以問題驅(qū)動為核心推進(jìn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的改革

周德強(qiáng)

摘 要： 本文從分析數(shù)學(xué)建模競賽的特點(diǎn)及學(xué)生應(yīng)該具備的能力出發(fā)，提出了以實(shí)際問題為背景，滲透數(shù)學(xué)建模思想，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的教學(xué)方法——問題驅(qū)動教學(xué)法。該方法采用“三步走”的訓(xùn)練階段，將一個個實(shí)際問題在每個階段化整為零地進(jìn)行研究，以“問題驅(qū)動為核心”作為訓(xùn)練主線貫穿整個訓(xùn)練過程。作者結(jié)合多年培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)對問題驅(qū)動教學(xué)法的實(shí)施問題作了探討，期望以“問題驅(qū)動為核心”推進(jìn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的改革。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模競賽 建模培訓(xùn)教改 問題驅(qū)動教學(xué)法 應(yīng)用數(shù)學(xué) 解決問題

數(shù)學(xué)建模是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間的橋梁，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路[1，2]。開展數(shù)學(xué)建模競賽是培養(yǎng)高素質(zhì)和創(chuàng)新型人才的一條有效途徑。數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)和數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)是服務(wù)于數(shù)學(xué)建模競賽的兩種途徑，但在教學(xué)方式和要求上又有所不同。關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方法及其改革創(chuàng)新的探討與實(shí)踐，許多高校在同步進(jìn)行，并且取得了眾多科研成果[3]。對于如何開展數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)，有效提高大學(xué)生的綜合能力，適應(yīng)競賽的要求，相關(guān)的研究文獻(xiàn)較少。數(shù)學(xué)建模競賽的特性決定了它是以解決實(shí)際問題為己任，因此本文提出以“問題驅(qū)動為核心”開展數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的教學(xué)，期望以此推進(jìn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的改革。

1.數(shù)學(xué)建模競賽學(xué)生應(yīng)該具備的能力

數(shù)模競賽解決的是一些現(xiàn)實(shí)問題，培養(yǎng)學(xué)生從事該項(xiàng)競賽具有的能力，需要緊密圍繞解決實(shí)際問題進(jìn)行。只有正確把握建模過程中學(xué)生應(yīng)該具備的能力，才能有的放矢地開展培訓(xùn)教學(xué)。研究分析已有觀點(diǎn)，結(jié)合個人建模培訓(xùn)過程中的體會，我總結(jié)了如下方面：

（1）扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論和對實(shí)際問題的認(rèn)識。數(shù)學(xué)建模競賽中的問題一般面向現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用，有相關(guān)實(shí)際背景，綜合性強(qiáng)，因素關(guān)系復(fù)雜，難以套用傳統(tǒng)成熟的解決手段。數(shù)據(jù)量龐大，可采取的算法也比較復(fù)雜，結(jié)果具有一定的彈性空間，許多問題得到的只能是近似解[4]。因此，除了需要學(xué)生具備深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)外，還要求學(xué)生具有對實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識面，具備敏銳的洞察力和想象力，尤其是對實(shí)際問題數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識和分析能力。

（2）解決實(shí)際問題的動手和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。?shù)學(xué)建模競賽中的問題絕大部分就是來自一些具體的科研課題或?qū)嶋H問題，這就決定了數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)的側(cè)重點(diǎn)是高等與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的深層應(yīng)用和面向問題的設(shè)計(jì)，而不是經(jīng)典理論的深入研討和系統(tǒng)論證。對于這些實(shí)際問題，要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法分析和解決，也就是說，數(shù)學(xué)建模對于實(shí)際問題的解決，在這一過程中，需要運(yùn)用實(shí)驗(yàn)操作技能。因此，建模過程同樣對學(xué)生的調(diào)查、收集、觀察、統(tǒng)計(jì)、檢驗(yàn)等一些實(shí)驗(yàn)科學(xué)中要求的能力提出了要求。在充分利用各種科技手段作為數(shù)學(xué)建模過程中實(shí)驗(yàn)操作的技術(shù)支持上，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用已經(jīng)成為其不可或缺的一項(xiàng)基本組成[4]。這就需要學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題或模型轉(zhuǎn)化或表述為可用計(jì)算機(jī)軟件或編程實(shí)現(xiàn)的算法，掌握相關(guān)的應(yīng)用軟件或編程技術(shù)解決和驗(yàn)證這些實(shí)際問題。

