基于二維七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算

馮里濤 ，鄧云青

(1.浙江省測繪質(zhì)量監(jiān)督檢驗站，浙江 杭州 310012; 2.杭州余杭測量隊，浙江 杭州 311100)

1 引 言

我國已開始采用三維地心坐標系CGCS2000，因此在實際應(yīng)用中我們經(jīng)常會遇到二維平面坐標系向CGCS2000 轉(zhuǎn)換的問題。目前，從一個坐標系到另一個坐標系的轉(zhuǎn)換方法已有多種［1］，通常方法是找到一組在兩個基準下空間直角坐標均已知的同名點，進而求出兩個基準間的轉(zhuǎn)換參數(shù)即可，如我們所熟知的布爾莎轉(zhuǎn)換模型，然而這種轉(zhuǎn)換方法多用于三維坐標轉(zhuǎn)換，在傳統(tǒng)坐標系(如1954年北京坐標系、1980年西安坐標系)下，大地高通常是未知或不能精確得到的，無法使用三維坐標轉(zhuǎn)換模型;針對傳統(tǒng)大地坐標系的二維坐標轉(zhuǎn)換，可以使用平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，但是平面四參數(shù)對處理小范圍的局域網(wǎng)是可行的，但隨著控制網(wǎng)區(qū)域的擴大，大地坐標向二維平面進行高斯投影過程中發(fā)生的變形就變不能忽略，此方法的局限性會很快暴露出來，特別是在建立范圍比較大的大地測量框架時，其坐標轉(zhuǎn)換精度不能保證。針對浙江省基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)庫在不同基準之間的坐標轉(zhuǎn)換工作，為保證坐標轉(zhuǎn)換的精度，采用基于二維七參數(shù)的坐標轉(zhuǎn)換模型，來計算浙江省內(nèi)北京1954 坐標系或西安1980 坐標系與CGCS2000 坐標系在不同基準下的轉(zhuǎn)換參數(shù)，以避開大地高不準確和投影變形等弱點。

2 坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換方法

2.1 轉(zhuǎn)換模型選取

二維七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型是一種改正數(shù)法，它的理論基礎(chǔ)是大地坐標微分公式，采用廣義大地坐標微分公式直接求出大地坐標改正數(shù)［2］。其基本思想就是要將基準轉(zhuǎn)換和坐標系轉(zhuǎn)換融合到一個模型中，從而建立起不同基準下大地坐標間更為直接的關(guān)系。與布爾沙模型不同的是，在轉(zhuǎn)換時除了要考慮類似于空間直角坐標系的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放外，還必須顧及橢球參數(shù)的變化，只有這樣才能讓定位、定向、形狀和大小不完全相同的兩個橢球重合。由于二維七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型考慮了不同坐標系橢球參數(shù)的變化，適用于不同大地坐標系間的轉(zhuǎn)換。

二維七參數(shù)轉(zhuǎn)換的模型如下:

其中:△B，△L——同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經(jīng)度差，單位為弧度，

△a，△f——兩個橢球長半軸差(單位m)、扁率差(無量綱)，

△X，△Y，△Z——平移參數(shù)，單位為m，

εx，εy，εz——旋轉(zhuǎn)參數(shù)，單位為弧度，

m——尺度參數(shù)(無量綱)。

式(1)與七參數(shù)模型公式相比［3］，由原來的7 個參數(shù)變?yōu)? 個參數(shù)，除了3 個平移參數(shù)、3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1 個尺度參數(shù)外，多出兩個橢球參數(shù)△a、△f。

事實上，我們已經(jīng)獲得了一些橢球較為精密的橢球參數(shù)，比如我國建立1954年北京坐標系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，CGCS200 應(yīng)用的則是2000 國家大地坐標系橢球參數(shù)。從這種意義上講，可以通過固定橢球參數(shù)將式(1)中的△a 和△f 兩個參數(shù)作為已知解，從而提高參數(shù)解求的可靠性。

2.2 重合點選取

坐標重合點可采用在兩個坐標系下均有坐標成果的點。但最終所選用的重合點還需根據(jù)所確定的轉(zhuǎn)換參數(shù)，計算重合點坐標殘差，根據(jù)其殘差值的大小來確定重合點是否參與坐標轉(zhuǎn)換計算，重合點的選取應(yīng)采用以下原則:首先選取所有重合點求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，計算重合點的坐標殘差，若殘差中誤差大于3 倍中誤差則剔除，重新計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)，直到滿足精度要求為止;用于計算轉(zhuǎn)換參數(shù)的重合點數(shù)量不少于5 個，且區(qū)域分布均勻。

整體轉(zhuǎn)換參數(shù)的檢核:選擇部分重合點作為外部檢核點，不參與轉(zhuǎn)換參數(shù)計算，用轉(zhuǎn)換參數(shù)計算這些點的轉(zhuǎn)換坐標與已知坐標進行外部檢核。應(yīng)選定至少6個均勻分布的重合點對坐標轉(zhuǎn)換精度進行檢核。

按照前面重合點的選取原則，從浙江省GPS 基礎(chǔ)控制網(wǎng)中選取了54 個重合點，這54 個重合點在1980年西安坐標系和CGCS2000 坐標系中均有坐標成果，從54 個重合點中最終均勻選取了40 個重合點用于求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，剩余14 個重合點用于轉(zhuǎn)換參數(shù)的檢核，54 個重合點的分布情況如圖1所示。

