一題多解的妙處探討

徐萬(wàn)山

在歷屆高考中，一題多解是一個(gè)熱點(diǎn)問題，在數(shù)學(xué)研究中有著很重要的價(jià)值以及很重要的應(yīng)用，涉及到基本知識(shí)點(diǎn)和函數(shù)的性質(zhì)、圖像，滲透著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維方式和創(chuàng)造性，更能開發(fā)學(xué)生在高考中臨場(chǎng)發(fā)揮的判斷能力以及獨(dú)立解決問題的能力。下面，我們就以2013年全國(guó)新課標(biāo)全國(guó)1卷16題為例來(lái)進(jìn)行探討。

例：設(shè)當(dāng)x=？茲時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cos？茲=____。

做本題需要：（1）導(dǎo)數(shù)知識(shí)。（2）輔角公式：設(shè)m=asin？琢+bcos？琢=■（■sin？琢+■cos？琢）=■（sin？琢cos？茲+cos？琢sin？茲）=■sin（？琢+？茲）（其中，tan？茲=■且a·b≠0，？琢？綴R），并且m的最大值為■，最小值為-■。（3）sin2？琢+cos2？琢=1 。（4）y=sinx與y=cosx兩個(gè)函數(shù)圖像知識(shí)點(diǎn)。

解：法一：利用“輔角公式”即可?！遞（x）=sinx-2cosx=■■sinx-■cosx=■sin（x-？茲），其中sin？茲=■，cos？茲=■。當(dāng)x-？茲=2k？仔+■，k？綴Z時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值?！鄕=■+？茲+2k？仔，k？綴Z時(shí)，即x=？茲時(shí)，cos？茲=cos（■+？茲+2k？仔）=-sin？茲=-■即可滿足。這種方法是一種常規(guī)解法，也是學(xué)生們最容易想到的方法，是一個(gè)通法。

法二：利用“輔角公式”和“觀察法”及“特殊取值法”。

∵f（x）=sinx-2cosx=■■sinx-■cosx，由輔角公式：設(shè)m=？琢sin？琢+bcos？琢=■ ■sin？琢+■cos？琢=■（sin？琢cos？茲+cos？琢sin？茲）=■sin（？琢+？茲）（其中tan？茲=■，且a·b≠0，？琢？綴R），并且m的最大值為■，最小值為-■。

∴當(dāng)函數(shù)f（x）取得最大值為■，我們還知道sin2？琢+cos2？琢=1，并且我們發(fā)現(xiàn)若設(shè)sinx=■，cosx=-■時(shí)，正好滿足f（x）=■為最大值。因此，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=■cosx=-■時(shí)，f（x）取得最大值，由題意可知：當(dāng)x=？茲時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，即cos？茲=-■。這種方法是一種學(xué)生在臨場(chǎng)考試中很難想到的方法，但是它是一種對(duì)基本知識(shí)的最好的詮釋，就看其平時(shí)的基本功扎不扎實(shí)而已。這種方法不僅能反映學(xué)生的臨場(chǎng)多變的思維方式和創(chuàng)造性，而且能體現(xiàn)學(xué)生開闊的思維能力。

法三：利用“導(dǎo)數(shù)”和“三角函數(shù)圖像”（即數(shù)形結(jié)合思想）。

∵f'（x）=cosx+2sinx，設(shè)f'（x）=0 （1） sin2x+cos2x=1 （2）

由（1）和（2）解方程組得到：sinx=■cosx=-■ 或sinx=-■cosx=■。

設(shè)g（x）=-sinx，h（x）=cosx，得f'（x）=g（x）-h（x）=0即g（x）=h（x）。

兩個(gè)函數(shù)圖像如下圖：

由上述圖像我們觀察得到：當(dāng)且僅當(dāng)sinx=■cosx=-■，此時(shí)函數(shù)f（x）取得極大值，且同時(shí)又是函數(shù)f（x）的最大值。由題意可知：當(dāng)x=？茲時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，即cos？茲=-■。這種方法是做大題的一種最常見做法，但是對(duì)于選擇題和填空題，它是一種比較費(fèi)勁的方法。盡管如此，它是也學(xué)生們常會(huì)想到的一種方法和做法。

綜上所述，對(duì)于學(xué)生而言，如何能做對(duì)一道題是關(guān)鍵所在！因此，一題多解是任何一名高三老師及學(xué)生必須重視和探討的一個(gè)重要問題。

（遼寧省瓦房店市第八高級(jí)中學(xué)）