（3）自我學(xué)習(xí)的能力和一定的科學(xué)研究能力。數(shù)學(xué)建模競賽首先需要的當(dāng)然是數(shù)學(xué)知識，但更重要的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)是一種教學(xué)活動，但又區(qū)別于常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)，是對常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)的延續(xù)、拓展、強(qiáng)化和提升。建模培訓(xùn)的教學(xué)對象來自于不同的專業(yè)方向，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)和對工程實(shí)際問題背景的了解程度參差不齊。建模培訓(xùn)課時一般非常有限，內(nèi)容容量又比較大，若采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，學(xué)生被動地按照教師設(shè)置的教學(xué)環(huán)節(jié)和步驟學(xué)習(xí)，則在短時間內(nèi)學(xué)生很難消化這些知識，造成許多同學(xué)都半途而廢[5]。因此，建模培訓(xùn)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為中心、以問題為主線展開，這要求學(xué)生具備集自學(xué)能力、文獻(xiàn)檢索能力、問題分析轉(zhuǎn)化能力于一體的科學(xué)研究能力。

（4）統(tǒng)籌規(guī)劃、協(xié)同作戰(zhàn)的團(tuán)隊(duì)合作能力。數(shù)學(xué)建模競賽區(qū)別于常規(guī)的數(shù)學(xué)競賽。數(shù)學(xué)建模競賽由三名大學(xué)生組成一隊(duì)，在三天時間內(nèi)分工合作，共同完成一篇論文。這樣一種比賽模式，區(qū)別于大學(xué)生多年以來只習(xí)慣于獨(dú)自完成考試或競賽，那么在競賽過程中遇到新問題就要注重團(tuán)隊(duì)的合作研究，要求學(xué)生具有良好的團(tuán)隊(duì)合作能力，能夠制訂科學(xué)的協(xié)作方案，以及討論和表決方案。要制訂科學(xué)的協(xié)作方案，平時訓(xùn)練就應(yīng)該對各種可能的建模題型產(chǎn)生的合作與分工，做必要的演練，做到心中有數(shù)[6]。

2.數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的指導(dǎo)思想和教學(xué)方法

鑒于傳統(tǒng)的教學(xué)式培訓(xùn)無法達(dá)到大幅提高學(xué)生綜合能力的預(yù)期目標(biāo)，無法適應(yīng)數(shù)學(xué)建模競賽對學(xué)生具備素質(zhì)的要求，根據(jù)學(xué)生的能力要求，我們提出“以實(shí)驗(yàn)操作為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力為目的”作為數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)教學(xué)方法的指導(dǎo)思想，采用“問題驅(qū)動教學(xué)法”組織訓(xùn)練。這里所說的“問題驅(qū)動”是指針對生產(chǎn)實(shí)際或其他領(lǐng)域需要解決的問題開展教學(xué)和訓(xùn)練，以實(shí)際問題為背景，以解決實(shí)際問題為驅(qū)動，將解決實(shí)際問題的目標(biāo)貫穿于整個教學(xué)過程，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

3.問題驅(qū)動教學(xué)法的實(shí)施

考慮到數(shù)學(xué)建模問題的廣泛性、方法的復(fù)雜性，學(xué)生對實(shí)際問題背景比較陌生，對問題和數(shù)學(xué)模型之間進(jìn)行對接轉(zhuǎn)換缺乏經(jīng)驗(yàn)，建模競賽中所需要的分析問題、解決問題的能力需要循序漸進(jìn)地培養(yǎng)。因此，我們將“以問題驅(qū)動為核心”的培訓(xùn)過程分三階段完成，即了解問題、尋找問題；認(rèn)知問題、求解問題；歸納問題、探索問題。

