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    一元三次、四次方程根的行列式解法

    2014-06-23 02:49:46吳佐慧廖軍徐行忠劉合國
    關(guān)鍵詞:求根行列式單位根

    吳佐慧,廖軍,徐行忠,劉合國

    (1.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢430062;2.柳州高級(jí)中學(xué),廣西 柳州545006)

    本文中采用的術(shù)語和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的,按照文獻(xiàn)[1-2].

    早期人們認(rèn)為一切自然問題都可最后歸于數(shù)學(xué)問題,而數(shù)學(xué)問題又都可以歸于代數(shù)方程.盡管現(xiàn)在代數(shù)學(xué)研究的課題是研究各種代數(shù)的結(jié)構(gòu),但求一元高次方程的根在許多實(shí)際問題中還是經(jīng)常碰到的.然而現(xiàn)在中學(xué)教學(xué)大綱里對(duì)這部分的內(nèi)容可以說基本上沒有,而在大學(xué)里也不講,這是令人費(fèi)解的.

    四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法,有各自的求根公式,可見參考文獻(xiàn)[1-3].在文獻(xiàn)[1]中,作者給出了三次方程的代數(shù)解法,即卡當(dāng)公式.文獻(xiàn)[2-3]中給出了三次方程的三角解法.本文中應(yīng)用行列式給出三次、四次方程的兩種解法.其過程是非常自然的,也是容易理解接受的.

    令三次方程的一般形狀是f(x)=x3+bx2+cx+d=0(其中b,c,d是常數(shù)).

    設(shè)x=y(tǒng)+h(其中h是待定的常數(shù))代入f(x)中得到

    接下來我們將給出三次方程x3+3ux+v=0(其中u,v是常數(shù))的根的求法.

    其中ω是三次單位根ω3=1,兩邊都取行列式可得

    則方程x3-3bcx+b3+c3=0的三根為

    所以要求三次方程的根只用確定b,c的值即可.

    對(duì)于三次方程x3+3ux+v=0(其中u,v是常數(shù))而言,通過比較系數(shù)可知?jiǎng)t,則原方程的3個(gè)根分別為

    方法一是通過三階循環(huán)行列式與三次方程根之間的關(guān)系來求解的,接下來我們將構(gòu)造一個(gè)特殊的二次方程,進(jìn)而求出原三次方程的根.

    情形1 當(dāng)u=0時(shí),則原方程x3+3ux+v=0即為x3=-v,所以方程的根為

    其中ω是三次單位根ω3=1.

    情形2 當(dāng)u≠0時(shí),令(2)式的Δ=v2+4u3.

    若Δ=v2+4u3=0,則原方程x3+3ux+v=0可分解為,所以原方程x3+3ux+v=0的根為

    若Δ=v2+4u3≠0,設(shè)(2)式的兩不等實(shí)根為y1與y2,且滿足y2,v=-y1·y2(y1+y2),所以原三次方程x3+3ux+v=0為

    變形可得

    所以原三次方程x3+3ux+v=0的根為

    下面將應(yīng)用行列式的方法繼續(xù)給出四次方程的求根公式.

    令四次方程的一般形狀是f(x)=x4+bx3+cx2+dx+f=0(其中b,c,d,f是常數(shù)).

    設(shè)x=y(tǒng)+h(其中h是待定的常數(shù))代入f(x)中得到

    φ(y)=f(y+h)=y(tǒng)4+(4h+b)y3+(6h2+3bh+c)y2+(4h3+3bh2+2ch+d)y+f(h)=0 (3)選取,則(3)式可化簡(jiǎn)為φ(y)=y(tǒng)4+uy2+vy+t的形式,故不失一般性,可令四次方程的一般形狀是 x4+ux2+vx+t=0(其中u,v,t是常數(shù)).

    接下來將給出四次方程x4+ux2+vx+t=0(其中u,v是常數(shù))的根的求法.

    其中ω是四次單位根ω4=1,即:ω=-i.兩邊都取行列式可得

    則方程x4-(2c2+4bd)x2+4c(b2+d2)x+(c4-b4-d4-4bdc2+2b2d2)=0的4個(gè)根為

    所以要求四次方程的根只用確定b,c,d的值即可(此時(shí)假設(shè)c≠0,若c=0則可轉(zhuǎn)化成二次方程求解).

    對(duì)于四次方程x4+ux2+vx+t=0(其中u,v是常數(shù))而言,通過比較系數(shù)可得

    (4)式是關(guān)于c2的三次方程,用本文中前半部分的方法,進(jìn)而可得其解c0,于是

    低階行列式有著令人嘆為觀止的應(yīng)用,譬如:線性方程組、多元一次方程組的解、數(shù)列問題、因式分解、解析幾何、立體幾何等.與數(shù)學(xué)中那些精妙的思路相比,筆者更偏愛那些能由基礎(chǔ)知識(shí)與技能構(gòu)造出來的解法:自然、簡(jiǎn)潔.

    1900年Hilbert D在巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名演講,他在結(jié)尾處指出:“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著,這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋在一邊.數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的.”這種真知灼見警醒著每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者.

    [1]張遠(yuǎn)達(dá).淺談高次方程[M].武漢:湖北教育出版社,1983.

    [2]迪克森.初級(jí)方程式論[M].黃新鐸,譯.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011.

    [3]世界著名三角學(xué)經(jīng)典著作鉤沉編寫組.世界著名三角學(xué)經(jīng)典著作鉤沉:平面三角卷(Ⅱ)[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2010.

    [4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

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