎn)債又可回售，投資者還要將回售價(jià)與轉(zhuǎn)股價(jià)和贖回價(jià)進(jìn)行比較。目前滬、深上市的可轉(zhuǎn)債其股價(jià)觸發(fā)條件為當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)格的130%，而贖回價(jià)一般為債券面值的102～106%，回售價(jià)一般為債券面值的102～105%，因此投資者通常會(huì)選擇轉(zhuǎn)股。此時(shí)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值為：

式中，Up為回售價(jià)格，Uc為贖回價(jià)格，當(dāng)Ui,j≥Max(Uc，kSuidi-j)，Ui,j=kSuidi-j，Vi,j=0。此時(shí)節(jié)點(diǎn)（i，j）股價(jià)不小于債券面值的130%。

6. 在回售期內(nèi)，二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的判斷條件

當(dāng)股價(jià)下跌到一定程度，觸發(fā)回售條件時(shí)，投資者將在持有價(jià)值、回售價(jià)、轉(zhuǎn)股價(jià)中選擇最大值，目前滬、深上市的可轉(zhuǎn)債其股價(jià)觸發(fā)條件為當(dāng)期轉(zhuǎn)股價(jià)格的70%?？赊D(zhuǎn)債的價(jià)值為：

當(dāng)Ui,j≤Max(Up，kSuidi-j)時(shí)，Ui,j= Vi,j= Up。

三、應(yīng)用二叉樹(shù)對(duì)滬、深兩市可轉(zhuǎn)債進(jìn)行估值

通過(guò)Wind查詢，目前滬、深上市的可轉(zhuǎn)債一共有22只，筆者以2013年7月26日為基準(zhǔn)日對(duì)該日在Wind能查到市值的19只可轉(zhuǎn)債利用二叉樹(shù)方法進(jìn)行了估值計(jì)算，具體參數(shù)確定如下：

（一）可轉(zhuǎn)債基本條款參數(shù)

通過(guò)Wind金融數(shù)據(jù)端，可以查到19只可轉(zhuǎn)債的募集說(shuō)明書(shū)及基本條款，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1

接上表

表2

接上表

表3

接上表

（二）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是指不存在違約風(fēng)險(xiǎn)的收益率，一般有以下幾種選擇：一是選取短期國(guó)債利率或者短期存款利率；二是利用利率期限結(jié)構(gòu)中的遠(yuǎn)期利率估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；三是即期的長(zhǎng)期國(guó)債利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。本文選取2013年7月26日一年期銀行定存利率3%作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

（三）波動(dòng)率

本文對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)采用基準(zhǔn)日前一年的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行波動(dòng)率計(jì)算，具體數(shù)據(jù)可通過(guò)Wind金融數(shù)據(jù)端查詢得到，見(jiàn)表2。

（四）信用風(fēng)險(xiǎn)利差

我國(guó)對(duì)于普通債券和可轉(zhuǎn)債發(fā)行公司的要求都非常高，從公司財(cái)務(wù)、經(jīng)營(yíng)等多方面作出了嚴(yán)格的限制，所以可以認(rèn)為期限相同的普通企業(yè)債券和可轉(zhuǎn)債處于相同的信用等級(jí)水平。本文通過(guò)Wind查詢到與每只可轉(zhuǎn)債剩余期限相同的上市企業(yè)債券收益率作為該只可轉(zhuǎn)債的貼現(xiàn)率，該貼現(xiàn)率與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率之差即為信用風(fēng)險(xiǎn)利差，見(jiàn)表3。

（五）計(jì)算結(jié)果

本文通過(guò)MATLAB R2013a軟件對(duì)上述可轉(zhuǎn)債二叉樹(shù)模型進(jìn)行編程，將二叉樹(shù)步數(shù)設(shè)定為6000步進(jìn)行估值模擬，評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表4，圖1。

表4

圖1 二叉樹(shù)評(píng)估值與市值的柱形對(duì)比圖

通過(guò)對(duì)2013年7月26日滬、深上市的19只可轉(zhuǎn)債的估值模擬，可以看出利用二叉樹(shù)可以較好地對(duì)中國(guó)滬、深上市的可轉(zhuǎn)債進(jìn)行估值模擬，這19只可轉(zhuǎn)債的二叉樹(shù)評(píng)估值與市值的算術(shù)平均偏差率為-0.05%，絕對(duì)值算術(shù)平均偏差率為1.78%，絕對(duì)值標(biāo)準(zhǔn)差為1.46%。

[1]中國(guó)資產(chǎn)評(píng)估協(xié)會(huì)．實(shí)物期權(quán)評(píng)估指導(dǎo)意見(jiàn)（試行）．2011年12月．

[2]姚長(zhǎng)輝．固定收益證券—定價(jià)與利率風(fēng)險(xiǎn)管理（第二版）[M]．北京大學(xué)出版社，2013年3月．

[3]張樹(shù)德．MATLAB金融工程與資產(chǎn)管理．北京航空航天大學(xué)出版社，2008年11月．

[4]趙勝明．衍生金融工具定價(jià)[M]．中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2008年5月．

[5]約翰 C．赫爾，著．王勇，索吾林，譯．期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品[M]． 機(jī)械工業(yè)出版社，2011年12月．

[6]王洪良．我國(guó)可轉(zhuǎn)換債券估值問(wèn)題的實(shí)證分析[J]．工業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)，2007年第7期．

[7]鄭振龍，林海．中國(guó)可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究[J]．廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào)(哲社版)，2004年第2期．

[8]Tsiveriotis K and C． Fernandes．Valuing convertible bonds with credit risk． Journal of Fixed Income 8，95-102，1998．

[9]FINCAD． Pricing Convertible Bonds[Z]． http：//www．fincad．com/derivatives-resources/articles/pricing-convertible-bonds．a(chǎn)spx．