（1）了解問題、尋找問題階段。該階段，注重建模原理與實(shí)際問題的對接。教師主要從實(shí)際案例中涉及的問題的背景出發(fā)，講解將實(shí)際問題變化、抽象為數(shù)量關(guān)系，以數(shù)學(xué)理論和方法解決實(shí)際問題的思維方法，所涉及的數(shù)學(xué)模型在解決問題中的建模理念和技巧，讓學(xué)生充分了解相關(guān)模型所能求解的具體問題的數(shù)學(xué)特征，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)的抽象知識與實(shí)際生活聯(lián)系，將知識重新還原并應(yīng)用于其客觀生活的原型。學(xué)生針對所學(xué)模型，從本專業(yè)的課程中進(jìn)一步尋找與所學(xué)相關(guān)模型有關(guān)的實(shí)際問題，或通過文獻(xiàn)查找了解相關(guān)模型所能解決的實(shí)際問題，并就問題的來源，有關(guān)文獻(xiàn)，模型所解決問題的領(lǐng)域，背景等方面撰寫報告。endprint

（2）認(rèn)知問題、求解問題階段。通過第一階段數(shù)學(xué)建?；局R的培訓(xùn)和學(xué)生對數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題的收集、了解，同學(xué)們對常用的數(shù)學(xué)模型和所能解決的問題有了“宏觀把握”，接下來就進(jìn)入認(rèn)知問題、求解問題階段。因?yàn)榫唧w的實(shí)際問題涉及的具體的數(shù)學(xué)子模型較多，所以該階段可從“微觀分析”入手，以數(shù)學(xué)軟件為工具，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為平臺進(jìn)行操作訓(xùn)練。首先，學(xué)生通過第一階段對問題的了解，采用分解的方式，將具體問題分解為一個個模塊，然后，針對每個子模型的特點(diǎn)對相關(guān)軟件基本操作和計(jì)算原理進(jìn)行學(xué)習(xí)，配合專題型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，學(xué)習(xí)子模型算法的設(shè)計(jì)和求解實(shí)現(xiàn)。最后，逐步將實(shí)際問題每個模塊中涉及的子模型求解，通過計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件加以求解。

（3）歸納問題、探索問題階段。經(jīng)過第一、第二階段的訓(xùn)練，學(xué)生已基本具備了數(shù)學(xué)建模的技能，對于實(shí)際問題的認(rèn)知和分析方法，數(shù)學(xué)建模的方法，模型的求解方法都有了系統(tǒng)的了解和掌握，第三階段學(xué)生就要對前面求解過的問題進(jìn)行分類歸納，識別不同表現(xiàn)形式的具體問題所隱含的共同信息；探索問題的共同本質(zhì)和在處理方法上的數(shù)學(xué)思想、技術(shù)方法，將數(shù)學(xué)建模的思想在該階段加以升華。

綜上所述，“問題驅(qū)動”教學(xué)法進(jìn)行建模培訓(xùn)可概述為“一條主線，三個階段”。建模培訓(xùn)緊緊圍繞“實(shí)際問題”為驅(qū)動這一主線，采用“三步走”的訓(xùn)練階段，將訓(xùn)練過程以“階段化”的方式化整為零加以實(shí)施。整個訓(xùn)練過程對應(yīng)于數(shù)模競賽的流程“分析問題—求解問題—評價問題”。訓(xùn)練過程完成后，學(xué)生不僅可以將培訓(xùn)期間遇到的問題最終解決，而且可以系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)建模的方法和數(shù)學(xué)建模競賽的流程。

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)不同于常規(guī)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)，有許多形式和方法值得探討。我們從分析數(shù)學(xué)建模競賽的特點(diǎn)及學(xué)生應(yīng)該具備的能力出發(fā)，提出了“問題驅(qū)動教學(xué)法”對學(xué)生進(jìn)行建模培訓(xùn)，并結(jié)合多年培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)對建模培訓(xùn)的指導(dǎo)思想和培訓(xùn)模式作了研討，在建模培訓(xùn)方式和方法上需要進(jìn)一步探索和完善，期望以“問題驅(qū)動為核心”推進(jìn)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的改革。

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