“保守系統(tǒng)平衡位置微振動(dòng)”案例教學(xué)的探討與實(shí)踐

宋海珍 王愛(ài)華 趙彤帆 李根全

（1南陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473061；2河南省教育廳電教館，河南 鄭州 450004）

當(dāng)前地方高等師范院校的理論力學(xué)教學(xué)中，由于師資質(zhì)量和實(shí)踐條件相對(duì)不足，知識(shí)的傳授與掌握仍是教學(xué)目標(biāo)的主要部分，傳統(tǒng)的知識(shí)傳授模式仍是主要的課堂教學(xué)模式.這種模式追求知識(shí)的完整系統(tǒng)而忽視探索過(guò)程、重視理論而忽視實(shí)踐，它無(wú)法適應(yīng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)需求［1］.案例教學(xué)作為一種典型的師生互動(dòng)教學(xué)模式，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式的缺陷，是創(chuàng)新本科課堂教學(xué)模式的有效途徑［2-6］.理論力學(xué)作為高師物理學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生接觸的第一門(mén)理論物理課程，其突出特點(diǎn)是理論性強(qiáng)，具有高度的抽象性和概括性，側(cè)重于以嚴(yán)密的邏輯推理建立完整的理論體系.如何取舍內(nèi)容，整合知識(shí)點(diǎn)，使之成為一個(gè)案例，直接影響到案例教學(xué)的成敗.我們以周衍柏老師理論力學(xué)教材中“小振動(dòng)”內(nèi)容為基礎(chǔ)［7］，聯(lián)系我院實(shí)際，構(gòu)成“保守系統(tǒng)平衡位置微振動(dòng)”案例，對(duì)案例教學(xué)進(jìn)行了探索和嘗試.

1 案例教學(xué)的定義

案例教學(xué)是教師組織學(xué)生通過(guò)對(duì)案例的閱讀、思考、分析、討論、交流和評(píng)價(jià)等活動(dòng)，提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的一種教學(xué)模式［8］.它主要包括以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：（1）提出問(wèn)題，介紹案例；（2）分析案例，提煉理論；（3）應(yīng)用理論，審視案例；（4）評(píng)價(jià)總結(jié)，形成體系.通過(guò)這4個(gè)環(huán)節(jié)完成教學(xué)內(nèi)容.

2 提出問(wèn)題，介紹案例

為何討論微振動(dòng)？因?yàn)檎駝?dòng)在機(jī)械、電磁（包括光）、原子和分子的運(yùn)動(dòng)中都普遍存在，它們具有許多相同的規(guī)律［9］.大多數(shù)機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，不太可能對(duì)其運(yùn)動(dòng)得出完整的一般解，作為求解的試探，常常是對(duì)系統(tǒng)在平衡位置有微小偏離的運(yùn)動(dòng)求解，使非線性問(wèn)題近似成為線性問(wèn)題達(dá)到求解的目的，況且有些系統(tǒng)本身就是在平衡位置附近做微振動(dòng)，例如分子或晶格處的原子［10］.對(duì)一維單自由度的振子，在無(wú)耗微振動(dòng)時(shí)符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律.如圖1所示，一個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成單自由度彈簧振子，兩個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)點(diǎn)仍構(gòu)成單自由度彈簧振子，對(duì)3個(gè)彈簧和兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，是兩個(gè)彈簧振子通過(guò)彈簧耦合的自由度為2的振動(dòng)系統(tǒng).對(duì)N＋1個(gè)彈簧和N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)就是N個(gè)彈簧振子的耦合系統(tǒng)，自由度為N［11-14］.（圖中所有彈簧都相同，倔強(qiáng)系數(shù)為k，小球質(zhì)量為m，彈簧質(zhì)量、小球半徑及水平面的摩擦均不計(jì)）.

