永磁同步電機雙率殘差增廣最小二乘參數(shù)辨識

徐鵬， 肖建， 楊奕， 李山

(1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，四川成都610031;2.重慶理工大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，重慶400054)

0 引言

經(jīng)典系統(tǒng)辨識理論通常假設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出采樣數(shù)據(jù)均是在同一操作頻率(單率)下獲得。隨著各種工業(yè)過程的發(fā)展和生產(chǎn)需求的提高，受客觀物理因素的限制，如輸入輸出變量的頻率特性、設(shè)備傳感器特性等，輸入與輸出變量需要采用不同的采樣(保持)頻率采集過程數(shù)據(jù)，從而出現(xiàn)多率采樣系統(tǒng)。多率采樣系統(tǒng)理論研究技術(shù)起步于20世紀50年代，隨后逐步應(yīng)用于通信系統(tǒng)、信號處理、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、過程工業(yè)控制等領(lǐng)域。隨著被控對象復(fù)雜度的加深，多率采樣系統(tǒng)更多用于各類控制系統(tǒng)中，而多率采樣系統(tǒng)的建模與辨識先于控制成為研究的熱點［1］。

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motors，PMSM)具有體積小、結(jié)構(gòu)簡單、效率高等諸多優(yōu)點，使得其在數(shù)控機床、醫(yī)療器械、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而與其他交流電機一樣，由于受噪聲、溫度和磁場等因素影響，永磁同步電動機是一個參數(shù)不確定、非線性、強耦合和多變量高階復(fù)雜系統(tǒng)，為保證相關(guān)的控制算法有效運行，首先需要獲得電機相關(guān)參數(shù)，目前常用的電機參數(shù)辨識方法主要有最小二乘法［2－8］、卡爾曼濾波法［9－12］、模型參考自適應(yīng)法［13－16］以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［17－20］。最小二乘法具有算法簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識中。它既可以用于動態(tài)系統(tǒng)也可以用于靜態(tài)系統(tǒng);既可以用于線性系統(tǒng)，也可以用于非線性系統(tǒng);既可以用于離線估計，也可以用于在線估計。文獻［5］用帶有遺忘因子的最小二乘法對轉(zhuǎn)子慣性常數(shù)、阻尼常數(shù)進行了估計，并采用極點配置理論設(shè)計的實時PI控制器在參數(shù)變化的情況下對永磁同步電機進行了精確控制。文獻［6］采用帶有遺忘因子的最小二乘法對定子電阻、轉(zhuǎn)子磁通和電機銅損電阻進行了辨識，通過采用輸入、輸出反饋控制和滑模觀測器觀測轉(zhuǎn)子速度和位置實現(xiàn)永磁同步電機的無速度傳感器控制。文獻［7－8］論述了采用帶有遺忘因子的最小二乘法對Rd，Rq，Ld，Lq在有短路情況下引起較大溫升時的參數(shù)變化進行了辨識，以檢測定子繞組匝間短路。

本文采用多項式變換技術(shù)推導(dǎo)出永磁同步電機雙率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)模型，而變換后原單率系統(tǒng)模型中的白噪聲變成有色噪聲，針對帶有色噪聲的雙率采樣模型，推導(dǎo)出辨識永磁同步電機雙率采樣系統(tǒng)基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)，并對算法進行收斂性分析，仿真實驗結(jié)果表明DR－RELS辨識算法對永磁同步電機雙率采樣系統(tǒng)的參數(shù)辨識一致收斂。

1 永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

永磁同步電動機具有多變量、強耦合、非線性的性質(zhì)，要獲得良好的調(diào)速性能需在控制時實現(xiàn)對象的近似解耦。因此常采用轉(zhuǎn)子磁鏈定向同步旋轉(zhuǎn)坐標系(即d－q軸旋轉(zhuǎn)坐標系)對永磁同步電動機性能進行分析研究。在建立永磁同步電機d－q軸數(shù)學(xué)模型前對電機本體及外界影響做出一些假設(shè)，永磁同步電動機在d－q軸旋轉(zhuǎn)坐標系下的電壓方程［21－22］為

