剪式單元直線陣列可展結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

李 博，王三民，袁 茹

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安）

剪式單元直線陣列可展結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

李 博，王三民，袁 茹

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，710072西安）

為獲得剪式可展結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷，開展剪式單元直線陣列可展結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究.首先基于桿件的彈性變形分析，建立了剪式單元的結(jié)構(gòu)失穩(wěn)極限載荷表達(dá)式，然后將其應(yīng)用于陣列組合而成的可展結(jié)構(gòu)，獲得了這種結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性條件.結(jié)果表明：?jiǎn)卧獋€(gè)數(shù)、桿件柔度和位置角等參數(shù)共同影響結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷，隨著單元個(gè)數(shù)增加或桿件柔度增大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性逐漸降低；位置角受到單元個(gè)數(shù)影響，不能單獨(dú)作為判斷結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的依據(jù).最后進(jìn)行可展結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性仿真分析，并將仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果對(duì)比，兩者吻合性較好，證實(shí)了本文提出方法的正確性.

剪式結(jié)構(gòu)；直線陣列；穩(wěn)定性；失穩(wěn)載荷；仿真

可展機(jī)構(gòu)是一般空間可展結(jié)構(gòu)的基本體系，是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)形態(tài)變化、展開折疊的基本結(jié)構(gòu)機(jī)構(gòu)元素.文中研究的剪式可展結(jié)構(gòu)是桿式可展結(jié)構(gòu)中的一種，剪式鉸是組成剪式可展結(jié)構(gòu)的基本單元，由兩個(gè)連桿經(jīng)銷軸連接成“X”型結(jié)構(gòu)，具有運(yùn)動(dòng)收縮功能，在航天（如大口徑天線、太陽帆）、航空（如可伸縮停機(jī)坪，臨時(shí)機(jī)庫）、建筑（如開合穹頂、救災(zāi)房屋）等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.

進(jìn)入20世紀(jì)70年代后，航天科技發(fā)展對(duì)大型結(jié)構(gòu)提出了迫切要求，國內(nèi)外眾多研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者都做了大量研究.如美國DARPA（defense advanced research projects agency）實(shí)施ISAT（innovative space-based antenna technology）計(jì)劃旨在研究口徑100 m左右的可展式天線.1995年，英國劍橋大學(xué)Burgess教授［1］在對(duì)航天飛行器Envisat的太陽帆可展結(jié)構(gòu)進(jìn)行地面展開實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了由于單元機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不同步，導(dǎo)致整個(gè)機(jī)構(gòu)的展開運(yùn)動(dòng)卡滯現(xiàn)象，并首次提出了一種考慮運(yùn)動(dòng)同步性的先進(jìn)單元機(jī)構(gòu)（APDM）；2002年，美國格林研究中心學(xué)者Botke等［2］針對(duì)可展結(jié)構(gòu)在展開運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)不同步現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了一種同步鉸鏈，提出了利用機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置來實(shí)現(xiàn)構(gòu)型穩(wěn)定性的思想；2008年，土耳其學(xué)者Kipe等［3］對(duì)用于可展結(jié)構(gòu)的單元機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分類，并對(duì)單元機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析，指出在實(shí)現(xiàn)預(yù)期展開形狀時(shí)，單元機(jī)構(gòu)的合理選擇十分重要.目前，我國研究人員對(duì)可展機(jī)構(gòu)也做了大量研究，如浙江大學(xué)陳向陽等［4］開展的六棱柱單元組合而成的可展天線結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究，清華大學(xué)趙景山等［5］采用螺旋理論對(duì)以剪刀機(jī)構(gòu)為單元機(jī)構(gòu)面陣列而成的組合機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行的理論研究等.

現(xiàn)有文獻(xiàn)表明，我國對(duì)可展結(jié)構(gòu)的研究主要集中在幾何構(gòu)型［6-9］以及機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性［10-14］方面，注重其可展開性能，但是，在單元機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性以及臨界載荷方面研究較少.本文以一個(gè)剪式鉸單元為基礎(chǔ)，研究其在橫向力作用下，單元失穩(wěn)的條件以及相應(yīng)的臨界載荷.繼而將結(jié)論推廣到剪式單元直線陣列組合結(jié)構(gòu)相應(yīng)的失穩(wěn)條件及其影響因素，為研究陣列組合機(jī)構(gòu)展開過程中運(yùn)動(dòng)同步性和展開到位時(shí)的構(gòu)型穩(wěn)定性提供研究依據(jù).

1 剪式單元結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

單獨(dú)一個(gè)剪式單元由兩個(gè)連桿經(jīng)銷軸連接而成，如圖1（a）所示，AB和CD兩桿之間可繞銷軸相互轉(zhuǎn)動(dòng)，兩桿末端鉸接在固定面上，桿長(zhǎng)相等，且鉸鏈O將兩桿長(zhǎng)度等分，結(jié)構(gòu)與水平面的夾角為γ，B點(diǎn)受水平橫向載荷P，假設(shè)桿件為理想均質(zhì)直桿，不計(jì)桿的質(zhì)量和鉸鏈處的摩擦力，則由靜力學(xué)方程求得鉸接處的內(nèi)力見式（1）.