對(duì)于兩個(gè)或多個(gè)彈簧振子耦合在一起所構(gòu)成的系統(tǒng)，各個(gè)振子可能有不同的固有頻率，整個(gè)系統(tǒng)將怎樣運(yùn)動(dòng)？它們將按某個(gè)或某幾個(gè)統(tǒng)一頻率振動(dòng)？還是系統(tǒng)內(nèi)各部分各行其是呢［15］？“保守系統(tǒng)平衡位置微振動(dòng)”閱讀思考提綱：（1）基本概念和方程：微振動(dòng)、平衡位置、線性化近似、固有頻率、簡(jiǎn)正頻率、簡(jiǎn)正模式，拉格朗日方程、微振動(dòng)方程、頻率方程.（2）通過(guò)單個(gè)彈簧振子的求解得出單個(gè)自由度系統(tǒng)微振動(dòng)理論.（3）通過(guò)兩個(gè)彈簧振子耦合的求解，得出兩個(gè)自由度系統(tǒng)微振動(dòng)理論.（4）應(yīng)用理論對(duì)N個(gè)彈簧振子耦合系統(tǒng)求解，檢驗(yàn)完善理論.（5）評(píng)價(jià)總結(jié)，給出多自由度微振動(dòng)的理論體系.

圖1 彈簧振子系統(tǒng)

3 分析討論案例，提煉理論

對(duì)“微振動(dòng)”力學(xué)問(wèn)題的分析，應(yīng)向?qū)W生提出以下問(wèn)題：（1）解決問(wèn)題有幾種途徑？（2）各種途徑的優(yōu)劣比較？解決問(wèn)題有矢量力學(xué)和分析力學(xué)兩種理論.矢量力學(xué)求解時(shí)可用牛頓運(yùn)動(dòng)定律也可以用能量守恒；分析力學(xué)求解時(shí)可用拉格朗日方程也可用哈密頓方程.對(duì)自由度比較小的力學(xué)系統(tǒng)，牛頓運(yùn)動(dòng)定律和拉格朗日方程求解無(wú)大區(qū)別，對(duì)于自由度比較多的系統(tǒng)，拉格朗日方程相對(duì)牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)說(shuō)較容易.

3.1 單個(gè)自由度微振動(dòng)

3.1.1 兩種途徑求解

矢量力學(xué)求解：以圖1（b）為例，選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x為相對(duì)平衡位置的位移.只要彈簧是嚴(yán)格線性的，則f＝-2kx，由牛頓定律-2kx＝m，運(yùn)動(dòng)微分方程為

3.1.2 引導(dǎo)討論

（1）平衡分幾種類(lèi)型？對(duì)振動(dòng)問(wèn)題有實(shí)際意義的是哪種平衡？保守系統(tǒng)穩(wěn)定平衡所滿足的條件？平衡分為穩(wěn)定平衡（勢(shì)能取極小值）、不穩(wěn)定平衡（勢(shì)能取極大值）和隨遇平衡（勢(shì)能取常數(shù)）3種類(lèi)型.對(duì)振動(dòng)問(wèn)題有實(shí)際意義的是穩(wěn)定平衡.保守系統(tǒng)穩(wěn)定平衡位置需滿足拉格朗日定理：自由度為1時(shí)，勢(shì)能V滿足是穩(wěn)定平衡.對(duì)多自由度體系也有是穩(wěn)定平衡.

（2）牛頓方程求解力的線性表示是微振動(dòng)條件，而拉格朗日方程求解中動(dòng)能、勢(shì)能為、q的二次函數(shù)是微振動(dòng)條件，兩種條件等價(jià)嗎？原因如何？為何要強(qiáng)調(diào)可線性化的微振動(dòng)？?jī)煞N條件等價(jià)，因拉格朗日方程中動(dòng)、勢(shì)能要對(duì)、q求偏導(dǎo)數(shù).可線性化的微振動(dòng)系統(tǒng)是經(jīng)典力學(xué)中少有的可通過(guò)積分求嚴(yán)格解析解的幾個(gè)系統(tǒng)之一（其他可積分系統(tǒng)如平方反比律作用的系統(tǒng)、自由剛體問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)陀螺等），不能線性化的振動(dòng)系統(tǒng)需借助數(shù)值計(jì)算的方法確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況，有興趣的同學(xué)可編程計(jì)算單擺小角擺動(dòng)、大角擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的求解.

3.1.3 提煉理論

對(duì)于單個(gè)自由度的保守系統(tǒng)，q為廣義坐標(biāo)，則將勢(shì)能V（q）在q0＝0附近作泰勒展開(kāi)，選q0處為零勢(shì)能點(diǎn)，僅保留q的二階項(xiàng)：由拉格朗日方程得到：方程的解為：

3.2 兩個(gè)自由度微振動(dòng)

兩個(gè)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是耦合的，方程也是耦合的，求解方程組（2）的方法有幾種呢？答案是3種.方法一為試探解，是一種基本方法；方法二是對(duì)微分方程分析變形；方法三是動(dòng)、勢(shì)能化為平方和的形式.