圖1 重合點分布圖

2.3 轉(zhuǎn)換參數(shù)平差計算

在本文中坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解采用間接平差法，因△a，△f 是有已知解，可將其視為常數(shù)，則式(1)的誤差方程為:

在式(2)中B 是為重合點在待轉(zhuǎn)換坐標系下的大地坐標值按式(1)計算出來的系數(shù)矩陣，X 為式(1)中前7 個參數(shù)組成的7 行1 列的轉(zhuǎn)換參數(shù)矩陣，l 為常數(shù)項可用式(3)表示。

其中L2000，B2000表示重合點在CGCS2000 中的大地坐標即經(jīng)緯度;L80，B80表示重合點在1980年西安中的大地坐標。

按最小二乘原理，式(2)中的X 必須滿足VTPV=min 的要求，因為每個參數(shù)互為獨立量，故可用求函數(shù)自由極值的方法進行計算，將其轉(zhuǎn)置后得:

將式(4)代入式(2)，以便消除V，得:

該式即為二維七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型進行轉(zhuǎn)換參數(shù)求解時的間接平差方法的法方程。由式(5)可得:

由式(6)即可解出待轉(zhuǎn)換坐標系向目標坐標系進行轉(zhuǎn)換時，7 個轉(zhuǎn)換參數(shù)的最小二乘解，其中在式(6)中P 為重合點坐標觀測值的權(quán)陣，因為重合點大地坐標值是采用等精度觀測方法獲得的，故P 可視作單位矩陣，不對平差結(jié)果產(chǎn)生影響。

3 轉(zhuǎn)換參數(shù)計算及精度評定

3.1 坐標轉(zhuǎn)換殘差計算

按照2.3 中所介紹的平差方法，利用選取的40 個重合點根據(jù)式(1)計算出坐標轉(zhuǎn)換模型中的7 個待求參數(shù)，為了使計算結(jié)果更為直觀，將重合點在CGCS2000 中的大地坐標測量值投影到以120°中央子午線的3°帶高斯平面上，計算出其高斯平面坐標的x 和y 值，并依據(jù)已計算出的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將重合點在1980年西安坐標系的大地坐標轉(zhuǎn)換成CGCS2000 坐標系的成果，并計算出轉(zhuǎn)換得到的大地坐標的高斯投影坐標x 和y 值，進而計算出依據(jù)計算坐標轉(zhuǎn)換模型參數(shù)進行基準轉(zhuǎn)換和高斯投影后所得重合點在x 方向和y 方向上的殘差(如圖2所示)。從圖中可以看出，各重合點的高斯坐標殘差均在毫米級，其中y 方向殘差略差，但均在誤差允許的范圍內(nèi)。經(jīng)計算，40 個重合點坐標轉(zhuǎn)換殘差中誤差為0.014 m。

圖2 重合點平面坐標轉(zhuǎn)換殘差

3.2 坐標轉(zhuǎn)換精度檢核

利用40 個重合點所求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)，將14 個檢核點在1980年西安坐標系中的大地坐標成果轉(zhuǎn)換到CGCS2000 坐標系的大地坐標成果，得到檢核點在CGCS2000 坐標系中的大地坐標轉(zhuǎn)換成果，然后將檢核點在CGCS2000 坐標系中的測量成果和轉(zhuǎn)換成果均投影到以120°中央子午線的3°帶高斯平面上，計算本次坐標轉(zhuǎn)換的平面精度(如表1所示)。從表1中可以看出，各點在x 方向和y 方向上計算值和測量值的殘差值均在毫米級，經(jīng)計算得到本次坐標轉(zhuǎn)換的平面點位中誤差為0.008 m，能夠滿足1980年西安坐標系與2000 國家大地坐標系轉(zhuǎn)換時，1∶5 000 比例尺小于0.5 m，1∶10 000比例尺小于1 m的精度要求。由此可知，平面二維七參數(shù)坐標轉(zhuǎn)換模型，在不需要對大地坐標進行空間直角坐標轉(zhuǎn)換和無大地高的基礎(chǔ)上，能夠?qū)崿F(xiàn)不同基準之間大地坐標的直接轉(zhuǎn)換，其精度完全能滿足浙江省1∶5 000和1∶10 000基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)庫從西安1980坐標系向CGCS2000 坐標系的整體轉(zhuǎn)換。

表1 檢核點殘差表

4 總 結(jié)

通過以上討論，可以看到平面二維七參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)兩個坐標系下大地坐標的直接轉(zhuǎn)換，不但無需提供大地高，而且無需將大地坐標值轉(zhuǎn)換成空間直角坐標系后再進行坐標轉(zhuǎn)換，然后再將目標坐標系下的空間直角坐標系轉(zhuǎn)換成目標坐標系的經(jīng)緯度，而且平面二維七參數(shù)顧及了不同坐標系橢球參數(shù)的差異，具有很高的轉(zhuǎn)換精度，能夠滿足較大范圍內(nèi)的坐標轉(zhuǎn)換需要，尤其適合于省級范圍內(nèi)的基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)庫大地坐標間的直接轉(zhuǎn)換。

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