波束形成算法指向誤差時(shí)的穩(wěn)健性研究

崔 琳,焦亞萌

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

波束形成是陣列信號(hào)處理的重要組成部分,它在雷達(dá)、聲納以及無(wú)線通信等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.隨著優(yōu)化算法的發(fā)展,最優(yōu)波束形成能夠根據(jù)接收數(shù)據(jù)不斷更新加權(quán)向量,使波束形成器具有較好的方位分辨力和較強(qiáng)的干擾抑制能力.但是許多波束形成算法都是基于對(duì)期望信號(hào)波達(dá)方向的精確估計(jì)而提出的,當(dāng)實(shí)際期望信號(hào)的導(dǎo)向向量與理想期望信號(hào)的導(dǎo)向向量出現(xiàn)誤差時(shí),波束形成器會(huì)將其視為干擾信號(hào)而加以抑制,因此尋求相應(yīng)的解決方法已成為許多學(xué)者的研究方向[1-3].

Vapnik等人在20世紀(jì)90年代初提出的支持向量機(jī)(SVM)是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理的算法,它不僅可以解決遙感、雷達(dá)等方面的分類(lèi)問(wèn)題[4],而且可以應(yīng)用在信號(hào)處理方面,例如波束形成、波達(dá)角方向估計(jì)旁瓣抑制等.支持向量機(jī)算法的提出,使得許多新的具有穩(wěn)健性的波束形成方法也隨之涌現(xiàn)出來(lái).最早在2004年由César C.Gaudes等人提出將SVM與波束形成中的MVDR方法相結(jié)合,從而達(dá)到更好的抑制旁瓣的作用[5];Clodoaldo A M Lima等人將最小二乘支持向量機(jī)應(yīng)用于波束形成,通過(guò)對(duì)最小二乘支持向量機(jī)中參數(shù)的設(shè)定,可以更準(zhǔn)確地估計(jì)期望信號(hào)的波達(dá)方向[6];路遙等人通過(guò)使用SVM計(jì)算貝葉斯自適應(yīng)波束形成算法的權(quán)向量,進(jìn)而可以更好地控制旁瓣高度[7].本文提出一種基于支持向量回歸機(jī)的線性約束最小方差波束形成方法,該方法對(duì)于期望信號(hào)方向向量存在誤差的情況,具有一定的穩(wěn)健性,仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性.

1 LCMV算法基本原理

假設(shè)一個(gè)由M個(gè)陣元,且陣元間距為d的均勻線列陣,則傳統(tǒng)的窄帶波束形成器的輸出可寫(xiě)為

y(k)=wHx(k),

其中w=[w1,w2,…,wM]T∈CM×1為權(quán)向量x(k)=xk=[x1(k),…,xM(k)]T∈CM×1為基陣觀測(cè)值的復(fù)向量,它是期望信號(hào)、干擾和噪聲的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立分量之和,(·)T和(·)H分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置.在某一時(shí)刻k基陣的觀測(cè)值可表示為

其中s(k),i(k),n(k)分別表示期望信號(hào)、干擾信號(hào)和噪聲,Ki表示干擾的個(gè)數(shù),θs表示期望信號(hào)的到達(dá)方向,θij,j=1,…,K表示干擾信號(hào)的到達(dá)方向,且對(duì)應(yīng)的陣列流形向量分別為a(θs)和a(θij).

LCMV波束形成加權(quán)向量設(shè)計(jì)問(wèn)題表述為

其中Rn為基陣接收到的噪聲協(xié)方差矩陣,g為約束值的復(fù)數(shù)形式.

采用Lagrange乘子法來(lái)求解最優(yōu)化問(wèn)題,建立Lagrange函數(shù)

L=wHRnw+α[wHa(θs)-1)].