3.2.1 3種方法求解方程組

方法一：設(shè)試探解為

式（3）代入式（2）得到A1、A2的代數(shù)方程組得

式（4）有解的條件是

式（6）代入式（4），對(duì)ω1，有A1＝A2；對(duì)ω2，有A1＝-A2，微分方程組（2）的通解為

方法二：直接對(duì)方程組（2）變形求解，對(duì)方程組（2）中的兩個(gè)方程分別相加、減得到

式（9）的通解是兩個(gè)諧振動(dòng)

方法三：直接把動(dòng)、勢(shì)能化為平方和.一般情況下，根據(jù)線性代數(shù)理論，如果兩個(gè)二次型的系數(shù)是實(shí)對(duì)稱(chēng)的，其中一個(gè)是正定的，則一定可以找到一個(gè)線性變換，使兩個(gè)二次型同時(shí)變?yōu)槠椒胶?微振動(dòng)的動(dòng)、勢(shì)能滿足條件，一定存在一個(gè)x和ξ的線性變換，代入動(dòng)、勢(shì)能中讓交叉項(xiàng)系數(shù)等于零，就可把動(dòng)、勢(shì)能化為平方和的形式，進(jìn)而用拉格朗日方程得到單一振動(dòng)模式的動(dòng)力學(xué)方程.設(shè)組（9）.

3.2.2 引導(dǎo)討論

（1）總結(jié)簡(jiǎn)正頻率、簡(jiǎn)正坐標(biāo)、簡(jiǎn)正模式的概念，分析為何試探解式（3）中cos（ωt＋φ）都相同呢？不同行嗎？答案是必須相同.從數(shù)學(xué)上講，這正是線性齊次微分方程的特點(diǎn)，用不同的cos（ωt＋φ）則不能滿足方程組，方程組（2）各項(xiàng)含t的因子不能相消，最多只能在某些時(shí)刻為零.從物理上講，不同的ω對(duì)應(yīng)不同的振動(dòng)頻率，若式（3）中各項(xiàng)的ω不同，則它們對(duì)應(yīng)不同頻率的振動(dòng)，不同頻率振動(dòng)的任意線性組合都不可能等于零，即方程組（2）中各個(gè)方程不能成立.

（2）兩個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式分別代表何種運(yùn)動(dòng)？對(duì)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式ω1：ξ1＝x1＋x2＝A1cos若表示兩質(zhì)點(diǎn)同相振動(dòng)，反映整體振動(dòng)情況.對(duì)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式ω2：若x1（0）＝則有ξ1＝0，ξ2＝2x0cosω2t，表示兩質(zhì)點(diǎn)反相振動(dòng)時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，ξ2表示1對(duì)2的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，反映兩個(gè)振子通過(guò)中間彈簧耦合的情況.

（3）系統(tǒng)的任一振動(dòng)與簡(jiǎn)正振動(dòng)的關(guān)系？系統(tǒng)的任一種振動(dòng)狀態(tài)是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加，看初始時(shí)哪些被激發(fā)，哪些沒(méi)有激發(fā)？若初始只激發(fā)一個(gè)，其余沒(méi)有激發(fā)，就只有一個(gè)簡(jiǎn)正模式振動(dòng)，簡(jiǎn)正坐標(biāo)不僅使方程求解容易，而且反映了系統(tǒng)振動(dòng)的物理本質(zhì).對(duì)于一個(gè)微觀系統(tǒng)，由于熱運(yùn)動(dòng)引起的能量漲落，以致溫度足夠高，各簡(jiǎn)正模式都會(huì)在一定程度上激發(fā)起來(lái).在這種意義下，簡(jiǎn)正模是凝聚態(tài)物理學(xué)中重要概念“元激發(fā)”的萌芽.

（4）耦合效應(yīng)使共同頻率ω0分成兩個(gè)不同本征頻率ω1和ω2，若m2固定，m1振動(dòng)，則ω0＝固定，m2振動(dòng)，則兩個(gè)振子沒(méi)有耦合時(shí)振動(dòng)情況完全相同，具有相同的振動(dòng)頻率ω0，耦合效應(yīng)使ω0分成ω2和ω1兩個(gè)頻率.

