彈簧的振動(dòng)

任保文

（西安電子科技大學(xué)物理系，陜西 西安 710071）

在常見大學(xué)物理教科書中，對(duì)彈簧振子的討論，一般都忽略彈簧質(zhì)量；彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率為單一值.若考慮彈簧自身質(zhì)量，即將彈簧看作彈性體，則彈簧波動(dòng)頻率并不單一、其值也明顯不同，當(dāng)彈簧質(zhì)量較小可忽略時(shí)，振子的頻率等問題皆回到常見情形.但當(dāng)彈簧質(zhì)量不可忽略時(shí)，其結(jié)果與常見情況明顯不同.本文也給出了彈簧在自重作用下的靜止形變及最大形變以及超越方程xtanx＝c解的漸近表示等重要結(jié)論.

1 問題及解

原長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m0且彈性系數(shù)為k的彈簧，豎直懸掛著質(zhì)量為m的振子，慢慢放開，則該定解問題如下：

故解為

2 討論

1）靜態(tài)解的一些討論

m=0時(shí)，彈簧在自重作用下的變形為u（x）此時(shí)彈簧的質(zhì)量線密度為

靜止時(shí)坐標(biāo)為η，則有，故有

動(dòng)態(tài)時(shí)類似.

彈簧端點(diǎn)的振動(dòng)為

2）若m＝0時(shí)，則有：

由邊界條件可設(shè)通解為

3）m0／m→0時(shí)，一般解的一些討論

對(duì)于超越方程xtanx＝c，若令z＝x-nπ，n＝1，2，3，…，則有

即求z（w）的漸近展開式，由

等等.

考慮到漸近表示的誤差，則超越方程根的漸近表示取為

對(duì)于超越方程xtanx＝c的最小正數(shù)解，選c為參數(shù).同理得根的漸近表示為

故：振動(dòng)的基頻為

對(duì)超越方程xtanx＝c用迭代法解得

xtanx＝0.05的理論解如下：

xtanx＝0.05的漸近解的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如下：

由上面數(shù)值計(jì)算可以看出，當(dāng)c較?。踓＝0.01，c＝0.1］時(shí)漸近公式具有較高的精確度.故一般解近似為

此種情況高階項(xiàng)相對(duì)較小，一般可略去.此時(shí)退化為常見情況.

由以上討論可知，若考慮彈簧的自身質(zhì)量比不考慮彈簧質(zhì)量來描述對(duì)振子運(yùn)動(dòng)無疑更全面更準(zhǔn)確.所得結(jié)論更一般，亦是常見普通物理教科書中難以推出的.該文處理問題的思想方法及超越方程的解法對(duì)于類似問題定有幫助.

［1］M.A.拉夫連季耶夫，B.B.沙巴特.復(fù)變函數(shù)方法［M］.施祥林，等，譯.北京：高等教育出版社，2006.339.

［2］任保文，付小寧.大學(xué)物理中幾個(gè)常見超越方程解的漸近表示［J］.大學(xué)物理，2007，（7）：34-35.

［3］任保文.大學(xué)物理學(xué)輔導(dǎo)講案——概念解析與一題多解［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.77；263.

［4］何連超.有質(zhì)量彈簧的振動(dòng)周期探討［J］.物理與工程，2011，21（5）：1-2，9.