將L分別對(duì)w和a求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于零.通過(guò)計(jì)算可得

由此可見(jiàn),波束形成方法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)LCMV)波束形成算法的核心是:在期望的信號(hào)波達(dá)方向θs上陣列總增益為1,而且使波束形成器總的輸出功率最小.這樣就可以最大程度地抑制波束形成器輸出中的干擾信號(hào)和噪聲.

2 SVR-LCMV算法

假定L個(gè)信號(hào)的波達(dá)方向?yàn)棣萯,i=1,…,L,且θi∈[0°,180°],同時(shí)假設(shè)θL是期望信號(hào)的波達(dá)方向.根據(jù)SVM的理論[8],將上述LCMV波束形成算法的信號(hào)模型與SVR的基本理論結(jié)合起來(lái),重新考慮LCMV算法的最優(yōu)化問(wèn)題,可將其寫(xiě)為

(1)

其中di表示波束形成器的期望輸出,即

(2)

下標(biāo)R,I分別代表實(shí)部和虛部.且滿足

|di-wHa(θi)|ε=max{0,|di-wHa(θi)|-ε}.

式(2)di表示波束形成器的期望輸出.

對(duì)于每個(gè)DOA波束形成器的輸出wHa(θi)可以改寫(xiě)為

同理

因此,可以將支持向量回歸問(wèn)題表示成實(shí)部和虛部的形式

由此,式(1)可以寫(xiě)為

(3)

(4)

滿足條件

此時(shí),最優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)榍蠼馐?4)的最小值.

為了求解帶有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題,建立Lagrange函數(shù),Lagrange函數(shù)的表達(dá)式為

(5)

(6)

βi=C-αi,l=1,…,2L

(7)

(8)

將式(6),(7),(8)代入式(5)可得最優(yōu)問(wèn)題的對(duì)偶形式

根據(jù)y=wHx可以進(jìn)一步計(jì)算出SVR-LCMV波束形成算法的陣列輸出.

3 仿真結(jié)果與討論

分別從沒(méi)有失配的理想情況和期望信號(hào)存在方向向量失配兩種情況來(lái)分析證明上述方法的可行性.考慮由M=10個(gè)各向同性的陣元組成的均勻線列陣,且陣元間距為半波長(zhǎng).為了便于計(jì)算,將陣列放置于z軸上,將陣列的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn).所有的信號(hào)及干擾都是來(lái)自遠(yuǎn)場(chǎng)的平面波信號(hào),噪聲為具有單位方差的白噪聲矩陣.信號(hào)的入射方向θs=90°,干擾的入射方向θij分別為30°,70°,130°,干擾噪聲比為10dB,信號(hào)的頻率為15kHz,采樣頻率為35kHz,使用1 000個(gè)快拍數(shù)進(jìn)行SVR-LCMV波束形成處理.SVR-LCMV波束形成算法分別采用兩種不同的損失函數(shù),采用線性ε-不敏感損失函數(shù)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為SVR-LCMVL)和采用二次損失函數(shù)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為SVR-LCMVQ).根據(jù)參數(shù)的選取方法,選取懲罰參數(shù)ε=0.01,采用高斯徑向基核函數(shù),函數(shù)中的參數(shù)σ2=0.2.

若SNR=5dB,其他參數(shù)不變,懲罰參數(shù)C分別為0.5，10和50時(shí),進(jìn)行SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成后得到的波束圖如圖1(a)，(b)所示.從圖1可以看出,懲罰參數(shù)C的增大可以有效地降低旁瓣級(jí)的高度,但是C值選取的過(guò)大會(huì)導(dǎo)致SVR模型的泛化能力變差,所以C的選取必須在旁瓣級(jí)的高度和泛化能力之間進(jìn)行折中,這樣才能防止“過(guò)學(xué)習(xí)”現(xiàn)象的出現(xiàn).

