秩虧自由網(wǎng)序貫平差及各模型比較分析

陸建華，徐克成

(1.蘇州市測(cè)繪院有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215000;2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測(cè)繪學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

1 引 言

若在原來(lái)控制網(wǎng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)建或?qū)εf網(wǎng)進(jìn)行復(fù)測(cè)，可按序貫平差原理進(jìn)行平差［1］，它可充分利用前期平差結(jié)果與當(dāng)前觀測(cè)樣本，無(wú)需存儲(chǔ)歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)，無(wú)需求大矩陣逆就能獲得與整體平差相同的最優(yōu)解，具有計(jì)算公式簡(jiǎn)潔、規(guī)律性強(qiáng)、計(jì)算量小的特點(diǎn)［2］。但如果前期平差為秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果，則其權(quán)逆陣不存在，問題就變?yōu)橹忍澴杂删W(wǎng)的序貫平差。

本文對(duì)第一次平差后得到虛擬觀測(cè)值的權(quán)逆陣進(jìn)行了適當(dāng)變換，得到了其權(quán)陣PX，的計(jì)算通式，解決了秩虧問題，可為變形監(jiān)測(cè)等分期完成的測(cè)量工程提供可取的數(shù)據(jù)處理方法。然后，詳細(xì)闡述了重心基準(zhǔn)自由網(wǎng)平差、擬穩(wěn)平差模型，并通過(guò)實(shí)例計(jì)算對(duì)其平差結(jié)果進(jìn)行比較分析，得出了相關(guān)結(jié)論。

2 序貫平差基本原理

序慣平差是指將觀測(cè)值分成兩組或多組，按組的順序分別做相關(guān)間接平差，從而使其達(dá)到與兩期網(wǎng)一起做整體平差同樣的效果。分組后法方程階數(shù)降低，減輕了計(jì)算強(qiáng)度，以下以分兩組為例介紹其基本原理及平差過(guò)程［3］。

上式中，Li為觀測(cè)值，B 為系數(shù)陣，d、l 為構(gòu)成函數(shù)關(guān)系式的常數(shù)項(xiàng)。

按間接平差原理，先對(duì)第一組誤差方程進(jìn)行第一次平差，其法方程為:

可解得第一次平差后未知參數(shù)和觀測(cè)值的改正數(shù)，分別為:

再對(duì)第二組誤差方程做第二次平差，此時(shí)將第一次平差后得到的參數(shù)為初值)作為虛擬觀測(cè)值參與平差，其權(quán)陣為。誤差方程為:

聯(lián)合第二組誤差方程，可得法方程:

即：

可解得第二次平差后未知參數(shù)和觀測(cè)值的改正數(shù)，分別為:

最后平差值為:

3 秩虧自由網(wǎng)序貫平差模型

當(dāng)監(jiān)測(cè)網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)用序貫平差進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得到的前期平差結(jié)果作為虛擬觀測(cè)值的權(quán)陣不存在，變?yōu)橹忍澴杂删W(wǎng)的序貫平差問題。以下進(jìn)行了適當(dāng)變換，給出了虛擬觀測(cè)值權(quán)陣的計(jì)算方法，解決了秩虧問題。

3.1 權(quán)逆陣計(jì)算

當(dāng)網(wǎng)中存在秩虧時(shí)，為獲得未知參數(shù)的唯一解可給定加權(quán)基準(zhǔn)約束條件:，因此平差模型變?yōu)?

將S 標(biāo)準(zhǔn)化為G，使?jié)M足:GTPxG=E

則可解得:

則按協(xié)因數(shù)傳播定律，有:

由于平差結(jié)束后QX'X'可求出，所以整理得:

即:

兩邊求逆并移項(xiàng)可得:

可以容易的證明，當(dāng)將第一期平差結(jié)果作為虛擬觀測(cè)值，并按上式給出其權(quán)陣，與新增觀測(cè)值一起平差，可以得到與整體平差一樣的結(jié)果。所以式子:

可以作為秩虧自由網(wǎng)序貫平差虛擬觀測(cè)值權(quán)陣的計(jì)算通式。

當(dāng)虛擬觀測(cè)值的權(quán)陣確定以后，按上節(jié)中序貫平差原理進(jìn)行第二次平差，即可計(jì)算得到觀測(cè)值及參數(shù)的改正數(shù)，解決了秩虧問題。

3.2 平差模型

附加基準(zhǔn)條件的秩虧自由網(wǎng)平差，當(dāng)選擇的基準(zhǔn)不同時(shí)其平差模型也不同，以下介紹基于重心基準(zhǔn)的秩虧自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差模型［4］。

(1)重心基準(zhǔn)秩虧自由網(wǎng)平差

采用重心基準(zhǔn)，其基準(zhǔn)權(quán)為單位陣，Px=E，又稱為普通秩虧自由網(wǎng)平差［5］。

由式(8)可得平差模型變?yōu)?

