一類含有2n個(gè)非零元的極小譜任意符號(hào)模式

李亞靜，邵燕靈

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

一類含有2n個(gè)非零元的極小譜任意符號(hào)模式

李亞靜，邵燕靈

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

設(shè)A為n階符號(hào)模式，如果對(duì)任意n次首1實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式r(x)，在符號(hào)模式A的定性矩陣類Q(A)中都有一個(gè)實(shí)矩陣B，且f(x)=r(x)為B的特征多項(xiàng)式，則稱A是譜任意的.如果A的真子模式都不是譜任意的并且A是譜任意的，則稱A為極小譜任意的.本文運(yùn)用冪零-雅可比方法證明了一類新的含有2n個(gè)非零元的n階符號(hào)模式為極小譜任意模式.

符號(hào)模式；蘊(yùn)含冪零；譜任意；極小譜任意；冪零-雅可比方法

1 預(yù)備知識(shí)

符號(hào)模式矩陣的研究是組合數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中一個(gè)重要的分支.它被廣泛地應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理、化學(xué)、社會(huì)學(xué)等很多學(xué)科中.文獻(xiàn)[1]介紹了符號(hào)模式矩陣這一研究領(lǐng)域目前的部分基本定義及定理.文獻(xiàn)[2]給出了譜任意符號(hào)模式的定義,并提出了冪零-雅可比方法來證明譜任意.之后的文獻(xiàn)[3-8]分別給出了一些n階的極小譜任意符號(hào)模式.下面先介紹一些相關(guān)概念.

定義1[1]符號(hào)模式矩陣是元素取自集合{1,-1,0}的矩陣.若A=(aij)是給定的實(shí)矩陣，則A的符號(hào)模式矩陣是由aij的符號(hào)所確定的矩陣，記為sgn(A).符號(hào)模式矩陣A=(aij)的定性矩陣類為Q(A)={B=(bij)|sgn(bij)=aij,i,j=1,2,…，n}

定義3[1]對(duì)于符號(hào)模式矩陣A，A蘊(yùn)含冪零指的是存在正整數(shù)k和一個(gè)實(shí)矩陣B∈Q(A)，使得Bk=0，Bk-1≠0，其中冪零矩陣為B，冪零矩陣B的指數(shù)為k.

定義4 設(shè)A為n階符號(hào)模式，如果任意的實(shí)矩陣B∈Q(A)是(非)奇異的，則稱A是符號(hào)(非)奇異的.

定義5[2]設(shè)A為n階符號(hào)模式，f(λ)為任意的n次首1實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，若對(duì)于f(λ)都存在實(shí)矩陣B∈Q(A)，使得B的特征多項(xiàng)式為f(λ)，則符號(hào)模式矩陣A為譜任意的.

本文討論一類n階符號(hào)模式A=(aij)n×n(n≥5):

.

2 主要結(jié)果

定理1 當(dāng)n≥5時(shí)，符號(hào)模式A及其所有的母模式都是譜任意的.

證明 任取實(shí)矩陣B∈Q(A),設(shè)B有如下形式：

其中a1<0,sgn(ai)=(-1)i-1(i=2,3,…,n-2),sgn(an-1)=(-1)n-r,sgn(an)=(-1)n.

設(shè)fB(λ)=det(λI-B)=λn+α1λn-1+…+αn-1λ+αn.則當(dāng)r≥4時(shí)，

將行列式的第i行的λ倍加到第i-1行(i=n,n-1,…,2)得

將行列式第i行的-ai-1倍加到第1行(i=3,4,…,n)得

將行列式依次按第i列展開(i=2,3,…,n-2),得

即

當(dāng)r=2,3時(shí)，類似地可以計(jì)算出B的特征多項(xiàng)式.

因此

α1=-a1-1，

α2=a1-a2，

αn-i=a1an-i-2-an-1(i=n-3，n-4，…，r+1，r)，

αn-r+1=α1αn-r-an-r+1-an-1，

αn-r+2=a1an-r+1-an-r+2+an-1，

αn-j=a1an-j-1-an-j+ar-j-1an-1(j=r-3，r-4，…，2)，

當(dāng)r=2時(shí)，

(1)

當(dāng)r=3時(shí)，

(2)

其中第n-1列的-1在第n-r+1行,第n-r+1行的另一個(gè)-1在第n-r+1列.