圖2 耦合彈簧振子的頻率

如圖2（a）所示，這種頻率的分裂類(lèi)似于原子光譜中的塞曼效應(yīng)，在那里相互作用是通過(guò)施加磁場(chǎng).如果對(duì)于3個(gè)質(zhì)點(diǎn)，4個(gè)彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，通過(guò)類(lèi)比猜想或求解，也得到本征頻率分成圖2（b）所示.

3.2.3 提煉理論

對(duì)兩個(gè)自由度的保守系統(tǒng)，q1，q2為廣義坐標(biāo)，勢(shì)能在平衡位置處展開(kāi)，線性近似略去高于二階的微量，引入對(duì)穩(wěn)定約束力學(xué)系統(tǒng)：利 用廣義速 度變換，代入拉格朗日方程

式（12）有解的條件是

4 應(yīng)用理論，審視案例

4.1 應(yīng)用理論

通過(guò)類(lèi)比，把兩個(gè)微振動(dòng)求解理論應(yīng)用到N個(gè)自由度微振動(dòng)系統(tǒng)，如圖1（d）所示，選qs（表示某一瞬時(shí)第s個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置位移，s＝1，2，…，N）為廣義坐標(biāo)，因邊界是固定的，q0＝qN＋1

設(shè)試探解為

在近代物理中，用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)比較方便，復(fù)數(shù)的實(shí)部或虛部就是經(jīng)典力學(xué)中的諧振動(dòng).

式（15）的A可以是復(fù)數(shù)，與位置無(wú)關(guān)，qs＝sa是第s個(gè)質(zhì)點(diǎn)平衡時(shí)的位置，a是平衡時(shí)相鄰兩質(zhì)點(diǎn)間的距離.k波（波矢）和φ（相位）由邊界條件決定.確定ω：式（15）代入式（14）得mω2＋k（e-ik波a-2＋確定φ：由q0任何時(shí)候都成立，得eiφ＝0，或它們的奇數(shù)倍，取保證式（15）中qs實(shí)部不出現(xiàn)負(fù)號(hào).確定k波：由qN＋1＝任何時(shí)候都成立，則k波（N＋1）a＝απ，α＝1，2，…，N.得其中，α＝1，2，…，N，式（15）的實(shí)部解為

可見(jiàn)，對(duì)N個(gè)自由度的系統(tǒng)，解決的方法步驟與兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)完全相同，有幾個(gè)自由度，就有幾個(gè)簡(jiǎn)正頻率，也就有幾個(gè)簡(jiǎn)正模式和簡(jiǎn)正坐標(biāo).

4.2 拓展與延伸

N個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在固體物理中用來(lái)研究一維晶體振動(dòng)性質(zhì)，它反映系統(tǒng)在最近鄰相互作用下的特性：

不出現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)的序號(hào)s，證明系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)都具有這種頻率與波矢的關(guān)系，通常稱(chēng)為色散關(guān)系.ωα的最大值表示質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)頻率增加到（ωα）max時(shí)自然截止，頻率大于（ωα）max的振動(dòng)不可能在一維系統(tǒng)中存在并傳播.

（3）經(jīng)典力學(xué)方法求解一維N體振動(dòng)，其結(jié)果部分說(shuō)明晶體的性質(zhì)，對(duì)晶體性質(zhì)的全面描述，必須用量子理論描述.簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述的一維諧振子，量子力學(xué)處理方法中把力學(xué)量用算符表示，得到量子力學(xué)描述，諧振子能量是分立的，定義分立能量hωα為聲子，聲子是晶格集體激發(fā)的玻色型準(zhǔn)粒子，它具有能量hωα和準(zhǔn)動(dòng)量hk波.

（4）對(duì)兩個(gè)或多個(gè)彈簧振子耦合的系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)不按某個(gè)或某幾個(gè)振子的頻率振動(dòng)，而是存在簡(jiǎn)正振動(dòng)模式，且按簡(jiǎn)正頻率振動(dòng)，系統(tǒng)任意振動(dòng)是這一系列簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加.

