幾何光學(xué)中成像性質(zhì)的確定

周美建

(江蘇省泰興中學(xué) 江蘇 泰州 225400)

1 符號(hào)法則

幾何光學(xué)中常采用兩種符號(hào)法則：一種是中學(xué)教材中采用的實(shí)正虛負(fù)規(guī)則，物距用u表示，像距用v表示；另一種是笛卡兒坐標(biāo)規(guī)則.前一種規(guī)則是各類(lèi)競(jìng)賽資料書(shū)中普遍采用的方法，后一種規(guī)則在進(jìn)一步成像研究中比較方便，其規(guī)則主要有以下幾點(diǎn).

光線：從左到右；

線段：物距(s)、像距(s′)、半徑(r)從頂點(diǎn)O量起，向右為正，向左為負(fù)；

高度：物高(y)、像高(y′)垂直于主軸向上為正，向下為負(fù)；

光路圖中標(biāo)的長(zhǎng)度和角度只用正值.

2 近軸物在近軸光線條件下球面折射的物像公式

光路如圖1中物空間折射率為n，像空間折射率為n′；PQ為垂直于主軸的近軸物，高度為y；P′Q′為近軸光線條件下球面折射的像，高度為y′.

圖1 球面鏡折射的光路圖

Q→A→Q′光程差為

由于QAQ′與h無(wú)關(guān)的條件，那么

這樣我們就得到近軸光線下的物像公式

橫向放大率

(1)

式(1)中，其中若β>0，則像的性質(zhì)為正立，實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像；若β<0，則像的性質(zhì)為倒立，實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像；若|β|>1，則像為放大的像；若|β|<1，則像為縮小的像；若|β|=1，則像為等大的像.

3 常見(jiàn)光學(xué)儀器近軸條件下的成像公式

常見(jiàn)的光學(xué)儀器有平面鏡、球面鏡、平行玻璃磚和三棱鏡(平面折射)、介質(zhì)球(球面折射)和薄透鏡等，它們的成像公式和橫向放大率都可以根據(jù)近軸條件下球面折射推導(dǎo)出來(lái).

3.1 平面鏡

平面鏡成像遵守光的反射定律，能改變光路，但不改變光束的斂散性質(zhì)，所成的像為左右顛倒、正立、等大、對(duì)稱(chēng)的虛像，光路如圖2.

圖2 平面鏡成像的光路圖

規(guī)定n′=-n，r→∞，則式(1)變?yōu)槠矫骁R的物像關(guān)系：s′+s=0，β=+1 ；即所成的像為對(duì)稱(chēng)、等大、正立的虛像.

3.2 球面鏡

反射面是球面的一部分的面鏡叫球面鏡.反射面是凹的球面叫凹面鏡，它的焦點(diǎn)是實(shí)焦點(diǎn)；反射面是凸的球面叫凸面鏡，它的焦點(diǎn)是虛焦點(diǎn)，如圖3，O為球面鏡的頂點(diǎn)，C為球面鏡的球心.

規(guī)定n′=-n，則式(1)變?yōu)榍蛎骁R的物像關(guān)系

圖3 球面鏡成像的光路圖

3.3 平面折射

圖4 平面折射成像的光路圖

平行玻璃磚、三棱鏡、水面正上方的人看水中的魚(yú)等等就屬于平面折射問(wèn)題.如圖4光路為水中的人看水面正上方飛過(guò)的小鳥(niǎo)，為了方便我們畫(huà)成水平位置，假設(shè)鳥(niǎo)所在物空間的折射率為n，鳥(niǎo)的像所在像空間的折射率為n′.

規(guī)定r→∞，則式(1)變?yōu)槠矫嬲凵涞奈锵耜P(guān)系

如果n′>n，那么-s′>-s，即水中的人看到的鳥(niǎo)的像在實(shí)際鳥(niǎo)位置的上方，是等大的虛像.

3.4 介質(zhì)球

一只玻璃球放置于空氣中，人眼從一側(cè)觀察另一側(cè)的景物，就可以?xún)纱卫脝吻蛎嬲凵涔胶蜋M向放大率確定最終像的位置和像的性質(zhì)，具體方法可見(jiàn)后面的例題.

3.5 薄透鏡

透鏡的厚度遠(yuǎn)小于折射面的曲率半徑則稱(chēng)為薄透鏡.如圖5中，物空間折射率為n1，透鏡材料的折射率為n，像空間的折射率為n2；左側(cè)折射面曲率半徑為r1，右側(cè)折射面曲率半徑為-r2.

圖5 薄透鏡成像的光路圖

則物經(jīng)左折射面折射

像作為物再經(jīng)右折射面折射

為了方便，常寫(xiě)成

橫向放大率為

令s→∞，則

稱(chēng)為像方焦距，那么像的位置和像的性質(zhì)就可以確定了.

4 應(yīng)用

由透鏡、平面鏡、球面鏡等多個(gè)光學(xué)元件構(gòu)成的一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)稱(chēng)為光具組.求解物體通過(guò)光具組成像問(wèn)題的總原則是：一方面要注意不同的光學(xué)元件各自的成像規(guī)律，另一方面要注意成像的先后順序以及像與物的相對(duì)性，即前一光學(xué)元件的像視為后一光學(xué)元件之物.最終成像位置由最后一個(gè)光學(xué)元件成像的位置決定；最終成像的性質(zhì)也由最后一次成像的性質(zhì)決定；總放大系數(shù)等于各次放大系數(shù)的乘積.

【例1】半徑為R的凹面鏡和凸面鏡主軸相互重合放置，兩球面鏡頂點(diǎn)O1和O2相距2.6R，現(xiàn)于主軸上距凹面鏡頂點(diǎn)O1為0.6R處放一垂直于主軸的微小線光源S.設(shè)S發(fā)出的光先直接射到凹面鏡上，問(wèn)S經(jīng)凹面鏡和凸面鏡各反射一次后所成的像在何處？最終像的性質(zhì)如何？

圖6 凹面鏡和凸面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)的光路圖

最終成像在S處.由于β=β1β2=-25，所以成像性質(zhì)為倒立、放大的實(shí)像.

特別注意的是第一次“s對(duì)凹面鏡反射”所成的是實(shí)像，但光束未會(huì)聚成實(shí)像，就經(jīng)過(guò)凸面鏡的反射，故第二次“s2對(duì)凸面鏡反射成像”時(shí)，應(yīng)該視為虛物來(lái)處理.因?yàn)棣?=5>0，所以應(yīng)該為“虛物→實(shí)像”，而不是“實(shí)物→虛像”.

【例2】一平凸面透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀，現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上如圖7.用計(jì)算法求出最終像的位置并確定像的性質(zhì).

圖7 平凸透鏡成像

【例3】長(zhǎng)度為4 mm的物體AB由圖8所示的光學(xué)系統(tǒng)成像.光學(xué)系統(tǒng)由一個(gè)直角棱鏡、一個(gè)會(huì)聚透鏡和一個(gè)發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸標(biāo)注于圖上，求：

圖8 三個(gè)光學(xué)器件組成的光學(xué)系統(tǒng)

(1)最終像的位置；

(2)像的大小，并說(shuō)明是實(shí)像還是虛像，是正立還是倒立的.

得

虛物→虛像；

即最終像位于凹透鏡左側(cè)約10.488 cm處.

y′=0.488×4 mm=1.95 mm

并且最終成正立、縮小的虛像.

參考文獻(xiàn)

1 姚啟鈞.光學(xué)教程.北京：高等教育出版社,1989.195

2 張大同.高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)講義.杭州：浙江大學(xué)出版社,2013.432