全鈮超導Josephson結(jié)的EWB仿真模型

宿非凡，王瑞峰

(1．中國科學院物理研究所，北京 100190;北京交通大學，北京 100044)

自從約瑟夫森(Josephson)于1962年發(fā)現(xiàn)了Josephson效應(yīng)以來，超導電子學取得了迅速的發(fā)展。作為超導電子學的最基本原件——Josephson隧道結(jié)，無論是對其的理論研究還是其制備工藝的研究改進都是十分有意義的［1-4］。

近幾年來國外已經(jīng)有一些軟件可以用來對Josephson結(jié)進行直接的模擬仿真，比如 Wins、JSpice等，然而這些軟件的各種功能還不能讓人滿意，現(xiàn)階段還無法滿足Josephson結(jié)研究的具體要求。

EWB是目前的一種最簡單、最普遍的分析和模擬各種電路的有力工具，而且可以采用圖形輸入方式，操作界面直觀［5］。其分析功能強大，利用它可以方便的求出電路各種變量的時域、頻域等特性。

如果能夠利用這個軟件對約瑟夫森結(jié)進行仿真研究，可以大大提高工作效率、降低勞動量。同時，可以將約瑟夫森結(jié)與外電路很好的結(jié)合在一起，所以該模型將具有物理意義突出，物理圖景明顯的特點。

1 Josephson效應(yīng)簡介

約瑟夫森效應(yīng)也就是我們所說的非線性量子隧道效應(yīng)，兩塊超導體中間加一層很薄的絕緣層，即構(gòu)成一種典型的Josephson結(jié)。在這種情況下，絕緣層相當于一個勢壘其勢能高于Cooper Pair的動能。根據(jù)經(jīng)典理論，我們知道Cooper Pair是不可能穿過這個勢壘的。但是，根據(jù)量子理論Cooper Pair有一定的概率可以穿過這個勢壘，這種量子的隧道效應(yīng)就是約瑟夫森效應(yīng)產(chǎn)生的物理基礎(chǔ)。

根據(jù)微觀的BCS理論，超導體在進入超導態(tài)后，超導電子結(jié)合成庫珀對。這些庫珀對彼此交疊滲透導致整個超導體中的超導電子有相同的有序度。當兩塊超導體相距很遠時，它們序參量的位相必然不相關(guān);當它們合并在一起時，位相必然相同;如果它們處于既不遠離、也不合并，那么它們之間必然存在某種關(guān)聯(lián)，使它們的位相既非完全相同也非毫不相關(guān)，而是維持一定的關(guān)系。

1965年Josephson將約瑟夫森結(jié)滿足的電動力學規(guī)律總結(jié)為Josephson方程組的四個方程:

其中:θ為絕緣層兩側(cè)的電子波函數(shù)的相位差，j為流過約瑟夫森結(jié)的電流密度，jc為這個約瑟夫森結(jié)的臨界電流密度，V為結(jié)兩側(cè)的直流電壓值，→H為磁場強度。d為外磁場在勢壘區(qū)附近的有效穿透深度，其值為d= λ1+ λ2+t，λ1、λ2為絕緣層兩側(cè)超導體的穿透深度，t為絕緣層的厚度，ˉc為電磁波在約瑟夫森結(jié)中的傳播速度。

2 Josephson結(jié)的I-V特性曲線和常用模型

2．1 Josephson結(jié)的I-V特性曲線

由于約瑟夫森結(jié)中絕緣層的存在，所以結(jié)的超導層之間會出現(xiàn)電容特性。這個電容特性會引起約瑟夫森結(jié)的I-V回滯。約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性，見圖1。

圖1 約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性曲線

圖1 中顯示出來的非線性特性在實際的許多應(yīng)用之中是不利的，根據(jù)電路的相關(guān)知識我們知道，可以在約瑟夫森結(jié)上并聯(lián)一個定值電阻來減小這種回滯現(xiàn)象。這時候Josephson結(jié)的I-V特性，見圖2。

圖2 消除回滯后約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性曲線

在這種特性曲線中，隨著電壓的增大和減小，特性曲線是可逆的。當I＞IC時電壓由零電壓狀態(tài)跳變至有限電壓狀態(tài)。在有限電壓狀態(tài)，特性曲線遵從歐姆定律，表現(xiàn)出有限電阻的特性。

2．2 Josephson結(jié)常用模型

對于實際的Josephson結(jié)，可以將其視為一個滿足I=ICsinθ的理想Josephson結(jié)與耗散電阻R，結(jié)間分布電容C并聯(lián)的模型，其等效電路見圖3，這就是常用的Stewart-Mc Cumber模型，也常稱為RCSJ(電阻一電容并聯(lián)Josephson結(jié))模型。

在這個電路中，外加電流源時，總電流可以表達為:

其中:IC、IR、IJ分別表示流過電容器，電阻和理想Josephson結(jié)的電流。將其展開有:

圖3 Josephson結(jié)的RCSJ模型等效電路圖

有這樣一種情況，當Josephson結(jié)的耗散電阻R很小以至于分布電容C相當于開路時，RCSJ模型簡化為一個理想Josephson結(jié)與電阻的并聯(lián)，即所謂的RSJ模型。其等效電路圖見圖4。

這種情況下有βC＞＞1，所以相應(yīng)的電流表達式應(yīng)該改寫為:

另外一些Josephson結(jié)模型比較復雜，超出了本文的研究范圍這里不再贅述。

3 Josephson結(jié)的電路(EWB)模型與仿真

3．1 電路仿真軟件EWB

目前對 Josephson結(jié)的仿真研究，由于Josephson結(jié)的高度非線性特點，基本上都要采用數(shù)值計算的方法。但是應(yīng)用這種方法需要建立復雜的微分方程(組)并求解，這樣無疑會帶來效率較低、勞動繁重的問題。最近也有課題組采用Matlab建立模型進行仿真研究，但是這種方法僅相當于采用建立模型的方法來求解微分方程，僅降低了求解微分方程的工作量，物理意義不夠突出，物理圖像不夠明顯。

EWB是目前的一種最簡單、最普遍的分析和模擬各種電路的有力工具，可以大大提高工作效率、降低勞動量。同時，其將約瑟夫森結(jié)與外電路很好的結(jié)合在一起，所以該模型將具有物理意義突出，物理圖景明顯的特點。

本文首次提出了基于EWB簡單電路的理想Josephson結(jié)模型，并利用這個模型對Josephson結(jié)的特性進行了詳盡的仿真研究，仿真結(jié)果與實驗測量的實際結(jié)果相比較可以表明該模型是正確合理的。

3．2 Josephson結(jié)的電路(EWB)模型

為了在EWB中得到理想Josephson結(jié)的電路模型，我們先將(2)式對時間t積分一次并將積分的結(jié)果代入(1)式，可以得到:

為了全面的仿真研究Josephson結(jié)及其重要應(yīng)用SQUID，我們保留(8)式中的初相位θ0，這樣一來我們根據(jù)(8)式就得到了EWB中得到理想Josephson結(jié)的電路模型，其電路見圖5。

圖5 理想Josephson結(jié)的電路模型圖

圖5 中的所有元件均由EWB的標準元件庫提供，其中各元件分及其作用如下:

(1)電壓控制電壓源，其作用是將Josephson結(jié)兩端的電壓送給下一部分的電學元件，其放大系數(shù)為1;

(2)理想積分器，其作用是對電壓控制電壓源輸送來的電壓進行積分，其積分系數(shù)為3．038 5 × 1015

(3)、(4)直流電源，其作用是將(8)式中的初始相位表現(xiàn)在電路中;

(5)電壓控制正弦函數(shù)發(fā)生器，其作用是將上一級輸送來電壓的正弦函數(shù)輸出;

(6)放大器，其作用是將Josephson結(jié)的臨界電流值 IC表現(xiàn)在電路中，其放大系數(shù)就是Josephson結(jié)的臨界電流值IC;

(7)電壓控制電流源，其作用是將上一級輸送來的電壓值等效轉(zhuǎn)化為電流值，以便將我們的模型接入外部電路中，其系數(shù)為1。

不難看出，我們的模型完全是根據(jù)由約瑟夫森方程組推導而來的(8)式得到的，其物理意義十分明顯，物理圖景清楚。

這樣一來，我們就在EWB中得到了理想的Josephson結(jié)的全電路模型。電路按上圖連接好以后可以進行集成，集成好的理想Josephson結(jié)表示為圖6的形式，下面的仿真過程中我們均以此符號表示理想的約瑟夫森結(jié)。

圖6 集成理想Josephson結(jié)電路符號

以上獲得的是理想Josephson結(jié)的模型。對于實際Josephson結(jié)RSJ模型，我們只要在模型上并聯(lián)一個電阻即可，對于RCSJ模型，在RSJ模型原基礎(chǔ)上再并聯(lián)一個電容即可。

3．3 理想Josephson結(jié)在EWB中的模型的驗證結(jié)果

我們利用圖7形式的電路來進行仿真。可以看到圖中電阻R與理想的約瑟夫森結(jié)J并聯(lián)構(gòu)成了實際Josephson結(jié)的RSJ模型。我們將并聯(lián)電阻設(shè)定為0．5 Ω，Josephson結(jié)的臨界電流設(shè)定為0．4A，理想電流源提供1A的直流恒定電流。

圖7 仿真用的Josephson結(jié)RSJ模型電路圖

圖8 恒定電流源驅(qū)動獲得的結(jié)兩端電壓波形

圖8 為恒定電流源驅(qū)動獲得的結(jié)兩端電壓波形，可以看出當給Josephson結(jié)通過恒定電流(大于其臨界電流)的時候，Josephson結(jié)兩端的電壓是周期震蕩的，可以看出波形中存在高次諧波成分。