機械運動方程

2 永磁同步電機雙率增廣最小二乘算法

多輸入多輸出多率采樣系統(tǒng)可以分解為若干個單輸入單輸出雙率采樣系統(tǒng)來進行研究。國內(nèi)外很多學(xué)者研究多率采樣系統(tǒng)時，往往從雙率采樣系統(tǒng)出發(fā)，然后將研究成果推廣至多率采樣系統(tǒng)。針對一類單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，其輸入量的保持頻率與輸出量的采樣頻率不同，如圖1所示，Pc為連續(xù)時間過程，由計算機產(chǎn)生的離散控制信號u(tT1)經(jīng)過周期為T1=ph的零階保持器HT1產(chǎn)生的連續(xù)信號uc作為連續(xù)過程Pc的輸入，受噪聲v影響的輸出yc經(jīng)過采樣周期T2=qh的采樣器ST2產(chǎn)生離散輸出信號y(tT2)(p和q互質(zhì)，h為基周期)。

圖1 雙率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)Fig.1 Dual-rate sampled-data system

多項式變換技術(shù)是除提升技術(shù)以外的唯一能夠獲得雙率辨識模型的方法，這種方法通過對單率模型作一定的轉(zhuǎn)換，使其可以直接使用雙率數(shù)據(jù)辨識出系統(tǒng)模型，然后在辨識出的雙率模型參數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合雙率數(shù)據(jù)得出采樣間輸出的估計，最后實現(xiàn)雙率系統(tǒng)的參數(shù)辨識［1，23］。

設(shè)定采樣基周期為h=T，輸入采樣周期為T，輸出采樣周期為2T，即p=1，q=2，引入多項式

式(3)兩邊左乘D(z)得到

為簡化問題分析，下面僅分析d軸電流，并設(shè)定q軸電流無噪聲干擾，即vq(k)=0，整理得

代換參數(shù)得

式中:

定義參數(shù)向量

那么式(6)可以寫成下列回歸形式

用qt代替k得到

式中:

φ0(qt)包含可測得的雙率采樣輸入輸出數(shù)據(jù){i(qt)，u(t)}，同時也包含不可測的噪聲項v(qti)，無法采用標準的最小二乘算法估計參數(shù) ?。φ0(qt)中的未知項 v(qt－i)用殘差 v^(qt－i)來代替，則φ0(qt)用下面的信息向量代替

殘差估計值可由下式計算得到

其中y(qt－i)=id(qt－i)，由于i=1不是q的整數(shù)倍，式(9)中 y(qt－i)和 φT(qt－i)均不可測，則無法通過式(9)來計算殘差估計。為此，需要將不可測的輸出采樣中間值y(qt－i)用其估計y^(qt－i)來代替，其計算過程如下:

由式(3)得

設(shè)

則式(10)可寫成如下形式

用qt代換k

式中:

殘差估計值可由下式求得，

可得針對永磁同步電機雙率采樣系統(tǒng)模型公式(7)的參數(shù)?辨識算法，即基于殘差增廣最小二乘(DR－RELS)辨識算法

算法初始化設(shè)置:P(0)=p0I，p0為很大的正整數(shù)，I為單位陣，?^(0)為很小的實向量。

做法：1.取水淀粉加入熱水中，將手浸泡15分鐘，然后用清水洗凈，涂抹大量的含有維生素A的軟膏。2.用保鮮膜包裹手部，戴上手套或保鮮膜保持一夜，第二天早上再洗凈即可。

3 算法性能分析

設(shè){v(t)，F(xiàn)t}為定義在概率空間{Ω，F(xiàn)，P}的鞅差分序列，其中{Ft}是由{v(t)}產(chǎn)生的代數(shù)序列，比如，F(xiàn)t=σ(v(t)，v(t－1)，v(t－2)，…)或 Ft=σ(y(t)，y(t－1)，y(t－2)，…)［24］。

對于噪聲序列{v(t)}，假設(shè)其滿足下列條件:

算法收斂性的驗證需要以下引理。

引理1 對于DR－RELS算法式(12)～式(21)，下列不等式成立:

證明參考文獻［25］中引理2的證明，此處從略。

定義

那么可得

引理2 對于雙率采樣系統(tǒng)公式(8)和DRRELS算法式(12)～式(21)，假設(shè)條件(A1)和(A2)成立，且

(A3)H(z):=D－1(z)－嚴格正實

則

這里(A3)保證了S(qt)≥0成立。

證明參考文獻［1］中引理2.2.2的證明，此處從略。

定理3 對于雙率系統(tǒng)式(8)和DR－RELS式(12)～(21)算法，假設(shè)引理2中的條件都滿足，那么對于任意c＞1，有

證明結(jié)合文獻［1］，對于結(jié)論1，設(shè)