式中Fax、Fay、Fox、Foy、Fcx、Fcy均為鉸接處相應(yīng)的內(nèi)力．

因?yàn)锳B桿受到水平的橫向載荷作用，在O點(diǎn)和CD桿鉸接，則桿AB繞鉸接點(diǎn)O有較大變形.CD桿因?yàn)槔@Z軸變形較小，所以計(jì)算時(shí)只考慮CD桿的軸向變形.現(xiàn)以一個(gè)剪式單元為研究基礎(chǔ)，考慮其在失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷.如圖1（b）所示.在A點(diǎn)建立整體笛卡爾坐標(biāo)系A(chǔ)-xy，在A點(diǎn)和B點(diǎn)分別建立隨動(dòng)坐標(biāo)系o1-x1y1、o2-x2y2．

在AO段，設(shè)彎曲變形發(fā)生于桿件的一個(gè)主慣性平面內(nèi)，抗彎剛度為EI，沿x1的軸線方向?yàn)檎?；距原點(diǎn)o1為x1的任意截面的撓度為w1，彎矩為M1，則AO段撓曲線的彎矩及近似微分方程為

令

則

圖1 剪式單元結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析

該方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，由待定系數(shù)法求得對(duì)應(yīng)特解=cotγ·x1．則方程通解為

同理，在BO段，沿x2的軸向?yàn)檎?，距原點(diǎn)o2為x2的任意截面撓度為w2，彎矩為M2，B點(diǎn)處最大撓度為δ，則BO桿彎矩及該段撓曲線近似微分方程為

由剪式單元相應(yīng)的邊界條件求得積分常數(shù)C1、D1、C2、D2以及撓度δ為

由式（6）解得單元撓度為

由式（7）可知，當(dāng)αL趨近于π或βL趨近于π／2時(shí)，δ趨近于無窮．因此，在橫向載荷趨近于α和β對(duì)應(yīng)的臨界載荷時(shí)，無論橫向載荷增量如何微小，桿件都將失去穩(wěn)定，相應(yīng)的臨界載荷分別為

求得P1、P2后，選擇其中的較小值作為單元的臨界載荷．

2 剪式單元直線陣列組合可展結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

將剪式單元沿x軸進(jìn)行陣列，相鄰剪式單元之間通過運(yùn)動(dòng)副相連，組成線性陣列結(jié)構(gòu)，如圖2所示.在Cartesian坐標(biāo)系下，由右往左，單元數(shù)逐漸增多，剪式結(jié)構(gòu)與水平面的夾角為γ，任取第i個(gè)單元進(jìn)行靜力學(xué)分析，其受力如圖2下部所示．

由圖2可知，第i個(gè)單元的受力由i和γ兩個(gè)變量進(jìn)行控制.根據(jù)剪式單元的分析過程，推導(dǎo)得到在N個(gè)剪式單元組合結(jié)構(gòu)中第i個(gè)單元的臨界載荷為

臨界載荷P1、P2隨角度γ以及單元個(gè)數(shù)i的雙向變化如圖3、4所示．

圖2 剪式單元線性陣列可展結(jié)構(gòu)圖

圖3 臨界載荷P1雙向變化

圖4 臨界載荷P2雙向變化

由圖3可知，單元個(gè)數(shù)i和夾角γ共同影響臨界載荷．在計(jì)算剪式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時(shí)，必須充分考慮每個(gè)單元的臨界載荷大小，選出最小臨界載荷作為剪式結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷．由圖4可知，臨界載荷P2有一部分為負(fù)值，說明這部分對(duì)應(yīng)的剪式單元不能作為判斷失穩(wěn)的依據(jù)，要重新尋找其他單元來判斷失穩(wěn)．

3 算例分析與仿真

3.1 剪式單元組合結(jié)構(gòu)理論計(jì)算值

三組剪式基本單元沿x軸陣列，每組單元可繞中間的鉸接點(diǎn)相互轉(zhuǎn)動(dòng)，相鄰的剪式單元之間通過鉸接進(jìn)行連接，如圖5所示.該結(jié)構(gòu)的第一個(gè)基本單元受到軸向的載荷P作用，鉸接是理想約束，且此結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，與水平面的夾角γ取為60°．

圖5 線性剪式組合結(jié)構(gòu)受力

由于所分析的剪式單元結(jié)構(gòu)是在空間中展開，因此忽略重力影響.桿的橫截面形狀為圓管，外徑和內(nèi)徑分別為0.122、0.114 m，桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)= 4m，使用材料為Q235A，彈性模量E=2e11Pa，由上述推導(dǎo)公式計(jì)算得桿橫截面的慣性矩為

將以上參數(shù)代入式（10）得到，在γ=60°時(shí)，相應(yīng)的剪式結(jié)構(gòu)最小失穩(wěn)載荷為P1=1.133 4× 106N，對(duì)應(yīng)的單元個(gè)數(shù)i=3，即需要用第3個(gè)單元去求結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷.

