平面簡諧縱波動能和勢能的有關討論

許 花 馮 杰 涂 泓

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

機械波是大學物理力學的重要內容，在討論機械波能量的問題時，由于縱波比較抽象，現有文獻通常以橫波為例推導平面簡諧波的動能和勢能[1，2]，對橫波能量的探討相對比較全面深入[3]，少數文獻討論波動能量時簡單提及縱波，沒有進行深入的探討．現有關于縱波的討論也比較集中在縱波波峰、波谷與縱波疏密部問題上[4，5]，而對于縱波力學原理、動能與勢能的詳細分析較少.本文根據牛頓運動定律、廣義胡克定律等彈性力學理論，結合圖像，討論了平面簡諧縱波的動能與勢能．

1 平面簡諧縱波能量的數學推導

彈性介質元的線變產生縱波，各質元振動的方向平行于波傳播的方向，因此表現為各質元間隔較小的“密部”和質元間隔較大的“疏部”在空間做周期性的移動．通過數學分析可知，縱波的最密集處與最疏散處均為平衡位置，縱波的波峰和波谷均位于質點最密集處與最疏散處之間[6]．這樣所確定的縱波的波峰和波谷與橫波的波峰和波谷在質元的形變、位移大小和振動速度這三個方面就完全一致，即波的平衡位置形變最大，速度也最大，在波峰、波谷位置，形變最小，速度為零[7]．

在有簡諧縱波傳播的固體介質內，取一微小質元，其橫截面積為S，長為dx，質元中心的平衡位置為x，波的傳播速度為u．根據平面簡諧波方程

可求出其在t時刻的振動速度為

設介質密度為ρ，并用dV表示質元體積，則該質元動能為

同時，質元因形變而具有彈性勢能，質元的形變量為dy，彈性勢能

因

故

代入上式得

可見ΔEp=ΔEk，質元任一瞬時動能和勢能具有相同的數值，它們是同步的，即同時達到最大值又同時達到最小值．質元機械能等于動能與勢能之和

即它的機械能也隨時間變化，是不守恒的.沿著波的傳播方向，該質元不斷地從后面的介質獲得能量，又不斷地把能量傳遞給前面的介質．介質的任一質元與其臨近的質元之間在不斷進行能量交換，這樣，能量就隨著波動行進，從介質的這一部分傳向另一部分．機械能不守恒表明波的傳播過程也是能量傳遞的過程，所以波動是能量傳遞的一種方式[8]．

2 平面簡諧縱波能量的圖像 力學原理分析

縱波在介質中傳播,各質元的諧振動方向平行于波的傳播方向．在縱波通過的區(qū)域里,介質發(fā)生體積變化,有彈性形變,如圖1所示，彈力F的方向、質元本身的彈性形變都平行于波速u(向右)．彈力F在質元本身的彈性形變上所做的功等于質元的彈性勢能的增量．質元在振動過程中具有與u平行的加速度,是因為質元兩端附近的形變程度不同,兩端受到的彈力不等(假設各質元平衡位置均為介質自然狀態(tài)時各質元所處的位置，疏部受拉、密部受壓),彈力的矢量和dF是質元產生加速度的原因,dF在質元的振動位移上所做的功等于質元動能的增量．

圖1

以均勻的、各向同性的、無吸收的彈性固體介質為例，在介質內,以某一波線為x軸,x軸的正方向與波速u的相同,選取振動位移為y軸，沿波速方向為正，平衡位置為零．在波線上位置x處取長為dx的質元．用垂直于波速u的切面去切開介質和質元,在同一切面所截出的兩個端面上,彈力大小相等、方向相反,符合牛頓第三定律．

2.1 質元的受力與運動情況分析

如圖1所示,C質元為最疏部，即到達它的平衡位置，此刻振動方向為沿x軸負方向，因為對稱性,左右截面附近的形變程度完全相同,所以左右截面受到的拉力大小相等，方向相反．

2.2 動能ΔEk

如圖1，質元D位于最疏部與最密部之間的波峰，形變量為零，D截面F=0，質元D左邊鄰近的介質被拉伸，給予其向左(與波速方向相反，為負值)的拉力，質元D左邊鄰近的介質被壓縮，給其向左(為負)的壓力，質元D的兩個端面上彈力的矢量和為-dF(兩力大小相加)；質元A為最密部，位于平衡位置，由于對稱性，左右截面鄰近質元由于受擠壓的形變程度完全相同，左右截面受到的壓力大小相等，方向相反，質元A兩個端面上彈力的矢量和為零；質元D與質元A之間的質元均被擠壓，由于各質元左右鄰近的介質形變量不同，各質元兩個端面上彈力的矢量和為兩端彈力大小相減、方向向左(為負值)．

