一道“帶電粒子在電磁場中運動”命題的思路及體會

黃良文

（浙江省永嘉中學(xué) 浙江 溫州 3251 00 ）

前段時間對學(xué)生進(jìn)行了“帶電粒子在電磁場中的運動”的一輪復(fù)習(xí)，于是借機(jī)給學(xué)生做了一道以該考點為命題背景的自編計算題．學(xué)生做完后意猶未盡，相互討論著題目中的某些環(huán)節(jié)及解題思路，這讓學(xué)生對該考點的知識鞏固起到了很好的作用．

下面筆者就用這道以“帶電粒子在電磁場中的運動”為考點的自編題為例，談一下在命題中的思路及體會．

1 基本思路

1．1 編排軌跡

分析帶電粒子的運動軌跡是學(xué)生解決電磁場類題目的關(guān)鍵，所以教師命題時應(yīng)先定好運動軌跡．

1．2 安放道具

為了讓帶電粒子順利完成預(yù)定的軌跡，需要在合適的區(qū)域加上電場、磁場或復(fù)合場．當(dāng)無法用場來控制路線時，往往會在某些位置安放一些輔助道具，比如具有完美彈性的擋板，帶電粒子與擋板碰撞后會被鏡像反彈．

1．3 拼湊數(shù)據(jù)

為方便表達(dá)，數(shù)據(jù)的拼湊應(yīng)在合理的前提下使答案盡量簡便．所以需要邊解題、邊拼湊、邊修正．

2 命題過程

圖1 預(yù)設(shè)軌跡

為了提高題目的趣味性，讓學(xué)生做題不覺得枯燥，筆者將軌跡定為一個心形圖案，如圖1所示．彎曲軌跡由磁場控制，直線軌跡由電場控制，圖案的底部尖角處則安放一塊擋板．坐標(biāo)軸的建立如圖2所示，橫軸上方為垂直紙面的勻強磁場，下方為與直線軌跡平行的勻強電場．此時電場的出現(xiàn)反而無形中給學(xué)生透漏了橫軸下方的軌跡圖，所以，最終只能將電場去除．為了便于湊數(shù)據(jù)，直線軌跡與橫軸的夾角采用了45 °角．

圖2 預(yù)設(shè)背景

3 題目展示

3．1 原題及參考答案

如圖3所示，在x軸上方有一方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場．兩寬度均為a的上、下?lián)醢迤叫衳軸放置，各自的中點P，Q均在y軸上，且O P＝a，OQ ＝ （1＋槡2）a．一正電粒子（不計重力）從P點以速度v0沿y軸正向離開上擋板．粒子從磁場出來后撞向下?lián)醢宓腝點，粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向且大小不變．π≈4）

（1）在圖3中畫出粒子的運動軌跡（作圖中涉及到角度需寫出必要的求解過程）；

（2）求粒子再次回到上擋板所需的時間t；

（3）若不借助下?lián)醢?，而采用磁感?yīng)強度也為B的半圓形勻強磁場，讓粒子在離開半圓形磁場后依然沿原先的路線運動，則半圓形磁場的最小面積為多大．

圖3 題目插圖

參考答案：

（1）設(shè)粒子從x軸上的S點離開磁場，由對稱性可知

軌跡如圖4所示．

圖4 粒子軌跡

（2）設(shè)粒子在x軸上方勻強磁場中做圓周運動的半徑為r，周期為T，則

設(shè)粒子在第二象限運動的時間為t1，第三象限運動的時間為t2，則

所以，粒子運動一周所需時間為

圖5 第（3）問軌跡

3．2 題目拓展及參考答案

還可以根據(jù)學(xué)生的水平或者結(jié)合教學(xué)目的，在此題目的基礎(chǔ)上改出多種版本．

比如，可以在題目第（1）問前面加入“速度選擇器”．

添加1：如圖6所示，在上擋板與x軸間還有一方向平行x軸向右的勻強電場，兩極板與y軸平行且關(guān)于y軸對稱，間距為a，兩板間電壓U＝a B v0，O點處有一粒子源，能沿y軸正方向放出速度大小不等的正電粒子，現(xiàn)在P點開一小孔，求從P點飛出的粒子的速度大?。?/p>

