反證法在近世代數(shù)中的應(yīng)用

摘 要： 反證法可用于證明近世代數(shù)中一些疑難問(wèn)題.反證法在數(shù)學(xué)命題的證明中起著直接證法起不到的作用.如果能恰當(dāng)使用反證法，就可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化不可能為可能.

關(guān)鍵詞： 反證法 近世代數(shù) 群 環(huán)

近世代數(shù)是一門(mén)較抽象的課程.它的主要研究對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng)，即帶有運(yùn)算的集合.由于內(nèi)容抽象，初學(xué)者往往會(huì)感到困難重重，尤其對(duì)于證明，不知如何從哪方面下手.其實(shí)，在掌握好它的基本概念、性質(zhì)和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是數(shù)學(xué)證明里常用的，如，類(lèi)比、歸化、轉(zhuǎn)化、反證等.反證法在近世代數(shù)的證明中用途極其廣泛.它在數(shù)學(xué)命題的證明中有直接證法所起不到的作用，如果能恰當(dāng)?shù)厥褂梅醋C法，就可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化不可能為可能.

反證法是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種科學(xué)方法.反證法又叫歸謬法、背理法，是數(shù)學(xué)中常用的一種命題證明方法.反證法是對(duì)數(shù)學(xué)命題的一種間接證法，其理論依據(jù)是形式邏輯中的“排中律”和“矛盾律”.這種方法是從反面進(jìn)行證明，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾，使命題獲得證明.有關(guān)“存在性”、“否定性”、“無(wú)限性”的命題，應(yīng)用反證法的情況較多.在近世代數(shù)中，有些問(wèn)題直接利用定理結(jié)論證明或用定義直接驗(yàn)證較困難時(shí)，可考慮使用反證法.本文就子群的階、同構(gòu)、主理想、素理想四個(gè)近世代數(shù)中幾個(gè)重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容展開(kāi)討論，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由此能得到點(diǎn)滴啟發(fā).

反證法證題的步驟是：1.反設(shè)：反設(shè)是應(yīng)用反證法證題的第一步，也是關(guān)鍵一步，反設(shè)的結(jié)論作為下一步“歸謬”的一個(gè)已知條件.反設(shè)的意義在于假設(shè)所有證明的命題的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立；2.歸謬：“歸謬”是一個(gè)用反證法證題的核心，其含義是從命題結(jié)論的“反設(shè)”及原命題的已知條件出發(fā)，進(jìn)行正確嚴(yán)密的推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的結(jié)果；3.結(jié)論：指出“反設(shè)”是錯(cuò)誤的，原命題結(jié)論必正確.

1.反證法在子群階中的應(yīng)用

例1.設(shè)p，q是兩個(gè)素?cái)?shù)，且p

分析：這個(gè)結(jié)論易通過(guò)Sylow定理得到，但[1]中沒(méi)有涉及Sylow定理，通過(guò)反證法可輕松證得.題目要證明至多存在一個(gè)子群，我們可以假設(shè)存在兩個(gè)不同的子群.

證明：設(shè)H，K是群G的兩個(gè)不同的q階子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素?cái)?shù)，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，則由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，與H≠K矛盾.

注：從這一例題中可以看到，直接說(shuō)明pq階群G最多有一個(gè)q階群難度相當(dāng)大，但如果假設(shè)有兩個(gè)不同q階子群，通過(guò)推理出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明最多有一個(gè)q階子群.

2.反證法在同構(gòu)中的應(yīng)用

同構(gòu)在近世代數(shù)中是一個(gè)非常重要的基本概念.如果忽略掉同構(gòu)的對(duì)象的屬性或操作的具體定義，單從結(jié)構(gòu)上講，同構(gòu)的對(duì)象是完全等價(jià)的.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，同構(gòu)是一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的雙射.在更一般的范疇論語(yǔ)言中，同構(gòu)指的是一個(gè)態(tài)射，且存在另一個(gè)態(tài)射，使得兩者的復(fù)合是一個(gè)恒等態(tài)射.

換言之，G的乘法表是唯一確定的.因此階為6的非交換群存在且互相同構(gòu).

注：這一證明題不是一開(kāi)始就給予結(jié)論否定，而是在證明中部分地方利用了反證法.如|b|≠3.若|b|=3，則在后面的推論中出現(xiàn)矛盾.

3.反證法在環(huán)中的應(yīng)用

例3.證明卡普蘭斯基（Kaplansky）定理：設(shè)R是一個(gè)有單位元用1表示的環(huán)，如果R的元素a有一個(gè)以上的右逆元，則a就有無(wú)限多個(gè)右逆元.

4.反證法在理想中的應(yīng)用

注：說(shuō)明極大理想都是素理想，可以假設(shè)有一個(gè)極大理想不是素理想，根據(jù)這一假設(shè)推出矛盾.

數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練是實(shí)現(xiàn)“授之以漁”教學(xué)舉措的有效手段，我們應(yīng)該在教學(xué)中有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地利用不同類(lèi)型的問(wèn)題，從不同視角、不同途徑分析、思考和探索，幫助學(xué)生拓展證題思路，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).善于反思，巧妙利用反證是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法和策略，不僅能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律和相互關(guān)系，更能從復(fù)雜問(wèn)題中找到突破口，從而避免繁瑣的證題過(guò)程，有效提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反證法的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，1997，2：163-166.

[3]唐娜.淺談如何加強(qiáng)大學(xué)素質(zhì)教育[J].學(xué)園，2010，12：25-26.

[4]赫爾（M.Hall）.群論[M].科學(xué)出版社，1981：56-124.

[5]韋建輝.例談反證法的應(yīng)用[J].南寧師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2000，2：70-71.