有限寬雙光柵成像效應(yīng)的分析與應(yīng)用

劉 云

引言

對雙光柵成像效應(yīng)研究的文章很多［1－3］，這些文章推導(dǎo)了雙光柵成像效應(yīng)的條件，即雙光柵成像方程，分析了成像效應(yīng)中，兩片光柵所起的作用。對白光－光柵再現(xiàn)普通透射全息圖［4］的原理也有所研究，并且已運用到全息照相實驗［5］中。無論是用菲涅耳衍射理論［6］還是用反向調(diào)制照明法［7］來分析光柵的成像效應(yīng)都是把光柵的通光口徑看著無限大。實際的光柵總是有一定大小的，光柵的通光口徑是有限的，積分為限定區(qū)間的定積分，本文利用穩(wěn)相積分法［8］來研究點光源經(jīng)有限大小的雙光柵的衍射，并將其與無限大小的雙光柵衍射成像效應(yīng)對比，從而得出其衍射圖像在大小、位置的變化，并根據(jù)其原理進行白光再現(xiàn)普通透射全息圖色彩研究。

1 利用光柵的菲涅耳衍射理論分析有限寬光柵的雙光柵成像

1.1 雙光柵成像效應(yīng)

如圖1所示，光柵G1和G2分別為非傾斜的平面透射光柵，P是擋板，O為被觀察的目標物。來自O(shè)的不同波長的光波斜入射到光柵G1上，被衍射后的m級光譜波入射到G2，并被G2衍射，當兩光柵的放置距離滿足條件：

時，在G2的第n級衍射可以觀察到一個無色散的清晰的虛像O，即為雙光柵衍射成像效應(yīng)［1］。

圖1 雙光柵衍射成像光路示意圖Fig.1 Schematic of light path of bi－grating diffraction imaging

1.2 有限寬光柵的雙光柵成像

所謂有限寬光柵，即是設(shè)光柵在x方向上的有限寬度為a，而在y方向上則仍然可視為無窮大的光柵。點光源經(jīng)這樣有限大小光柵的衍射，可以把光柵的邊緣看成是光闌，如果光柵的邊緣是矩形的，相當于在光柵面上加一個矩形光闌，這樣的光闌加在光柵上，稱為光柵光闌。把上述的兩片有限寬的光柵光闌組成如圖2所示的光學(xué)系統(tǒng)。

圖2 有限寬雙光柵成像系統(tǒng)光路示意圖Fig.2 Schematic of finite－width bi－grating imaging system

在圖2中，光源S點在平面Ⅰ上，平面透射光柵G1和G2分別位于平面（x1，y1）和（x2，y2）上，光柵的狹縫均與y軸平行。光柵光闌矩形孔徑內(nèi)透過率函數(shù)和光柵的透過率函數(shù)相同，孔徑以外的透過率為0，若兩光柵的空間頻率分別為和這樣光柵光闌G1和G2的透過率函數(shù)可以表示為［9］

由菲涅耳衍射理論，位于圖2所示的平面Ⅰ（x0，y0）處，波長為λ的單位光強點光源S透射到G1光柵的前表面（x1，y1）平面上的復(fù)振幅分布，在傍軸近似條件下為［10］

式中l(wèi)1為光柵G1到光源S的距離。

經(jīng)光柵G1衍射后，投射到光柵G2前表面（x2，y2）平面上的復(fù)振幅分布，在傍軸近似條件下為［10］

式中l(wèi)2為光柵G2到G1的距離。由（2）式（4）式，先對（5）式中的y1積分得：

利用穩(wěn)相法［8］對（6）式積分，得出經(jīng)光柵G1衍射的第m級衍射在平面（x2，y2）上的復(fù)振幅分布，略去常數(shù)相位因子為

若只允許G1衍射的m級衍射光經(jīng)過光柵G2，則投射到平面Ⅱ（x3，y3）上的復(fù)振幅分布，在傍軸近似的條件下為［10］

式中x′1和x′2表示第二片有限光柵在x軸向的坐標。將（3）式、（7）式代入（8）式得：

同理對（9）式積分得到平面（x3，y3）面上的復(fù)振幅分布，略去常數(shù)相位因子得：

2 有限寬光柵對雙光柵成像的影響

2.1 對成像位置的影響

與無限寬光柵衍射的球心位置完全一致，這說明了有限寬光柵對雙光柵成像的位置沒有影響。

2.2 對成像大小的影響

由（11）式可以看出，xn是與波長λ有關(guān)的，這說明當點光源不是單色光時，平面Ⅱ上所形成的衍射圖像會發(fā)生色散現(xiàn)象，但當通過移動G2、改變l2使得條件得到滿足時，xn就與波長λ無關(guān)，這樣經(jīng)光柵G2的第n級衍射將匯合。這樣（11）式就可以寫為

從（10）式可知在光柵G2后的x3y3觀察平面上的分布區(qū)域為一個矩形區(qū)域，該矩形區(qū)域的寬度用表示為

設(shè)點光源是白光源，由（11）式，白光源中最大波長和最小波長差為λmax的兩種色光，在x3y3面上的矩形分布區(qū)域中心的間距為

白光點光源的光入射光柵，經(jīng)有限大小的光柵衍射后，白光中最大波長成分和最小波長成分在x3y3面上的矩形分布區(qū)域的重疊部分為

該重疊區(qū)域中白光中的所有波長成分都能入射，稱為白光區(qū)域。白光區(qū)域以外，x3y3面上不同區(qū)域有不同波長的色光入射，這些區(qū)域被不同的色光照明而呈現(xiàn)不同的彩色。