5 評(píng)價(jià)總結(jié)，形成理論體系

結(jié)合單自由度、兩個(gè)自由度微振動(dòng)的處理方法，我們用拉格朗日方程給出s個(gè)自由度保守系統(tǒng)微振動(dòng)的一般理論.對(duì)s個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)，受保守力穩(wěn)定約束，相對(duì)平衡位置qα0＝0的廣義坐標(biāo)qα，α＝1，2，…，s，勢(shì)能在qα0附近展開(kāi)，線性近似后，設(shè)有V＝將L＝T-V代入拉格朗日方程，得到設(shè)試探解qβ＝Aβcos（ωt＋α），β＝1，2，…，s，代入運(yùn)動(dòng)微分方程得這是關(guān)于振幅Aβ的方程組，Aβ有非零解必須滿足頻率方程

小振動(dòng)的頻率不能任意取值，只能由頻率方程確定.它是ω2的s次方程，一般有s個(gè)根，這些根與振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，僅決定于慣性和勁度系數(shù)，也叫力學(xué)系統(tǒng)的固有頻率，固有頻率求出后，代入振幅Aβ方程，確定s個(gè)Aβ的比值，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的某一頻率的特解.因微振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程是線性的，故整個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的解一定是這些特解的線性組合.理論的使用條件是：保守系統(tǒng)，穩(wěn)定約束，可線性化處理.

6 結(jié)語(yǔ)

地方高等師范院校專(zhuān)業(yè)課中的案例教學(xué)，有利于從問(wèn)題出發(fā)，促成學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新實(shí)踐能力.通過(guò)多階段的案例分析實(shí)踐過(guò)程，不僅使理論來(lái)源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐，在實(shí)踐中強(qiáng)化理論的應(yīng)用和理解.而且通過(guò)案例整合知識(shí)，使知識(shí)應(yīng)用整體化，打破了力學(xué)、理論力學(xué)和固體物理學(xué)中各部分知識(shí)相對(duì)獨(dú)立的局面.同時(shí)對(duì)師范生的教育教學(xué)技能進(jìn)行了培養(yǎng)，起到了示范課的作用.但由于案例教學(xué)的難度大，需要教師廣博深厚的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，花費(fèi)更多時(shí)間，投入更多的精力.需要學(xué)生做好課前閱讀和思考，才能達(dá)到較好的效果.在地方高師院校中，部分學(xué)生有畏難情緒，放棄課前閱讀思考，教師要對(duì)課前閱讀思考狀況準(zhǔn)確地把握及時(shí)指導(dǎo)，課堂上才會(huì)有較好的交流互動(dòng).

［1］王華榮.以案例教學(xué)推動(dòng)大學(xué)課堂教學(xué)模式改革的實(shí)踐與探索［J］.中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011（4）：62-64.

［2］張萍，劉宇星.同伴教學(xué)法在大學(xué)物理課程中的作用［J］.物理與工程，2012，22（1）：41-43.

［3］王翀，梁猛，楊祎.一種創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)模式［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30（7）：152-154.

［4］段志剛，彭志敏.大學(xué)物理探究性教學(xué)設(shè)計(jì)策略與方法［J］.物理與工程，2012，22（3）：54-56.

［5］劉良成，許秀英，劉健.研究型教學(xué)的探討與嘗試［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30（10）：293-295.

［6］高虹.從美國(guó)理工科本科教學(xué)改革看研究型教學(xué)［J］.物理與工程，2004，14（2）：12-14.

［7］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.3版，北京：高等教育出版社，2009：224-231.

［8］郭易圓，彭慧蓮，王琪.理論力學(xué)探究型教學(xué)模式的探索與實(shí)踐［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2011，23（3）：70-72.

［9］金尚年，馬永利.理論力學(xué)［M］.2版，北京：高等教育出版社，2002：172-207.

［10］鞠國(guó)興.理論力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析［M］.北京：科學(xué)出版社，2008：220-267.

［11］魯興舉，彭學(xué)鋒，鄭志強(qiáng).提高自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)學(xué)生工程素質(zhì)——以倒立擺實(shí)驗(yàn)為例［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30（10）：272-275.

［12］劉正波，夏清華，劉思平.不同控制參數(shù)下的彈簧擺［J］.大學(xué)物理，2011，30（5）：23-26.

［13］尹新國(guó)，柯遠(yuǎn)貴，公丕鋒，等.倒置擺的運(yùn)動(dòng)研究［J］.大學(xué)物理，2011，29（11）：16-20.

［14］柯正波，夏清華，劉思平.多彈簧振子耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)研究［J］.大學(xué)物理，2010，29（4）：29-32.

［15］趙凱華，羅蔚茵.力學(xué)［M］.2版，北京：高等教育出版社，2004.249-260.

［16］胡安，章維益.固體物理學(xué)［M］.2版，北京，高等教育出版社，2011.78-96.