由式(9)、式(10)得模型的參數(shù)估計(jì)為:

(2)擬穩(wěn)平差

其基準(zhǔn)權(quán)為:

基準(zhǔn)約束為:

則擬穩(wěn)平差的基準(zhǔn)約束條件為:

所以，擬穩(wěn)平差的平差模型為:

由式(9)、式(10)得擬穩(wěn)平差模型的參數(shù)估計(jì)為:

擬穩(wěn)平差模型是將全部網(wǎng)點(diǎn)分為兩部分X1、X2，X2是擬穩(wěn)點(diǎn)組成的參數(shù)，基準(zhǔn)約束條件式(20)中僅包含X2，所以擬穩(wěn)平差實(shí)質(zhì)是擬穩(wěn)點(diǎn)組的重心基準(zhǔn)［6］。

4 算例分析

算例一:設(shè)有水準(zhǔn)網(wǎng)如圖1 所示，一期觀測(cè)了h1，h4，h5，平差后高程的協(xié)因數(shù)陣為:

圖1 實(shí)例一觀測(cè)水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

觀測(cè)高差、距離和各待定點(diǎn)高程近似值如表1 所示。

觀測(cè)高差、距離和待定點(diǎn)近似值 表1

當(dāng)選擇重力基準(zhǔn)秩虧自由網(wǎng)平差模型時(shí)，根據(jù)算例第一期水準(zhǔn)網(wǎng)有3 個(gè)未知點(diǎn)，則:

由式(14)可得:

第二期觀測(cè)誤差方程式為:

由式(6)可得:

由式(7)可得:

算例二:設(shè)有水準(zhǔn)網(wǎng)如圖2 所示，其中各觀測(cè)高差、距離和各待定點(diǎn)高程如表2 所示，分別進(jìn)行以F 點(diǎn)為固定點(diǎn)的經(jīng)典自由網(wǎng)平差、以重心基準(zhǔn)的秩虧自由網(wǎng)平差及以A、B、E、F 為擬穩(wěn)點(diǎn)的擬穩(wěn)平差。

圖2 實(shí)例二觀測(cè)水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

觀測(cè)高差、距離和待定點(diǎn)近似值 表2

根據(jù)算例可得誤差方程為:

以重心基準(zhǔn)進(jìn)行自由網(wǎng)平差，Px=E 水準(zhǔn)網(wǎng)有6點(diǎn)，則:

以A、B、E、F 為擬穩(wěn)點(diǎn)進(jìn)行擬穩(wěn)平差時(shí)，Px=diag［1 1 0 0 1 1］，則:

根據(jù)式(17)、式(22)，應(yīng)用matlab 7.0 編程實(shí)現(xiàn)，經(jīng)演算得到結(jié)果如表3 所示:

觀測(cè)高差、距離和待定點(diǎn)近似值 表3

未知參數(shù)估值的協(xié)因數(shù)陣為:

對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，可知:經(jīng)典自由網(wǎng)平差、重心基準(zhǔn)自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差所得觀測(cè)值改正數(shù)相同，且均滿足VTPV=min;重心基準(zhǔn)自由網(wǎng)平差，tr(QX'X')=min;擬穩(wěn)平差。

5 結(jié) 論

(2)經(jīng)典自由網(wǎng)平差、重心基準(zhǔn)自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差所得觀測(cè)值改正數(shù)相同，且均滿足VTPV=min。

(4)擬穩(wěn)平差滿足

［1］張書畢，單世坤，王堅(jiān)．秩虧自由網(wǎng)逐次平差及其應(yīng)用［J］．測(cè)繪通報(bào)，2001，8:26～28．

［2］曾安敏，張麗萍．多種序貫平差方法的比較［J］．大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2007，27(2):84～87．

［3］葛永慧．測(cè)量平差［M］．徐州:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2005．

［4］崔希璋等．廣義測(cè)量平差［M］．武漢:武漢大學(xué)出版社，2009．

［5］邱飛廷，董坤烽，李朝光等．帶基準(zhǔn)權(quán)的秩虧自由網(wǎng)平差及其應(yīng)用［J］．江西科學(xué)，2010，28(5):666～668．

［6］萬(wàn)斐，陳艷艷．?dāng)M穩(wěn)平差在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用［J］．地理空間信息，2008，6(6)．