附等式約束線性模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值的估算及其應(yīng)用

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(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，重慶 402160)

1 引言

在測量數(shù)據(jù)處理過程中，往往對待估的參數(shù)給予一定的先驗(yàn)約束條件，如果約束條件為等式約束，則稱之為附等式約束線性模型。合理選擇或增加先驗(yàn)約束能夠改善解的質(zhì)量［1，2］和使驗(yàn)后單位權(quán)中誤差產(chǎn)生增益［3～5］。姚宜斌［3］從隨機(jī)模型誤差和函數(shù)模型誤差兩個方面，推導(dǎo)附加約束條件對平差結(jié)果的影響，并以平差后的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差減小為條件，分析附加額外約束產(chǎn)生精度增益的條件。劉根友等［4］將附有參數(shù)先驗(yàn)精度信息的平差問題擴(kuò)展為參數(shù)約束平差，在數(shù)值上統(tǒng)一為自由網(wǎng)平差和附合網(wǎng)平差，得出一旦觀測網(wǎng)形和觀測方案確定，驗(yàn)后單位權(quán)方差是唯一的結(jié)論。鄧興升等［5］采用顧及先驗(yàn)信息的貝葉斯估計方法，通過設(shè)計虛擬觀測值，推導(dǎo)顧及先驗(yàn)信息的平差函數(shù)模型和最優(yōu)參數(shù)估計公式，得到先驗(yàn)精度和虛擬觀測值的質(zhì)量與平差精度之間的關(guān)系及單位權(quán)方差的計算式。

本文根據(jù)附等式約束線性模型參數(shù)估計的平差過程，利用正定二次型矩陣極值的方法，推導(dǎo)出附加等式約束平差系統(tǒng)的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值，并用于平差系統(tǒng)的起算點(diǎn)兼容性檢核，數(shù)據(jù)驗(yàn)算例子驗(yàn)證了作者結(jié)論的正確性。

2 附等式約束線性模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值的估算

測量平差概括模型可以描述為［6］:

其中式(1)為誤差方程，式(2)為等式約束方程，L為n×1觀測向量，n為觀測向量的個數(shù)，B為n×u系數(shù)矩陣，X為u×1未知參數(shù)向量，u為未知參數(shù)向量的個數(shù)，C為s×u系數(shù)矩陣，W為s×1約束向量，s為等式約束個數(shù)，V為n×1改正數(shù)向量，具有0均值與方差－協(xié)方差陣D(△)=σ2Q，Q=P－1是協(xié)因數(shù)矩陣，P是權(quán)矩陣。

當(dāng)無等式約束時，參數(shù)估計:

單位權(quán)方差估值:

當(dāng)附加等式約束時，參數(shù)估計:

殘差的二次型:

分析ΩR，其由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)是不受等式約束影響的，僅考慮第二項(xiàng)△Ω。

根據(jù)二次型矩陣的性質(zhì)［7］:對 X∈Cn，A∈Hn×n，λu≤…≤λ2≤λ1是矩陣A的特征根，則λu|X|2≤XTAX≤λ1|X|2。

由于權(quán)陣P為對稱正定矩陣，所以BTPB也是正定矩陣。根據(jù)正定矩陣的所有特征根都是正數(shù)的性質(zhì)［8］，矩陣BTPB的特征根λmin＞0。所以，當(dāng)且僅當(dāng)或無等式約束的觀測方程的參數(shù)估計滿足等式約束方程，即 W=C(BTPB)－1BTPL 時，附等式約束線性模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差可以取得最小值:

上式和一般的測量平差概括模型的單位權(quán)中誤差計算公式的區(qū)別在于V為無附加等式約束時的殘差，u為無附加等式約束時未知參數(shù)的個數(shù)。

