基于差分進化算法的衛(wèi)星軌道計算方法

劉秀平,孫海峰,景軍鋒,韓麗麗

(1.西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048;2.西安電子科技大學 空間科學與技術學院,陜西 西安 710071;3.西安交通工程學院 電子工程系,陜西 西安 710065)

0 引 言

衛(wèi)星或航天器的軌道位置信息是執(zhí)行空間任務或導航的基礎[1].不論是用于通信的低軌道衛(wèi)星,還是用于導航定位的高軌道衛(wèi)星都對軌道位置的計算時間和精度有相應的容忍要求[2-3],及時獲取高精度的位置信息是導航的目標.通過對圓軌道、橢圓軌道、拋物線和雙曲線軌道建立位置與時間相關聯(lián)的開普勒方程來獲取高精度軌道位置信息[4].除圓軌道外,其他形式軌道的開普勒方程均涉及到超越方程的求解[5].傳統(tǒng)的Newton迭代法、梯度法等方法對初始值的選取要求較高,對函數(shù)的梯度計算敏感,并且導數(shù)冗繁[6].在面對不可微、函數(shù)性質復雜等問題時,傳統(tǒng)方法的優(yōu)化結果不能令人滿意.研究高效的、穩(wěn)定的、導數(shù)信息和初始值要求不高的求解方法十分重要.差分進化算法對約束的優(yōu)化問題能獲得較好的性能.本文首先介紹了差分進化算法的原理,構建衛(wèi)星軌道計算模型,然后利用差分進化算法對軌道參數(shù)計算,最后分析了各種衛(wèi)星軌道的計算性能,并與其他算法進行了比較.

1 差分進化算法

差分進化算法(Differential Evolution,DE)是目前進化算法中最優(yōu)秀的一種,在含約束的單目標優(yōu)化問題和無約束的多目標優(yōu)化問題中有廣泛的應用[7].DE算法是基于浮點矢量編碼具有保優(yōu)思想的貪婪遺傳算法,其思想是從某一隨機產(chǎn)生的初始化種群(I),通過變異操作(M)和交叉操作(C)產(chǎn)生新個體,再通過選擇操作(S)實現(xiàn)優(yōu)勝劣汰.不斷迭代,引導搜索過程向最優(yōu)解逼近,直到滿足精度要求或滿足停止條件為止.具體操作步驟為:

Step 1:初始化(Initialization),在定義內(nèi)隨機生成含有N個p維變量的個體,組成初始種群;當前迭代次數(shù)t=1,最大迭代次數(shù)為G.

Step 2:變異操作(Mutation),從當前種群中隨機選擇兩個個體xr1，xr2,對其進行變異操作,即

(1)

Step 3:交叉操作(Crossover),其目的是增加群體的多樣性,即

(2)

Step 4:選擇操作(Selection),為保證算法不斷向全局最優(yōu)解靠近,算法采用“優(yōu)勝劣汰”的選擇策略.經(jīng)過變異和交叉后的個體,只有適應度更優(yōu)時,才能被競爭選入子代,即

(3)

式中f()為目標函數(shù),假設解決的為最小化問題.

圖1 地心赤道坐標系和近焦點坐標系關系

2 差分進化算法的軌道預測算法

在實際工程應用中,軌道根數(shù)是衛(wèi)星的主要參數(shù).軌道根數(shù)包括軌道的半長軸(a)(或比角動量的模)、傾角(i)、升交點赤經(jīng)(Ω)、偏心率(e)、近地點幅角(ω)和真近點角度(θ).

(4)

式中μ為地球的引力參數(shù),μ=398 600km3/s2,h為比角動量的模

(5)

(6)

(4) 根據(jù)地心赤道坐標下的初始位置向量rXYZ0和速度向量vXYZ0,迭代Δt時刻后的狀態(tài)向量.

根據(jù)rXYZ0和vXYZ0,計算出rXYZ0的模,vXYZ0在rXYZ0上投影得到速度的徑向分量和長半軸的倒數(shù),分別表示為r0，vr0，α.

(7)

設t0為全局變量為零的時刻,則(t0+Δt_時刻的χ值,可由全局開普勒方程獲得.

(8)

(9)

當t0為其他不同于近地點的時間時,全局變量χi與近點角的關系為

(10)

針對軌道參數(shù)預測問題,通過DE算法得到的解決方案,能夠擴展搜索空間,提高群體的多樣性,能得到更優(yōu)的軌道參數(shù)[8].通過啟發(fā)式策略修正使其滿足約束條件,并根據(jù)式(9)評價各個個體的適應值.DE算法具體如下:

Step 1:輸入軌道根數(shù)的參數(shù)和約束的上下限值,設置DE算法的參數(shù).

Step 2:初始化群體，每個個體都有一組決策變量組成,這些變量為時間段內(nèi)近點角的輸出值.

Step 3:針對個體χi,從群體中隨機選擇互不相同的個體χk,χi,χm,利用式(1)生成變異個體.

Step 4:針對個體χi,利用式(2)產(chǎn)生臨時測試個體ui.

Step 5:利用測試個體ui,使其滿足各種約束條件,并對ui的適應值進行評估[9].

Step 6:當適應值較大時,進入下一次迭代，且迭代次數(shù)增加.

Step 7:判斷停止條件.當群體中個體數(shù)目達到最大，或達到最大迭代次數(shù)，則滿足停止條件；否則，轉向Step3.

Step 8:輸出群體最優(yōu)的方案.

3 結果與分析

測試DE算法對軌道全局近點角及軌道位置和速度信息的尋優(yōu)性能,并與其他算法比較.算法利用Matlab平臺實現(xiàn),各算法均在Intel(R) Core(TM) i3 CPU M370@2.4GHz 2.4GHz內(nèi)存,Win 7系統(tǒng)的PC機上運行.

為了測試算法的性能,選取衛(wèi)星軌跡為橢圓、拋物線和雙曲線軌道為測試函數(shù).DE算法對衛(wèi)星軌道的真近點角的預測性能,如表1所示.對3類不同類型的5個衛(wèi)星軌跡全局近點角進行了計算.橢圓軌道的參數(shù)為近地點半徑9 600km和遠地點半徑21 000km,利用DE算法計算1.132h和3h后的近點角,其最優(yōu)解為120°和193.0°，DE算法比PSO算法和GA算法獲得的近點角有更好的逼近.對于雙曲線,參數(shù)分別為速度15km/s和近地點半徑300km,計算4.15h和3h的近點角,其理論值為111.1°和99.8°.從表1看出,DE算法有更高的軌道精度逼近性能.軌跡為拋物線時,也獲得了較好的效果.可見,DE算法在衛(wèi)星軌道預測方面有較好的尋優(yōu)能力.這主要得益于DE進化算法使得種群的進化在每一個較好的解附近搜索.因此,一旦有較好解出現(xiàn)在種群中,就獲得很大的發(fā)展空間,算法有較快的速率收斂.已知t0時刻的位置r0和速度v0,由拉格朗日系數(shù)及其導數(shù),可以求得任意時刻的位置r和速度v,從而,確定任意時刻的位置信息和速度信息.

表1 算法對軌道真近點角預測性能比較

4 結束語

本文針對于衛(wèi)星軌道預測中開普勒方程是超越方程,有不可微、函數(shù)性質復雜等特點,建立了衛(wèi)星軌道預測模型,構建目標函數(shù).采用標準化DE算法尋找到最優(yōu)的全局近點角.通過分析3種不同衛(wèi)星軌跡,結果表明該算法對于此類問題有較好的尋優(yōu)能力.

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