圖6 添加1插圖

參考答案：由題意可知，粒子從P點飛出，則所受洛倫茲力與電場力為一對平衡力，即

則v＝v0

也可以利用電場對帶電粒子有偏轉(zhuǎn)作用將題目條件替換，在第（3）問后添加．

添加2：如圖7所示，x軸上方有一對碰撞特性與下?lián)醢逑嗤慕^緣板，平行x軸放置且寬度均為2槡2a，中點分別為P，M，其中M點與Q點關(guān)于O點對稱，兩板間有沿y軸負(fù)方向的勻強電場但無磁場．現(xiàn)讓之前的正電粒子以v0的速度從電場右上角平行x軸進(jìn)入電場．為使粒子能形成與（1）相似的軌跡，求勻強電場的場強E．

圖7 添加2插圖

圖8 添加2軌跡

參考答案：

由對稱性可知粒子在電場中的軌跡關(guān)于y軸對稱，軌跡如圖8所示．

在勻強電場區(qū)域沿x軸方向

沿y軸方向

在磁場區(qū)域

聯(lián)立得

E＝2B v0

當(dāng)然也可以把電場放在x軸下方．但是設(shè)計的時候一定要注意不能超綱，而且畫的插圖應(yīng)合理，不能誘導(dǎo)甚至誤導(dǎo)學(xué)生．

添加3：如圖9所示，若在第三象限（不含y軸）加一沿x軸負(fù)方向的勻強電場，在第四象限（含y軸）加一等大沿x軸正方向的勻強電場，為使粒子能垂直撞向下?lián)醢迩译x開電場后依然沿原先的路線運動，應(yīng)將下?lián)醢逖貀軸向上或向下平移多大距離．

圖9 添加3插圖

參考答案：

設(shè)擋板平移至Q′點，如圖10 所示，由平拋規(guī)律可知

圖10 添加3軌跡

對該問還可以進(jìn)行難度的調(diào)控，比如將“垂直撞向下?lián)醢濉比コ?/p>

添加4：若在第三象限（不含y軸）加一沿x軸負(fù)方向的勻強電場，在第四象限（含y軸）加一等大沿x軸正方向的勻強電場，為使粒子撞向下?lián)醢宸磸楇x開電場后能依然沿原先的路線運動，試求下?lián)醢逖貀軸向下平移距離L的范圍及場強E的大小范圍．

參考答案：

要使粒子返回磁場后能沿原先路線運動，必須使粒子撞在下?lián)醢宓闹悬c．

當(dāng)E＝0時，無需移動下?lián)醢澹碙＝0．

當(dāng)E取最大時，粒子剛好垂直撞向下?lián)醢宓闹悬c，如圖10 所示．

粒子沿y軸方向的速度大小為

沿y軸方向

沿x軸方向

由圓周運動周期公式

當(dāng)然，還可以將軌跡改成非45 °角的情況．

圖11 添加5軌跡

參考答案：

可得 θ＝60 °

3．3 特殊數(shù)據(jù)普通化

如果想直接將題目背景設(shè)計成粒子進(jìn)入電場的速度為任意角的話，在作插圖時，可以先畫兩個關(guān)于y軸對稱等大的圓，如圖12 所示．然后將x軸補上去（只需低于圓心即可）交兩圓于S點、S′點，如圖13 所示．再分別過兩交點作圓的切線并延長交y軸于Q點，如圖14 所示．

圖12 畫兩對稱圓

圖13 補上x軸

圖14 過交點作切線

圖15 拼湊數(shù)據(jù)

最后修改題干中的數(shù)據(jù)即可．

如圖15 所示，依然以O(shè) P＝a為例．

4 測試反饋

最好能將命好后的題目給學(xué)生測試一下．學(xué)生會反應(yīng)出題目中某些不合理的細(xì)節(jié)和其解題時碰到的難點在何處．結(jié)合學(xué)生的反饋對題目進(jìn)行修正．

5 命題體會

題目最終還是給學(xué)生做的，命題時應(yīng)把握好考點，否則，再精心設(shè)計的題目也是徒勞的．

插圖需標(biāo)準(zhǔn)，像帶電粒子在電磁場中運動的題目，常常要畫運動軌跡，找?guī)缀侮P(guān)系，如果插圖不標(biāo)準(zhǔn)容易給學(xué)生造成不必要的麻煩甚至誤導(dǎo)學(xué)生．

多借鑒已有的題目，分析考點所對應(yīng)的常用命題背景，博采眾長．在平時的教學(xué)中，如果碰到合適的題目還可以讓學(xué)生對這個題目進(jìn)行改編，比如，替換條件或者增加一問，這樣，能培養(yǎng)學(xué)生將題目歸類和舉一反三的能力．