3 在起算點(diǎn)兼容性檢驗(yàn)中的應(yīng)用

如圖1所示，A、B、C、D為已知點(diǎn)的測角網(wǎng)，觀測值的個數(shù)為20，待定點(diǎn)為E、F點(diǎn)2個點(diǎn)。表1為原始觀測值和對D點(diǎn)Y坐標(biāo)添加 100 mm粗差的單位權(quán)中誤差的計算結(jié)果。

圖1 測角網(wǎng)

數(shù)據(jù)分析表 表1

分析:

(1)當(dāng)起算數(shù)據(jù)為2個點(diǎn)的坐標(biāo)時，不論A、B、C、D是何種兩點(diǎn)的組合，也無論D點(diǎn)Y坐標(biāo)是否存在粗差，測角網(wǎng)的單位權(quán)中誤差均為0.82 mm，VTPV=(n－u)=0.822×(20－8)=8.07。這是因?yàn)闇y角網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)為2個點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)測角網(wǎng)僅有必要起算點(diǎn)時，該2點(diǎn)坐標(biāo)為平差系統(tǒng)提供位置基準(zhǔn)、方位基準(zhǔn)和尺度基準(zhǔn)，單位權(quán)中誤差僅由觀測值來確定。

(2)當(dāng)已知點(diǎn)為3個起算點(diǎn)時，驗(yàn)后單位權(quán)中誤差可以取得最小值

(3)當(dāng)已知點(diǎn)為4個點(diǎn)時，驗(yàn)后單位權(quán)中誤差可以取得最小值

通過上述分析可以總結(jié)，判斷起算點(diǎn)中不兼容點(diǎn)的步驟:

②起算點(diǎn)間兼容性好與差的判斷。計算包含所有起算點(diǎn)的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值，超出限差，則起算點(diǎn)間的兼容性較差。

③不兼容點(diǎn)的判斷。在必要起算數(shù)據(jù)(點(diǎn))個數(shù)基礎(chǔ)上逐個增加起算點(diǎn)，計算增加起算點(diǎn)后的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值，超出限差)的組合點(diǎn)中包括不兼容點(diǎn)，超限的組合點(diǎn)的共同點(diǎn)為不兼容點(diǎn)。

4 結(jié)論

(1)無等式約束的觀測方程的參數(shù)估計滿足等式約束方程時，可以使得等式附約束線性模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差的估值取得最小值，該最小值由無等式附加約束條件的觀測方程、觀測值的個數(shù)和約束條件的個數(shù)確定。

(2)附等式約束線性模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差最小值是測量系統(tǒng)的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差的“先驗(yàn)值”，在沒有驗(yàn)前統(tǒng)計信息時，可以將其作為限差的基準(zhǔn)值，在起算點(diǎn)兼容性檢驗(yàn)中的應(yīng)用之，該方法比應(yīng)用方差檢驗(yàn)的方法簡單且可靠。

［1］歐吉坤.測量平差中不適定問題解的統(tǒng)一表達(dá)與選權(quán)擬合法［J］.測繪學(xué)報，2004，33(4):283～288.

［2］歐吉坤，王振杰.單頻GPS快速定位中模糊度解算的一種新方法［J］.科學(xué)通報，2003，48(24):2572～2575.

［3］姚宜斌.GPS精密定位定軌后處理算法與實(shí)現(xiàn)［M］.武漢:武漢大學(xué)，2004.

［4］劉根友，郝曉光，柳林濤.參數(shù)約束平差法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2006，26(4):5 ～9.

［5］鄧興升，陳石橋，丁美青.顧及先驗(yàn)信息的變形監(jiān)測網(wǎng)平差［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2013，33(2):45～48.

［6］於宗儔，于正林.測量平差原理［M］.武漢:武漢測繪科技大學(xué)出版社，1990:127～130.

［7］王松桂，吳密霞，賈忠貞.矩陣不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，2006:121～128.

［8］方保镕，周繼東，李醫(yī)民.矩陣論基礎(chǔ)(第二版)［M］.南京:河海大學(xué)出版社，2003:108～111.