將行列式先按第n列展開，再依次按第1,2,…,n-r-1,n-r行展開，得

將行列式第i行的a1倍加到第i+1行(i=2,3,…,r-2)，得

因?yàn)閍1<1,sgn(ai)=(-1)i-1(i=2,3,…,n-2),

從而得到

(3)

當(dāng)ai=-1(i=1及2≤i≤n-r,i為偶數(shù))，

aj=1(3≤j≤n-r,j為奇數(shù))，

定理2 當(dāng)n≥5時(shí),符號(hào)模式A是極小譜任意的.

證明 設(shè)M=(mij)n×n是A的一個(gè)真子模式，且M是譜任意的，則(1)m11≠0,mn-1,n-1≠0,否則M的跡為負(fù)或?yàn)檎?與M是譜任意模式矛盾；(2)mi,i-1≠0(i=2,3,…，r-1,r+1,…,n-2,n),否則M是符號(hào)奇異的,與M是譜任意模式矛盾；(3)mi,i-1≠0(i=r,n-1)，否則M是符號(hào)非奇異的,與M是譜任意模式矛盾；(4)m1,i≠0(i=2,3,…，n-2,n),mr,n≠0，否則ai=0(i=2,3,…,n)，與M是譜任意模式矛盾.

綜合上面討論可知A是極小譜任意的.

[1]Leslie Hogben.Handbook of linear algebra[M].Bocaraton:CRC Press,2007.

[2]Drew J H,Johnson C R, Olesky D D,et al.Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and Its Applications, 2000,308(1):121-137.

[3]Britz T, McDonald J J, Olesky D D, et al.Minimal spectrally arbitrary sign pattern[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2004,26(1):257-271.

[4]Cavers M S, Kim I J, Shader B L,et al.On determining minimal Spectrally arbitrary patterns[J].Elec. J. Linear Algebra,2005,13:240-248.

[5]Cavers M S,Vander Meulen K N.Spectrally and inertially arbitrary sign patterns[J].Linear Algebra and Its Applications,2005,394:53-72.

[6]GAO Yu-bin, SHAO Yan-ling. A spectrally arbitrary patterns[J].Advances in Mathematics,2006,35(5):551-555.

[7]R.Pereira.Nilpotent matrices and spectrally arbitrary sign-patterns[J].Electorn.J.Linear Algebra,2007,16:232-236.

[8]Bergsma H,Kevin N,Vander M,et al.Potentially nilpotent patterns and the Nilpotent-Jacobian method [J].Linear Algebra and Its Applications,2012(436):4433-4445.

A Class of Minimal Spectrally Arbitrary Sign Patterns with 2n Nonzero Entries

LI Ya-jing, SHAO Yan-ling

(School of Science, North University of China, Taiyuan Shanxi 030051, China)

Ais set up ofnsign pattern.Ais spectrally arbitrary if for every real polynomialr(x) of degreenthere exists a matrixB∈Q(A) that hasf(x)=r(x) as its characteristic polynomial. IfAis spectrally arbitrary , and no proper subpattern ofAis spectrally arbitrary , thenAis a minimal spectrally arbitrary sign pattern. In this paper, a new class of minimal spectrally arbitrary sign patternes of ordernwith 2nnonzreo entries is given by using the Nilpotent-Jacobian method.

Sign pattern; Potentially nilpotent; Spectrally arbitrary sign pattern; Minimal spectrally arbitrary sign pattern; Nilpotent-Jacobian method

2014-02-03

山西省回國留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(12-070)。

李亞靜(1990- )，女，山西運(yùn)城人，中北大學(xué)理學(xué)院碩士研究生，從事組合數(shù)學(xué)研究。

邵燕靈(1963- )，女，山西平定人，博士生導(dǎo)師，博士，從事組合數(shù)學(xué)研究。

O157

A

2095-7602(2014)04-0007-06