動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制與極大值原理的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

許堅(jiān)

【文章摘要】

本文從動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型入手，解釋模型變量，并在此基礎(chǔ)上給出動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋?zhuān)詈蠼Y(jié)合一個(gè)實(shí)例來(lái)分析應(yīng)用極大值原理求解實(shí)際問(wèn)題，以便直觀而深刻的理解極大值原理在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】

動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)；最優(yōu)控制；極大值原理；經(jīng)濟(jì)學(xué)

0 引言

動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的問(wèn)題，在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，尤其在博弈論和宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著大量的應(yīng)用，研究動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的數(shù)學(xué)工具有好幾種，如變分法、最優(yōu)控制理論和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等。極大值原理不僅在現(xiàn)代控制理論中應(yīng)用甚廣，在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，為了能有效的解決實(shí)際問(wèn)題，解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的復(fù)雜控制問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)中的極大值原理的實(shí)質(zhì)及原理精髓，了解其經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋對(duì)解決經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題幫助很大。

極大值（也稱(chēng)極小值）原理是蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金很早就提出來(lái)的，后來(lái)人們利用極大值原理求解最優(yōu)控制，以取代古典變分法。實(shí)際上，極大值原理也可看成古典變分法的推廣，即最優(yōu)控制域不必局限于開(kāi)集，也可推廣到閉集。

1 動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型

1.1原始最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介：

狀態(tài)變量的時(shí)間發(fā)展軌跡：；性能指標(biāo)函數(shù)為：

哈密爾頓函數(shù)（輔助函數(shù)）

1.2問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

按照最優(yōu)控制問(wèn)題的模式引入符號(hào)標(biāo)志：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)變量，以及m個(gè)決策變量，動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型可由下面的式子描述：

其中受到一定限制；

其中已知，給定， 在解決實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，通常只考慮n=2，m=3的情況，即只有兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量，兩個(gè)決策變量，從而上述模型可以簡(jiǎn)化為：

其中受到一定限制；

其中已知，給定。

動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型的極大值原理的必要條件：

（1）

其中為哈密爾頓算子，決策變量在容許范圍內(nèi)應(yīng)使得哈密爾頓函數(shù)取值最大。如果是沒(méi)有限制的，那么哈密爾頓函數(shù)值取極大值的條件為：

動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制的極大值原理必要條件的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

在（1）中，哈密爾頓算子可看作影子價(jià)格，于是（1）可記作

由于，所以上式又可記作

（2）

由（1）和（2）得出

（3）

由（3）可以看出：是固定成本的價(jià)格，是中間投入的價(jià)格，當(dāng)進(jìn)行最優(yōu)決策時(shí)，不僅要使在時(shí)間內(nèi)獲得的人均消費(fèi)最大，也要考慮到固定資本 與中間投入的增值最大。

一般來(lái)說(shuō)，稱(chēng)為對(duì)目標(biāo)值的瞬間直接貢獻(xiàn)，稱(chēng)為對(duì)目標(biāo)的瞬時(shí)間接貢獻(xiàn)，兩者之和稱(chēng)為對(duì)目標(biāo)值的瞬時(shí)總貢獻(xiàn)，這便是哈密爾頓函數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。當(dāng)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策時(shí)，應(yīng)當(dāng)使得哈密爾頓函數(shù)值取最大，這便是極大值原理的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

再來(lái)解釋影子價(jià)格與的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義：對(duì)于動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其它都不變，僅固定資本增加的量，那么由于 的增加必使得在時(shí)間內(nèi)目標(biāo)增加，稱(chēng)為由引起的收益；另一方面，若擁有的資本，在t時(shí)刻價(jià)值為，在時(shí)刻價(jià)值為，兩者之差為，稱(chēng)其為的邊際成本。由于僅在變化，故。上式可以寫(xiě)成（4），對(duì)的變化作類(lèi)似分析，可得到

（5）

而（4）（5）就是動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型極值的必要條件。

2 實(shí)例分析

例如某種糧專(zhuān)業(yè)戶(hù)現(xiàn)擁有1臺(tái)抽水機(jī)及1輛馬車(chē)等固定資本總共 = 1.5萬(wàn)元，投入種子及化肥等中間消耗= 0.3萬(wàn)元，再投入10人年勞動(dòng)工時(shí)；種20畝地，畝產(chǎn)1 500斤，每斤賣(mài)1元，種糧收入3萬(wàn)元，加上其他收入共3.27萬(wàn)元。每年除消費(fèi)外，余下的用于擴(kuò)大再生產(chǎn)，根據(jù)最優(yōu)增長(zhǎng)模型，在防調(diào)發(fā)展?fàn)顟B(tài)下，產(chǎn)出的收入中應(yīng)該有多少比例用于購(gòu)買(mǎi)設(shè)備，多少比例用于購(gòu)買(mǎi)化肥、種子、農(nóng)藥等中間消耗投入？

解：首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)

當(dāng)且時(shí)，應(yīng)令。當(dāng)且時(shí)，應(yīng)令。以上兩種情況都是在約束邊界上，或?yàn)?意味著消費(fèi)為0，這在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)是不可能的。因此經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的調(diào)整后，必然使得或都小于1，我們稱(chēng)為協(xié)調(diào)發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

現(xiàn)在討論協(xié)調(diào)發(fā)展時(shí)與的取值：在協(xié)調(diào)發(fā)展時(shí)，，上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到。代入極值的必要條件，得到 。

將哈密爾頓函數(shù)代入上式，可以得出：

同樣可以求出：。由此可以求出 因此，最優(yōu)的用于購(gòu)置設(shè)備的投資比例，正好是生產(chǎn)函數(shù)中的指數(shù)；最優(yōu)的用于購(gòu)置中間消耗投入的比例，正好是生產(chǎn)函數(shù)中的指數(shù)，余下的30%用于消費(fèi)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]安吉爾·德·拉·弗恩特.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法與模型[M].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2003.