用位似變換再探正方形的內(nèi)接正三角形問題

金巨明+徐燕云

本文對文[1]與文[2]進行比較，通過聯(lián)想、類比、知識的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設其中的兩點G、E在正方形一組對邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點P是一個定點.而且定點P是GE的中點.經(jīng)過點A（或點D）、點P的邊最長，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過點P作EG，交AB邊于點G，交對邊CD于點E；

（3）過點P作PF⊥GE交BC于點F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“F在AC邊上”這個條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點F定在AC上，再作圖就簡單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長BF′交AC于點F；

（3）過點F作FG∥BC交AB于點G；

（4）分別過點F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因為E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“E在CD邊上”這個條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點E定在CD上，再作圖就簡單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長，交CD于點E；

（4）過點E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因為∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長決定，邊長越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫板，點G′、F′在變化的過程中發(fā)現(xiàn)：（1）當點G與點A或點D與點E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長最長，面積最大；（2）當GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時，正三角形的邊長最短，面積最小.

（3）點G′、點F′在變化的過程中，運用幾何畫板，得到線段GE的運動軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點P是一個定點的問題，再用文[1]的方法進行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學是一門探究的學科，在平時的教學積累中，教師應善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開發(fā)學生潛在的思維能力，用位似變換來探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學數(shù)學雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學數(shù)學雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個分割問題[J].中學數(shù)學雜志，2012（6）：64-65.endprint

本文對文[1]與文[2]進行比較，通過聯(lián)想、類比、知識的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設其中的兩點G、E在正方形一組對邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點P是一個定點.而且定點P是GE的中點.經(jīng)過點A（或點D）、點P的邊最長，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過點P作EG，交AB邊于點G，交對邊CD于點E；

（3）過點P作PF⊥GE交BC于點F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“F在AC邊上”這個條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點F定在AC上，再作圖就簡單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長BF′交AC于點F；

（3）過點F作FG∥BC交AB于點G；

（4）分別過點F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因為E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“E在CD邊上”這個條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點E定在CD上，再作圖就簡單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長，交CD于點E；

（4）過點E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因為∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長決定，邊長越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫板，點G′、F′在變化的過程中發(fā)現(xiàn)：（1）當點G與點A或點D與點E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長最長，面積最大；（2）當GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時，正三角形的邊長最短，面積最小.

（3）點G′、點F′在變化的過程中，運用幾何畫板，得到線段GE的運動軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點P是一個定點的問題，再用文[1]的方法進行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學是一門探究的學科，在平時的教學積累中，教師應善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開發(fā)學生潛在的思維能力，用位似變換來探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學數(shù)學雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學數(shù)學雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個分割問題[J].中學數(shù)學雜志，2012（6）：64-65.endprint

本文對文[1]與文[2]進行比較，通過聯(lián)想、類比、知識的遷移，得出一種作正方形的內(nèi)接正三角形的新方法.

1 經(jīng)典回顧一

文[1]中提到我們把頂點都在正方形邊上的正三角形叫做正方形的內(nèi)接正三角形.

如圖1，已知正方形ABCD.求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 假設△EFG為正方形的一內(nèi)接正三角形，不妨設其中的兩點G、E在正方形一組對邊AB、CD上（圖1）.

作△EFG邊EG上的高PF，則G、B、F、P四點共圓.連接BP，則∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以點P是一個定點.而且定點P是GE的中點.經(jīng)過點A（或點D）、點P的邊最長，得最大正三角形，于是得：

作法：如圖1，（1）在正方形ABCD內(nèi)作正△PBC；

（2）過點P作EG，交AB邊于點G，交對邊CD于點E；

（3）過點P作PF⊥GE交BC于點F，連接GF、EF，則△EFG即為所求.

文[2]中的問題一：如何利用尺規(guī)作圖的方法作出長寬符合一定比例的三角形的內(nèi)接矩形？

如圖2，已知△ABC，求作△ABC的內(nèi)接矩形，使DE在BC邊上，點G、F分別在AB、AC邊上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要滿足四個條件：①DE在BC邊上；②G在AB邊上；③F在AC邊上；④DE∶DG=2∶1.要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“F在AC邊上”這個條件，那樣的矩形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點F定在AC上，再作圖就簡單多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC邊上，G′在AB邊上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）連接BF′并延長BF′交AC于點F；

（3）過點F作FG∥BC交AB于點G；

（4）分別過點F、G作BC的垂線，垂足分別為E、D；

則四邊形DEFG就是所求的矩形.

證明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，則∠FGD=90°，

所以四邊形DEFG是矩形.

因為E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 對新作法的啟示

在正方形內(nèi)求作等邊三角形是否也可以用位似變換的方法來解決呢？

題目：已知正方形ABCD，求作：等邊△EFG，使G、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要滿足D、F、E方別在正方形ABCD邊AB、BC、CD上，要同時滿足這么多條件比較困難，不妨先退一步，即先放棄一個條件，比如放棄“E在CD邊上”這個條件，那樣的正三角形就比較好作，然后再選擇適當?shù)奈凰浦行倪M行位似變換，從而把點E定在CD上，再作圖就簡單多了（圖3）.

作法 （1）在AB、BC上分別取兩點G′、F′，且滿足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直線G′F′的異側(cè)；

（3）連接BE′并延長，交CD于點E；

（4）過點E分別作G′E′、F′E′的平行線交AB、BC于點G、F；連接GF；

則△EFG就是所求的正三角形.

證明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因為∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面積的大小由邊長決定，邊長越小，〖LL〗面積越大，反之，也成立.利用幾何畫板，點G′、F′在變化的過程中發(fā)現(xiàn)：（1）當點G與點A或點D與點E重合（圖4、5），即∠BG′F′=15°或45°，則正三角形的邊長最長，面積最大；（2）當GE∥AD（圖6），即∠BG′F′=30°時，正三角形的邊長最短，面積最小.

（3）點G′、點F′在變化的過程中，運用幾何畫板，得到線段GE的運動軌跡（如圖7中的陰影部分），巧妙地解決了點P是一個定點的問題，再用文[1]的方法進行證明，自然貼切，相得益彰.

數(shù)學是一門探究的學科，在平時的教學積累中，教師應善于總結(jié)，精煉培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的優(yōu)秀素材，開發(fā)學生潛在的思維能力，用位似變換來探究正方形的內(nèi)接正三角形，不失為一堂優(yōu)秀的探究課.

參考文獻

[1] 李發(fā)勇.正方形的內(nèi)接正三角形的探究[J].中學數(shù)學雜志，2011（8）：32-33.

[2] 王寧.三角形內(nèi)接多邊形的作法探討[J].中學數(shù)學雜志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一個分割問題[J].中學數(shù)學雜志，2012（6）：64-65.endprint