一類周期系數(shù)的一階微分方程的周期解研究

王玉萍, 藺小林, 李美麗

(1.陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710021； 2.東華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 上海 201620)

0 引言

我們研究如下類型的周期系數(shù)的一階微分方程

a1(x)y+a0(x)

(1)

(其中ai(x)(i=0,1,…,n)是以T為周期的實(shí)連續(xù)周期函數(shù)) 周期解的存在性問題.周期系數(shù)的一階微分方程在流體力學(xué)、彈性震動(dòng)理論、控制理論與工程等許多科技領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，因此，研究周期系數(shù)一階微分方程的周期解的存在性具有非常重要的意義.

對(duì)方程(1)，當(dāng)n=2(即Riccati微分方程)時(shí)周期解的存在性與空間柱面上的閉曲線的存在性密切相關(guān)，1979 年秦元?jiǎng)捉淌诨卮鹆岁愂∩斫淌谔岢龅腞iccati微分方程在什么條件下存在周期解的問題[1]，之后，Riccati方程周期解的問題不斷被研究[2-4].周尚仁[5]對(duì)n=3(即Abel 微分方程)周期解的存在性進(jìn)行了研究，藺小林[6-10]對(duì)一般類型的周期系數(shù)一階微分方程(1)進(jìn)行深入的研究，得到了存在周期解的一些充分性條件.A.L.Neto[11]和Lioyd,N.G[12,13]對(duì)一類周期系數(shù)一階微分方程周期解的個(gè)數(shù)問題進(jìn)行了討論.竇霽虹[14]對(duì)奇次周期Riccati型微分方程的周期解存在性問題進(jìn)行了研究，推廣了周期Riccati微分方程的類型.我們對(duì)周期系數(shù)的一階微分方程(1)的一些特殊類型[15,16]，應(yīng)用代數(shù)方程的性質(zhì)和不動(dòng)點(diǎn)理論，得到了周期解存在的一些充分性條件，給出了Abel 方程存在周期解的充分性條件，同時(shí)用例子驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性.本文中，我們繼續(xù)對(duì)周期系數(shù)一階微分方程(1)周期解的存在性進(jìn)行研究，利用范德蒙德行列式和系統(tǒng)(1)的示性代數(shù)方程以及不動(dòng)點(diǎn)理論，得到了周期解的存在性充分必要條件和一些新的充分性條件，豐富了周期系數(shù)一階微分方程(1)的研究內(nèi)容.

1 主要結(jié)論

由于我們假定系統(tǒng)(1)的系數(shù)ai(x)(i=0,1,…,n)是以T為周期的實(shí)連續(xù)周期函數(shù)，所以對(duì)系統(tǒng)(1)我們僅在區(qū)域D={(x,y)|0≤x≤T,-∞

定義1稱方程

F(x,y)an(x)yn+an-1(x)yn-1+…+

a1(x)y+a0(x)=0

(2)

為方程(1)的示性代數(shù)方程.

定義2方程(2)的實(shí)解稱為示性代數(shù)方程的分枝曲線.

引理1系統(tǒng)(1)的周期解曲線必與方程(2)的某一分支曲線相交[1,3,6].

定理1系統(tǒng)(1)存在n+1個(gè)實(shí)的T周期解yk(x)(k=1,2,…,n+1)的充分必要條件是ai(x)(i=0,1,…,n)是以T為周期的實(shí)周期函數(shù), 且

證明:若系統(tǒng)(1)存在n+1個(gè)實(shí)的T周期解，yk(x)(k=1,2,…,n+1),則

利用范德蒙德行列式，由上式可解得

反之，若系統(tǒng)(1)的系數(shù)ai(x)(i=0,1,…,n)是以T為周期的實(shí)周期函數(shù)，且滿足

即

(3)

示性代數(shù)方程(2)是y的n次方程，它最多只有n個(gè)實(shí)分支曲線，由引理1可知，系統(tǒng)(1)的周期解和實(shí)分支曲線必定相交，由于示性代數(shù)方程(2) 最多只有n個(gè)實(shí)分支曲線，那么系統(tǒng)(1)最多有多少個(gè)實(shí)周期解?A.L.Neto和Lioyd,N.G對(duì)周期系數(shù)一階微分方程(1)周期解的個(gè)數(shù)問題進(jìn)行了討論，得到非常數(shù)周期解可以有無窮多個(gè).對(duì)于系統(tǒng)(1)常數(shù)周期解的性質(zhì)和個(gè)數(shù)問題，我們?nèi)菀椎玫较铝薪Y(jié)論.

定理2系統(tǒng)(1)存在實(shí)常數(shù)解的充分必要條件是該實(shí)常數(shù)解是示性代數(shù)方程的分支曲線.