由 P－1(qt)的定義(20)可知 ln|P－1(qt)|為非遞減，利用引理2可得

應(yīng)用文獻［24］中的引理D.5.3可得

由于S(qt)≥0，上式表示

由 ln|P－1(qt)|=O(lnr(qt))=O(lnλmax［P－1(qt)］，則

對于結(jié)論2，3和4設(shè)

c＞1.則結(jié)論2，3和4可以用相似的方法得以證明。定理3證畢。

4 仿真實驗

永磁同步電機電磁參數(shù)見表1所示，系統(tǒng)基周期T=1e－6(s)，輸入采樣周期為 1e－6(s)，輸出采樣周期為2e－6(s)，p=1，q=2，電機調(diào)速采用雙閉環(huán)PI調(diào)節(jié)方式，轉(zhuǎn)速設(shè)定為ω=100(rad/s)，負載轉(zhuǎn)矩為7 N·m，轉(zhuǎn)速和d軸電流響應(yīng)如圖2，圖3所示。

表1 永磁同步電機電磁參數(shù)Table 1 Electromagnetic parameters of PMSM

由電機電磁參數(shù)可以得到永磁同步電機雙率采樣系統(tǒng)的參數(shù)真實值

圖2 轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.2 Speed response

圖3 d軸電流響應(yīng)Fig.3 d-axis current response

結(jié)合參數(shù)?的值以及公式(8)φ0(qt)表達式，可以確定 αd1，βd1，βd2為辨識過程的關(guān)鍵參數(shù)，而 αd2，βd3，βd4參數(shù)相對極小，γd1辨識因采用殘差估計噪聲故不作為考察參數(shù)。故設(shè)定辨識過程的關(guān)鍵參數(shù)為噪聲信號{v(t)}為零均值、方差為σ2白噪聲序列。不同噪聲方差σ2下應(yīng)用DR－RELS算法來估計參數(shù)?，并采用其估計值直接計算:=［的估計值，則參數(shù)估計和估計誤差見表2～表5和圖 4，其中 δ:= ‖－ ?k‖/‖?k‖，δs:= ‖－ θ‖/‖θ‖為歐幾里得范數(shù)計算參數(shù)估計誤差。

表2 DR-RELS算法的?k估計值(σ2=0.012)Table 2 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.012)

表3 a1和b1估計值(σ2=0.012)Table 3 Estimates a1and b1(σ2=0.012)

表4 DR-RELS算法的?k估計值(σ2=0.022)Table 4 DR-RELS estimates ?k(σ2=0.022)

表5 a1和b1估計值(σ2=0.022)Table 5 Estimates a1and b1(σ2=0.022)

由表2～表5和圖4可以看出，隨著時間t的增加，參數(shù)估計誤差δ逐漸減小，參數(shù)估計值收斂于真實值。隨著噪聲方差σ2的減小，參數(shù)估計誤差δ在辨識初期的振蕩幅度逐漸減小。但因辨識參數(shù)值的差異性太大，如αd1遠大于βd1，βd2，這就導(dǎo)致各個參數(shù)收斂速度的不均衡。結(jié)合圖3電流響應(yīng)，可以看出辨識初期電流值在零附近，噪聲信號影響較大，而噪聲的估計值不準確性導(dǎo)致參數(shù)估計誤差δ振蕩劇烈。

圖4 不同噪聲方差下參數(shù)估計誤差δFig.4 Comparison between σ2=0.012and 0.022:DR-RELS estimation error δ

采用DR－RELS雖然能有效辨識帶噪聲的永磁同步電機雙率采樣系統(tǒng)，但是由于采用多項式變換技術(shù)后待辨識參數(shù)的增加，使得應(yīng)用DR－RELS算法時增加了算法的計算量。

5 結(jié)論

采用多項式變換技術(shù)對多變量、強耦合永磁同步電機系統(tǒng)變換得基于雙率采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，并采用基于殘差增廣最小二乘算法(DR－RELS)對其變換后的模型進行參數(shù)辨識，同時對算法進行了性能分析，仿真結(jié)果證明該算法對永磁同步電機雙率采樣數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計一致收斂性。

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