實際上，質元的兩個端面上彈力的矢量和dF與質元離開平衡位置的位移y的大小成正比,而方向相反，是質元振動加速度的原因．圖2(b)表示對應于圖2(a)中在不同時刻的振動位置,某一質元的兩個端面上彈力的矢量和dF隨時間t變化的曲線,圖中箭頭表示dF的方向．質元從正的最大位移處由靜止開始向平衡位置做加速運動,dF做正功,動能增大；到平衡位置處,y=0,dF=0,質元加速度a=0,速率v最大,動能ΔEk最大．在慣性作用下,質元從平衡位置向負的最大位移運動,與上述過程相反,dF做負功,動能逐漸減?。竭_負的最大位移時,dF最大,a最大,v=0,動能ΔEk為零．從此處開始,質元又從靜止開始向平衡位置做加速運動,力dF與動能ΔEk的變化與前述過程類似．圖2(d)表示對應于圖2(a)在不同時刻的振動位置,質元的動能ΔEk隨時間t的變化．

圖2

2.3 彈性勢能ΔEp

彈力F作用于質元的兩端截面上,將使質元發(fā)生彈性形變dy．彈力與彈性形變成正比,服從廣義胡克定律．該力在質元本身的彈性形變上所做的功等于質元因為形變而具有的彈性勢能的增量．在正的最大位移處,形變?yōu)榱?彈力F=0,彈性勢能為零；在向平衡位置運動過程中,形變逐漸加大,F增大,質元的彈性勢能ΔEp增大；直到平衡位置時,彈性形變最大,F最大,相應的彈性勢能由零變到了最大．從平衡位置運動到負的最大位移處,彈力F、彈性形變及彈性勢能必然由最大值不斷減小到零．圖2(c)表示對應于圖2(a)的振動位置,質元右端面受質元施加彈力F隨時間t變化曲線(圖1中波峰左疏右密，波谷左密右疏，圖2中質點t=0時刻位于正的最大位移處，彈力F=0；向其平衡位置振動過程中，F增大，且該質點將處于疏部，質元被拉伸，右端面所受的質元的彈力為拉力，方向向左，即沿x軸負方向；當質點由負的最大位移處向其平衡位置振動過程中，彈力由零開始增大，質點將開始處在密部，質元被壓縮，右端面所受的質元的彈力為壓力，方向向右，即沿x軸正方向)．

2.4 機械能ΔE

從上述分析可見,質元的彈性形變和彈性勢能都隨彈力F的增大而增大,并且都隨質元離開平衡位置的位移大小|y|減小而增大．質元的速度大小與動能大小皆隨所受的力|dF|的減小而增大,并且都隨位移大小|y|減小而增大．綜合這兩個方面,質元的機械能必定隨|y|的減小而增大或者隨|y|的增大而減小,即處在平衡位置時,ΔE最大；在最大位移處時,ΔE=0．圖2(d)表示對應于圖上在不同時刻的振動位置,質元的動能ΔEk隨時間t的變化．ΔEp的變化與ΔEk的相同．ΔE的變化與ΔEk和ΔEp同步,ΔE的振幅是ΔEk或ΔEp的兩倍．

3 總結與延伸

縱波在彈性介質中傳播時與橫波相比較，雖然介質的形變不同，但這兩種波動的最基本的形式相同，在傳播過程中具有相同的能量．并且在波動中，動能和勢能是同相位的，它們同時達到最大值又同時達到最小值，因此對任意體積元，它的機械能是不守恒的．

傳播簡諧波的介質質元不滿足簡諧振動的一些特點．為什么機械波動能與勢能同步？簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒，動能與勢能相互轉換，是此消彼長的關系，不是同步的，位移最大處，速度為零，勢能最大；平衡位置速度最大，勢能為零．在波動中，對任意體積元，它的機械能是不守恒的．介質質元在最大位移處速度為零，在平衡位置速度最大，這點與簡諧振動相同，但是勢能的情況不相同．

彈簧振子的勢能與其位移相關，振動的位移即為彈性形變，所以當位移最大時，彈性形變最大，振子的勢能也最大，當振子處于平衡位置時，彈性形變量為零，勢能也為零．而波動中的介質質元的振動位移并不是其形變量，反而是處于平衡位置時，介質形變最大，勢能最大，與動能同步．通過對比不難發(fā)現，與彈簧振子連結的彈簧一端被固定，系統(tǒng)能量守恒，而波動中各介質都能在其平衡位置附近往復運動，能量傳遞，最初能量由波源提供．若不單考慮做簡諧振動的彈簧振子，將彈簧也劃分為一個個微小質元，各質元的運動情況與彈簧振子一致，即所有質元和彈簧振子同時到達最大位移處，速度為零，各質元形變最大；又同時回到平衡位置，速度達到最大，各質元形變?yōu)榱悖簿褪歉髻|元(包括彈簧振子)相位相同，但各質元的振幅不同．而平面簡諧波在彈性介質中傳播時的特點是各質元的振幅相同，但相位不同．

參考文獻

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8 王翔,周玲,郭中華.波動能量的研究.甘肅高師學報，2010(2)：18

Abstract:In this paper we focus on the plane harmonic longitudinal waves transmission in a elastic medium and discuss the kinetic energy and the potential energy of the plane harmonic longitudinal waves from three aspects:function expression method,graph expression method and mechanics principle showing the essence and elementary law of energy transfer of the plane harmonic longitudinal waves through analysis of the force condition,deformation and motion of material element.

Keyword:the plane harmonic longitudinal waves；elastic medium；elasticity modulus；kinetic energy；potential energy