定理3系統(tǒng)(1)存在n+1個(gè)互不相同的實(shí)常數(shù)解yk(k=1,2,…,n+1)的充分必要條件是ai(x)≡0(i=0,1,…,n)，即系統(tǒng)(1)為平凡系統(tǒng).

定理4對(duì)系統(tǒng)(1)，當(dāng)n為奇數(shù)，并且對(duì)任何0≤x≤T有an(x)≠0，則系統(tǒng)(1)在區(qū)域D內(nèi)至少存在一個(gè)周期解.

|ai(x)|≤Mi(i=0,1,…,n).由于n為奇數(shù)，且

F(x,+∞)=+∞，

F(x,-∞)=-∞(0≤x≤T)

則存在充分大Y>0，使得

取“2.3”項(xiàng)供試品溶液，參照《中國藥典》2015年版水蒸氣蒸餾法[1]測定黃絲郁金揮發(fā)油的含量，測定結(jié)果見表2。

mnYn-Mn-1Yn-1-…-M1Y-M0>0

-mnYn+Mn-1Yn-1+…+M1Y+M0<0

因此

a1(x)Y+a0(x)≥

mnYn-Mn-1Yn-1-…-M1Y-M0>0,

a1(x)(-Y)+a0(x)≤

-mnYn+Mn-1Yn-1+…+M1Y+

注：當(dāng)n=3時(shí)，本定理的結(jié)論就是文獻(xiàn)[11]中定理1的結(jié)論.

2 應(yīng)用舉例

Δ0(x)=0,

Δ2(x)=0,

所以

滿足定理1的所有條件和結(jié)論，也符合定理2的條件和結(jié)論.

sinxcosx

解顯然在0≤x≤2π內(nèi)a3(x)=1≠0，按照定理4可知該系統(tǒng)至少存在一個(gè)2π周期解.事實(shí)上，容易驗(yàn)證y(x)=-(1+sinx)就是它的一個(gè)2π周期解.

3 小結(jié)

由于一階微分方程的周期解有非常廣泛的應(yīng)用，因此深入研究周期系數(shù)的一階微分方程的周期解的存在性具有非常重要的意義.我們僅對(duì)一類特殊的周期系數(shù)的一階微分方程的周期解的存在性進(jìn)行了討論，應(yīng)用范德蒙德行列式得到了周期解的存在性的充分必要條件；應(yīng)用示性代數(shù)方程和不動(dòng)點(diǎn)理論，得到了周期解存在性的一些新的充分性條件；最后舉例說明所得結(jié)論的正確性.

一階微分方程的周期解的存在性，雖然有一些研究結(jié)論，但還有很多問題需要研究.如例1至例3，方程的右端均是y的三次多項(xiàng)式，但是周期解的情況大不相同.所以，對(duì)系統(tǒng)存在多少個(gè)周期解,每個(gè)周期解的穩(wěn)定性如何等等，還需要我們今后繼續(xù)深入研究.

[1] 秦元?jiǎng)?周期系數(shù)的呂卡提方程的周期解[J].科學(xué)通報(bào),1979,30(23):1 062-1 066.

[2] 陸毓琪.呂卡提方程的周期解[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào),1989,13(3):76-80.

[3] 武津剛.周期系數(shù)Riccati方程的周期解存在性[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1990,10(1):24-30.

[4] 翁愛治.關(guān)于Riccati方程周期解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(5):893-897.

[5] 周尚仁，蘇殿貞.阿貝爾方程的周期解[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，1984,20(S1)：57-62.

[7] 藺小林,馬 燕.關(guān)于一階微分方程周期解的討論[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào),1988，7(2):41-50.

[8] 藺小林,馬 燕.對(duì)關(guān)于一階微分方程周期解的討論一文的補(bǔ)充[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào),1992，11(4):38-40.

[9] 藺小林.一階微分方程周期解的研究[J].西北輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000,19(4):69-73.

[10] 藺小林.一階微分方程周期解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,17(S):133-134.

[12] Lioyd N.G.The number of periodic solutions of the equationZ′=Zn+p1(t)Zn-1+…+pn-1(t)Z1+pn(t)[J].Proc.London Math.Soc,1973,27(3):667-700.

[13] Lioyd N.G.On analytic differential equations[J].Proc.London.Math.Soc.,1975,30(4):430-444.

[14] 竇霽虹.奇次周期Riccati型微分系統(tǒng)的周期解[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào),2002,32(2):114-116.

[15] 王玉萍,藺小林,王存榮.周期系數(shù)Abel 方程的周期解[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào),2006,32(6):1 120-1 122.

[16] 王玉萍.一類偶次周期Riccati型方程的周期解[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)，2008,34(3):423-425.