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法圖1 C不同取值下的SVR-LCMV算法波束圖

對(duì)于前面所述的模型,若懲罰參數(shù)C=10,SNR=5dB,ε選取不同值時(shí)SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ波束形成算法的波束圖如圖2(a),(b)所示.從圖2可以看出，ε越大,SVR模型中支持向量越少,SVR回歸的精度越低,所以SVR-LCMV算法的性能有所下降.但ε值選取的過(guò)小,會(huì)導(dǎo)致SVR模型的泛化能力變差,因此ε的取值需要控制在一定范圍內(nèi).

(a) SVR-LCMVL算法 (b) SVR-LCMVQ算法圖2 ε不同取值下的SVR-LCMV算法波束圖

圖3 3種算法的SNR與SINR的關(guān)系

圖3給出了LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3種算法輸入SNR與輸出SINR之間的關(guān)系.從圖3可以看出，在輸入信噪比相等的情況下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的輸出信干噪比大,而且SNR>2sdB時(shí),SVR-LCMVL算法的輸出SINR要大于LCMV算法的輸出SINR.由此可見(jiàn),輸入信噪比較大時(shí),SVR-LCMVL算法可以彌補(bǔ)LCMV算法的不足,表現(xiàn)出比LCMV算法更優(yōu)的性能.

針對(duì)基于SVR的10元線陣假設(shè)模型,只考慮期望信號(hào)存在方向向量失配的情況.若實(shí)際的期望信號(hào)入射方向?yàn)?8°.在SNR分別為5dB和20dB時(shí),LCMV算法、SVR-LCMVL算法以及SVR-LCMVQ算法的波束圖如圖4(a),(b)所示.從圖4可以看出，由于方向向量存在失配,LCMV算法誤將期望信號(hào)認(rèn)為是干擾信號(hào),對(duì)其進(jìn)行了抑制,而SVR-LCMVL算法可以允許主瓣方向存在較小誤差,所以波束圖中主瓣方向出現(xiàn)微小的偏差,但是在其它方面仍然保持比較穩(wěn)定的性能,說(shuō)明當(dāng)信號(hào)DOA存在失配時(shí),算法仍然具有較好的魯棒性.SVR-LCMVQ算法在信噪比較小時(shí),雖然對(duì)于干擾信號(hào)沒(méi)有抑制作用,但是其主瓣方向并沒(méi)有出現(xiàn)偏差,相比于其它兩種算法,它的魯棒性最強(qiáng),但在信噪比較大時(shí),它的旁瓣迅速升高且出現(xiàn)畸變,性能下降的比較明顯.

(a) SNR=5dB (b) SNR=20dB圖4 不同信噪比時(shí)三種算法的波束圖

圖5 方向向量失配時(shí),3種算法的SNR與SINR的關(guān)系

圖5給出了期望信號(hào)的方向向量存在誤差時(shí),LCMV、SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ 3種算法的輸入SNR與輸出SINR之間的關(guān)系.從圖5可以看出,輸入信噪比相等的情況下,SVR-LCMVL算法比SVR-LCMVQ算法的輸出信干噪比大.在SNR>20dB,SVR-LCMVL算法的輸出SINR超過(guò)LCMV算法,因此SVR-LCMVL算法在失配的條件下,更能表現(xiàn)出它的良好性能.

4 結(jié) 論

(1) 在討論傳統(tǒng)LCMV算法的基礎(chǔ)上,將支持向量機(jī)算法應(yīng)用于魯棒波束形成.通過(guò)對(duì)沒(méi)有失配的理想情況和期望信號(hào)存在方向向量失配兩種情況,分別對(duì)SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ兩種方法進(jìn)行仿真分析.

(2) 仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn),在無(wú)失配的理想情況和有失配的實(shí)際情況下,SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ兩種方法不僅可以在不同信噪比情況下保持較好的性能,而且在輸入高信噪比時(shí)可以比傳統(tǒng)LCMV算法輸出更高的信干噪比,尤其是在方向向量存在失配時(shí),SVR-LCMVL和SVR-LCMVQ方法的穩(wěn)健性更為突出.

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