圖9 Josephson結(jié)RSJ模型I-V特性曲線

由仿真結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，理想Josephson結(jié)的電壓隨時間的變化曲線不是嚴格的正弦曲線，而是經(jīng)過調(diào)制的曲線。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是由于理想Josephson結(jié)存在混沌現(xiàn)象。從仿真得到的I-V特性可以明顯看出，當流過Josephson結(jié)的電流小于其臨界電流時，Josephson結(jié)兩端的電壓為0，而當電流超過臨界電流時，Josephson結(jié)兩端出現(xiàn)電壓。這與直流約瑟夫森效應(yīng)一致。

對RSJ模型的I-V特性進行仿真時，我們使用電路如圖7，理想Josephson結(jié)(IC=0．4 A)和R構(gòu)成實際Josephson結(jié)的RSJ模型;采用EWB自帶的示波器，重復仿真過程就可以得到不同偏置電流下Josephson結(jié)的I-V特性曲線。

圖10是我們仿真獲得的RSJ模型在具有不同并聯(lián)電阻R值時的I-V曲線，圖中曲線所對應(yīng)的并聯(lián)電阻 R 值分別為 0．50 Ω、0．75 Ω 和 1．00 Ω(圖中從上到下依次為 0．50 Ω、0．75 Ω、1．00 Ω臨界電流分別對應(yīng) 0．4 A、0．6 A、0．8 A)。

圖10 不同電阻下Josephson結(jié)的RSJ模型I-V特性曲線

圖11 標準理論曲線

為了方便對比，圖10為標準理論所得到的曲線［5］，將圖9與之相比較可以看出我們仿真得到的I-V特性曲線理論標準方法得到的結(jié)果相一致，這無疑說明我們提出模型和仿真方法是正確可行的。

對RCSJ模型I-V特性進行仿真時，我們使用圖12所示的電路，圖12中理想約瑟夫森結(jié)(IC=0．1 mA)、電阻 R=3．2 Ω、電容 C 并聯(lián)構(gòu)成實際Josephson結(jié)的RCSJ模型。仿真時采用同樣分析方法，得到了RCSJ模型的I-V特性，如圖13(a)～(c)所示。三圖均可以看出明顯的回滯，這是與標準理論相符的。

圖12 對RCSJ模型仿真電路圖

圖13 Josephson結(jié)的特性曲線

仿真結(jié)果與第三章第二節(jié)描述的回滯I-V曲線一致，也與參考文獻給出的結(jié)果一致，后面章節(jié)中將其與實驗實際測量(C=5μF、IC=0．8 A)的結(jié)果進行了比較也得到了很好的匹配度。這再次說明了該模型可以確實地用于表示Josephson結(jié)［7-12］。

4 Josephson結(jié)特性的實驗測量

為了完整的研究約瑟夫森結(jié)的物理特性，驗證模型的可靠性。進行了實驗測量驗證。

從恒流源輸出的電流經(jīng)過低頻濾波后輸入到Josephson結(jié)。本實驗中濾波器的截止頻率為100 Hz，測量過程中用鉛筒作為樣品的超導屏蔽，在液氦(4．2 K)中進行測量。

圖14為測量得到的Josephson結(jié)的I-V特性曲線。樣品為SNAP工藝制作。

圖14 實驗測得的JosephsonI-V特性曲線

圖15 實驗用測量環(huán)境液氦恒溫器圖

如圖14與圖15所示，可以看出EWB電路模型模擬的Josephson結(jié)I-V特性曲線與實驗實際測量得到的Josephson結(jié)I-V符合的很好。所以我們有充足的理由相信，本文提出的Josephson結(jié)EWB電路模型既可以與標準理論的結(jié)果相符合又可以與實驗結(jié)果相符，所以模型是完全有效的。其可以方便的求出電路中各種變量的動態(tài)特性，操作簡單，功能強，利用這個軟件對Josephson結(jié)進行仿真研究，可以大大提高工作效率。

6 結(jié) 語

為了方便對約瑟夫森結(jié)的特性進行仿真計算，在EWB軟件中定義了Josephson結(jié)模型，這樣就可以利用EWB強大的運算功能方便快捷地進行Josephson結(jié)電路的模擬和仿真。使用模型仿真了Josephson結(jié)最主要的I-V特性，仿真結(jié)果與實際相符，這說明我們定義的模型是有效可用的。實驗制備了全鈮的Josephson結(jié)，選出了比較理想的樣品進行實驗。

在測量時復雜的實驗環(huán)境中的電磁環(huán)境使得精確的測量變的十分困難，可能出現(xiàn)在不同的時間段進行同一實驗得到不同的結(jié)果;此外，在使用EWB進行仿真時，對于同樣的電路，不同的仿真參數(shù)設(shè)置可能導致仿真結(jié)果的本質(zhì)變化，如何設(shè)置正確的仿真程序仍需要進一步的研究。

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