將（15）式變形有：

由（16）式可導(dǎo)出，光柵后的觀察平面x2y2面上的色光區(qū)域分布與x3y3面距光柵的距離有關(guān)。當時，隨著觀察面x3y3距光柵面距離l3的增大白光區(qū)域越來越大，即有：

時，白光區(qū)域隨著觀察面x3y3距光柵面距離l3的增大而減小，當白光區(qū)域減小到0即y白光≤0時，觀察面上的白光區(qū)域消失，觀察面上的色光分布區(qū)域按波長順序連續(xù)分布。此時

通過分析N的取值為

設(shè)白光點光源是由波長分別為632.8nm、532nm、435nm的紅（R）、綠（G）、藍（B）三種色光匹配而成的，最大波長差為Δλmax＝198nm，a＝0.5cm 時，由（17）式計算出N＜28 017。

設(shè)光柵G1距光源的距離l1＝30cm，光柵G2距光柵G1面為l2＝22cm，觀察面距離光柵G2為l3＝30cm處時匯合成像的放大倍數(shù)由N＝計算得到N＝1.22。

3 有限寬光柵衍射的應(yīng)用

在滿足多色光再現(xiàn)像匯合的前提下，全息圖局域可看作有限寬光柵，將圖2中光柵G2位置換為記錄一幅花和葉子的全息圖，不同的色光區(qū)域中將得到不同的彩色全息圖再現(xiàn)像。這里的彩色再現(xiàn)像并非物體原來的色彩，為假彩色再現(xiàn)像。圖3光柵G2換成全息圖H，這里光柵G1輔助實現(xiàn)白光－光柵方法再現(xiàn)普通透射全息圖假彩色像。

圖3 光柵G2換成全息圖HFig.3 G2 replaced by H

全息圖具體呈現(xiàn)的色彩與全息圖的放置區(qū)域和觀察區(qū)域有關(guān)。各色光的衍射效率是影響再現(xiàn)像色彩的關(guān)鍵因素。不同波長的再現(xiàn)光經(jīng)光柵G1衍射后再經(jīng)全息圖光柵H的衍射效率不同，再現(xiàn)像呈現(xiàn)衍射效率高的色光的顏色，特別地，當不同色光的衍射效率差異懸殊時，再現(xiàn)像的色彩較為鮮明。本實驗的目的是要觀察到紅花綠葉的再現(xiàn)像效果，實驗中拍得再現(xiàn)像效果圖片如圖4所示。

圖4 假彩色再現(xiàn)像圖片（彩色在網(wǎng)上）Fig.4 Pictures of artificial color displaying image（color online）

圖4 （a）是匯合級位置的再現(xiàn)像，實現(xiàn)紅花綠葉的效果，4（b）和4（c）分別是除匯合級外的色光區(qū)域的再現(xiàn)效果，實現(xiàn)綠花藍葉的效果。

早年已有利用光柵的色散特性來輔助全息圖白光再現(xiàn)像的技術(shù)［8，11－12］。這些方式中，用光柵的反向色散特性來補償白光再現(xiàn)普通透射全息圖的色散，都要求輔助光柵的空間頻率與全息圖的平均空間頻率相等或近似相等，由光柵的一級衍射波來補償全息圖的色散。本文分析了白光－光柵再現(xiàn)普通透射全息圖需要滿足有限寬雙光柵成像條件，即成消色散再現(xiàn)像時，對輔助光柵的衍射級次及空間頻率無嚴格限制，不要求輔助光柵的空間頻率與全息圖的平均空間頻率相等或近似相等。

假彩色再現(xiàn)像典型的有彩虹假彩色全息［13］、反射假彩色全息［14］、θ調(diào)制假彩色全息［15］。與各種假彩色全息相比，白光－光柵方法再現(xiàn)普通透射全息圖假彩色像具有以下特點：

1）白光－光柵再現(xiàn)方式中的全息圖的記錄只是普通的離軸全息圖的記錄方式，只需單次曝光，底片的處理只是一般的顯定影處理。記錄到的普通透射全息圖受限制少，視場大，景深大，立體感強。實驗裝置簡單，使用方便，可操作性強。

2）再現(xiàn)中只需要通過調(diào)節(jié)光柵的有效寬度和全息圖距光柵面的距離，即可再現(xiàn)白光中所有波長的假彩色再現(xiàn)象，再現(xiàn)象的不同部分可以再現(xiàn)不同的色彩。

3）對于整個全息圖再現(xiàn)像的假彩色只能在一個方向上變化。在垂直于光柵狹縫的方向上，全息圖的不同部分可以再現(xiàn)不同的色彩。在平行于光柵狹縫方向上，全息圖的再現(xiàn)像色彩都相同。

4 結(jié)果分析

本文把有限大小的光柵看成光柵光闌，來自白光點光源的光經(jīng)光柵光闌的衍射后在光柵后的平面上形成一定的色光區(qū)域分布，由（10）式得到這個色光區(qū)域分布與光柵光闌的有效寬度有關(guān)，光柵光闌的有效寬度越小，在光柵后形成的白光分布區(qū)域越小，按波長連續(xù)分布的不同色光區(qū)域向白光區(qū)偏移，與白光區(qū)域的距離越近。如果將全息圖置于光柵后的不同的色光分布區(qū)域，全息圖再現(xiàn)像會呈現(xiàn)不同的色彩，這可以用來獲得假彩色全息圖再現(xiàn)像。

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