共軸載流正三角形線圈間的相互作用

呼格吉樂 王桂斌 邱為鋼

（湖州師范學院理學院，浙江 湖州 313000）

載流線圈間電磁相互作用的研究是電磁學中的常見問題.常見的模型是平行共軸相似的兩個載流線圈，理論上討論線圈之間的作用力與距離的關(guān)系［1，2］.對于圓形線圈來說，繞軸線轉(zhuǎn)動任意角度，對于系統(tǒng)作用量（互感產(chǎn)生的磁能）沒有任何影響，不需要克服力矩來恢復到原有位形，這意味著共軸平行圓形線圈之間是沒有力矩的.對于矩形線圈，文獻［3］提出把互感磁能當作系統(tǒng)的作用量.這個作用量與線圈的距離有關(guān)，對距離的偏導數(shù)就是兩個線圈的相互作用力.文獻［3］忽略了更一般的情況，即兩個矩形線圈有交錯角度，這樣系統(tǒng)作用量不僅與距離有關(guān)，也與角度有關(guān).系統(tǒng)作用量對于角度的偏導數(shù)，就是兩個線圈的力矩.為簡單起見，我們以共軸平行正三角形線圈為例，研究線圈之間相互作用力和力矩與線圈距離，交錯角度的關(guān)系.交錯角度載流正三角型線圈存在力矩這個理論預言，也得到文獻［4，5］上的實驗驗證.

1 三角形載流線圈互感系數(shù)的坐標表示

穩(wěn)恒線段電流元在空間任意一點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度由畢奧-薩伐爾定律給出，由此可以得到線段電流元在一個三角形上的磁通量的表達式，雖然這個表達式不一定有解析表示，但對于數(shù)學軟件（如Mathematica）來說，只要給出表達式，就可以數(shù)值求值.所以先給出線段電流元通過三角形磁通量的坐標表達式.

設(shè)（i，j，k）是通常三維直角坐標系中的正交單位矢量，考慮起點在r1＝x1i＋y1j＋z1k，終點在r2＝x2i＋y2j＋z2k穩(wěn)恒線段電流元在場點r＝xi＋yj＋zk所產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的表達式，電流線段上任意一點的參數(shù)表達式是

由此得到電流元的表達式是

場點到電流元的位移是

電流元在場點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度是

由式（2），（3），（4），得到磁感應(yīng)強度的第三分量是

設(shè)場點r＝xi＋yj＋zk在三角形內(nèi)部，三角形三個頂點坐標分別為zk，r3＝x3i＋y3j＋zk，r4＝x4i＋y4j＋zk.那么（x，y）的兩參數(shù)表示為

其中，參數(shù) （t1，t2）滿足0≤t1＋t2≤1.設(shè)三角形的面積為A，三角形的面元為dA＝2Adt1dt2.由（4），（5），（6）三式，得到互感系數(shù)的坐標表達式是

2 共軸正三角形載流線圈的相互作用力

設(shè)兩個共軸平行的正三角形載流線圈ABC和A′B′C′，分別通以電流Ⅰ，Ⅰ′，線圈中心相距z.頂點坐標分別為

把上面的三角形A′B′C′分成三個以軸線為頂點的小三角形，然后利用式（7），（8），（9），形式上（可以方便編程數(shù)值計算，具體細節(jié)請參考文獻［4］）得到互感系數(shù)的表示

由此得到共軸平行正三角形載流線圈的相互作用力為

當兩個正三角形線圈沒有交錯角度時，相互作用力與線圈中心距離z的關(guān)系曲線如圖1所示.

當兩個正三角形線圈存在不同的交錯角度時，相互作用力與線圈中心距離z的關(guān)系曲線如圖2，3所示.

圖1 對稱正三角形載流線圈相互作用力與距離的關(guān)系

圖2 正三角形載流線圈相互作用力與距離的關(guān)系

數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，當兩個正三角型線圈角度較小或較大時，線圈的相互作用力隨線圈距離變化，有極大和極小值，這與對稱情況下只有一個極大值有明顯不同.當線圈距離很大時，線圈可以看作兩個磁偶極距（只與線圈的面積有關(guān)），這時候，交錯不同角度線圈的相互作用力就趨向于同一個極限值.

圖3 正三角形載流線圈相互作用力與距離的關(guān)系

3 共軸正三角形載流線圈間的力矩

根據(jù)虛位移原理，共軸正三角形載流線圈間的電磁力矩為

當兩個正三角形線圈存在交錯角度時，力矩與交錯角度θ的關(guān)系曲線如圖4所示

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，雖然兩個正三角形線圈間距離不同，但力矩Mθ隨θ是周期變化的，且周期都是2π／3.力矩的極大值出現(xiàn)在θ＝0位置，即對稱位置；力矩的極小值出現(xiàn)在θ＝π／3位置，即反對稱位置.

圖4 正三角形載流線圈力矩和線圈間轉(zhuǎn)角的關(guān)系

4 結(jié)論

對于共軸正三角形載流線圈間相互作用力和力矩，均作了數(shù)值計算.通過繪制關(guān)系曲線，兩共軸對稱正三角形載流線圈間的相互作用力與圓形線圈［2］或矩形線圈［3］間的相互作用力規(guī)律基本一致.但是，當相對轉(zhuǎn)角取得某一值時，曲線出現(xiàn)了正負兩個極值.我們還研究了共軸載流線圈間的力矩，得到力矩隨線圈轉(zhuǎn)角的變化周期不隨線圈間距離變化，固定為2π／3角度.

［1］張偉，陳俊斌.同軸等大線圈互感系數(shù)及相互作用力的近似解析公式［J］.大學物理，2004，23（8）：36-40.

［2］朱思華，楊萬民.兩共軸平行圓環(huán)電流之間的電磁作用力［J］.大學物理，2005，24（10）：24-26.

［3］王樹平，崔紅娜，范虹，等.共軸載流矩形線圈間的相互作用力［J］.物理與工程，2007，17（5）：12-16.

［4］王桂斌.三角形線圈間的相互作用［D］.湖州師范學院2010屆畢業(yè)論文.

［5］呼格吉樂，邱為鋼.三角形旋轉(zhuǎn)跳環(huán)［J］.大學物理實驗，2012，25（6）：57-58.