在i=3時(shí)，失穩(wěn)載荷P與夾角γ的變化關(guān)系如圖6所示．桿的柔度為λ=uL／i′，其中，i′=I／A ，相應(yīng)的長(zhǎng)度因數(shù)u1=i tanγsinγ，u2=4｛cosγ-（i-1）tanγsinγ｝．在i和γ確定的情況下，柔度λ隨著桿長(zhǎng)L變化，則失穩(wěn)載荷P相對(duì)于L的變化如圖7所示．

圖6 臨界載荷與夾角γ趨勢(shì)圖

由圖6可知，結(jié)構(gòu)與水平面夾角γ為60°時(shí)，臨界載荷為1.133 4×106N．當(dāng)剪式結(jié)構(gòu)與水平面夾角小于32°時(shí)，P2＜P1，需要利用P2的相應(yīng)公式來計(jì)算結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷；當(dāng)剪式結(jié)構(gòu)與水平面夾角大于32°時(shí)，P2＜0，不能作為判斷失穩(wěn)的依據(jù)，需要利用P1的相應(yīng)公式來計(jì)算結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷．同時(shí)可以看出，在i=3時(shí)，剪式結(jié)構(gòu)的臨界載荷隨夾角γ的變化較小，說明結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性較好．由圖7可知，在i和γ確定的情況下，失穩(wěn)載荷隨著柔度λ增大而逐漸減小至接近于0，符合實(shí)際工況．

圖7 臨界載荷與桿長(zhǎng)L趨勢(shì)圖

3.2 剪式單元組合結(jié)構(gòu)有限元仿真

依據(jù)已知物理量完成建模，選取BEAM188單元將該線性結(jié)構(gòu)劃分為1 200個(gè)單元；選取載荷子步為100，弧長(zhǎng)半徑為4，選用Full Newton-Raphson方法求解［15］，得到剪式結(jié)構(gòu)的載荷-位移曲線如圖8所示.

圖8 剪式線性結(jié)構(gòu)載荷-位移曲線

在圖8（a）中，隨著載荷增大，桿的變形也逐漸增大，在載荷達(dá)到1.183×106N時(shí)，桿接近于以90°的形式直線增長(zhǎng)，此時(shí)結(jié)構(gòu)已失穩(wěn).同時(shí)由圖8發(fā)現(xiàn)，得到的失穩(wěn)載荷和由式（10）計(jì)算可得在i=3，γ=60°時(shí)理論失穩(wěn)載荷值1.133 4×106N相比，相對(duì)誤差約為4.38%.誤差的一些原因可能表現(xiàn)在受力分析時(shí)沒有考慮變形后的位移，并且忽略了鉸接處的一些變形，同時(shí)，在進(jìn)行ANSYS仿真時(shí)，單元?jiǎng)澐值亩嗌?，以及載荷步的選取也有一些影響.但仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論計(jì)算是可以接受的.

4 結(jié) 論

1）由圖8可知，剪式結(jié)構(gòu)臨近失穩(wěn)時(shí)，最大變形約為0.187 5m，并且變形主要體現(xiàn)在Y軸方向，在Z軸幾乎沒有變形，說明結(jié)構(gòu)變形主要是在XY平面內(nèi)完成的，和理論分析時(shí)考慮的一致．

2）比較圖6～8可以發(fā)現(xiàn)，3單元剪式結(jié)構(gòu)失穩(wěn)載荷的理論計(jì)算值和仿真分析結(jié)果較為接近，可以作為驗(yàn)證依據(jù).依次類推，可以得到n單元剪式直線陣列組合結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷，為后續(xù)復(fù)雜剪式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究提供研究基礎(chǔ).

3）在進(jìn)行剪式結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，單元個(gè)數(shù)、桿件柔度和位置角等參數(shù)共同影響結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的臨界載荷.隨著單元個(gè)數(shù)增加或桿件柔度增大，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性逐漸降低，同時(shí)應(yīng)充分考慮到每個(gè)單元在夾角γ下其臨界載荷的變化，選擇最小的載荷值作為結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷.

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（編輯苗秀芝）

Stability of linear array deployable structures based
on structure of scissor-like element

LIBo，WANG Sanmin，YUAN Ru
（School of Mechatronics，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi’an，China）

In order to get the buckling load of deployable structures，stability of linear array deployable structures based on structure of SLE were studied.The paper established a structural instability limit load expression of SLE based on analysis of the elastic deformation of bar，which is applied to the array combination of deployable structure.Then the condition of the stability of this structure is obtained.Results indicate that: Buckling critical load were affected by the bar parameters such as the number of units，bar flexibility and position angle.With the increase of the number of units or the bar flexibility，structural stability gradually reduced；The position angle were affected by unit number，which cannot be used separately as the basis for judging structure instability.Deployable structure stability simulation analysis results and the theoretical analysis results are compared each other，confirming the correctness of the proposed method in this paper because of the experiment data well.

deployable structure；linear array；stability；buckling load；simulation

TH113.2

A

0367-6234（2014）09-0050-05

2013-12-13.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175422）.

李 博（1986—），男，博士研究生；王三民（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

李 博，yunfenglibo＠126.com.