矢量叉積運(yùn)算滿足分配率的一種簡(jiǎn)單證明

焦重慶

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京102206)

0 引言

矢量分析與場(chǎng)論是學(xué)習(xí)“電磁場(chǎng)”課程的基本數(shù)學(xué)工具。在矢量分析中，叉積運(yùn)算則是兩個(gè)矢量之間的基本運(yùn)算之一。叉積教學(xué)時(shí)，一般要先講其幾何定義:

其中，A、B為矢量，A、B分別為其模。θ為A、B之間的夾角。en是與A、B都垂直的單位矢量，且A、B、en三者呈右手螺旋關(guān)系。

然后，介紹叉積在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式:

式中，ex，ey和ez分別為x，y和z方向的單位矢量。

從式(1)到式(2)，其關(guān)鍵是承認(rèn)叉積運(yùn)算滿足分配率，即

上式根據(jù)式(1)給出的幾何定義，并根據(jù)以下六個(gè)等式直接導(dǎo)出:

在電磁場(chǎng)教材中，一般對(duì)叉積運(yùn)算的分配率性質(zhì)沒(méi)有給出證明[1-4]。實(shí)際上，這一性質(zhì)的得出并非顯而易見(jiàn)，由于涉及到方向的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，具有一定的難度，特別是對(duì)于初學(xué)的本科生。在美國(guó)麻省理工學(xué)院教材中，特意在附錄部分用約1頁(yè)的篇幅，對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行了證明，但過(guò)程稍顯復(fù)雜[5]。

本文則借助于矢量之間的標(biāo)量三重積等式，給出了叉積運(yùn)算滿足分配率的一種非常簡(jiǎn)單的證明。

1 標(biāo)量三重積

矢量A、B、C之間的標(biāo)量三重積定義為A·(B×C)，它滿足如下等式

上式證明見(jiàn)圖1。A·(B×C)代表了圖1中平行六面體的體積，同理，B·(C×A)和C·(A×B)均代表了該平行六面體的體積。不難理解，式(5)的得出并不需要用到叉積運(yùn)算滿足分配率性質(zhì)。

圖1 標(biāo)量三重積的幾何意義示意圖

2 叉積運(yùn)算滿足分配率的證明

借助式(5)，有

由于點(diǎn)積運(yùn)算滿足分配率，進(jìn)而從上式可得:

上式第二步的導(dǎo)出用到了式(5)。綜合式(6)和式(7)，有

由于C的任意性。從式(8)導(dǎo)出

叉積運(yùn)算滿足分配率由此得證。

3 結(jié)語(yǔ)

矢量之間的叉積運(yùn)算滿足分配率是推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下叉積計(jì)算公式的基礎(chǔ)。叉積運(yùn)算滿足分配率的證明過(guò)程在一般電磁場(chǎng)教材中很少涉及。本文提出了一種證明叉積運(yùn)算滿足分配率的方法，該方法基于矢量之間標(biāo)量三重積的循環(huán)等式，具有思路新穎且簡(jiǎn)單易懂的特點(diǎn)，對(duì)電磁場(chǎng)理論部分教學(xué)有參考意義。其中，標(biāo)量三重積的循環(huán)等式的證明依據(jù)了平行六面體的體積公式，屬于一般電磁場(chǎng)教材上的常規(guī)內(nèi)容，幾何意義明確且便于學(xué)生理解和接受。

[1]倪光正.工程電磁場(chǎng)原理[M].北京:高等教育出版社，2009.

[2]馮慈璋，馬西奎.工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社，2000.

[3]王澤忠，全玉生，盧斌先.工程電磁場(chǎng)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2011.

[4]雷銀照.電磁場(chǎng)[M].北京:高等教育出版社，2008.

[5]Markus Zahn.Electromagnetic Field Theory:A Problem Solving Approach[M].Krieger Pub Co，2003.