粘性Cahn－Hilliard方程全局吸引子的存在性

董超雨，姜金平，張曉明

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000）

考慮下列粘性Cahn－Hilliard方程：

粘性Cahn－Hilliard方程是由Novick cohen等在1958年首次提出，用來(lái)描述帶粘性的二物質(zhì)相互擴(kuò)散.許多學(xué)者對(duì)該方程進(jìn)行了研究［1－3］.本文中對(duì)該方程在更高的正則性空間H2中的全局吸引子進(jìn)行探究，同時(shí)參閱了其他方程的全局吸引子［4－5］，當(dāng)δ＝0時(shí)，方程（1）是Cahn－Hilliard方程.Ω是R2（n≤3）中的有界集，非線性項(xiàng)f（u）滿足如下條件：

存在β，γ，正常數(shù)k1，k2且0＜β≤γ＜∞，使得：

1 預(yù)備知識(shí)

本文中，c，c1，c2，…表示依賴于Ω 與n常數(shù)，分別記｜·｜p和‖·‖s表示Lp（Ω）和Hs（Ω）中的范數(shù)，特別地，｜·｜＝｜·｜2，‖·‖＝‖·‖2.令H＝L2（Ω），V＝H2（Ω）.定義Au＝Δ2u，則D（A）＝H1（Ω）∩H2（Ω）為A的定義域，顯然，D（A）?V?H，并且嵌入是緊的.

定理1.1 對(duì)任意u0∈H，初值問(wèn)題（1～3）式存在唯一解

定理1.1的證明 利用Faedo－Galerkin逼近方法類似文獻(xiàn)［5］可證.由定理1.1可定義一個(gè)連續(xù)算子半群S（t）：V→V，使得S（t）u0＝u.

定理1.2 以ρ0為半徑的球Bρ0（0，ρ0）是 H1界吸收集，即 H1中的任何有界集B，存在t0，使得當(dāng)t≥t0時(shí)，S（t）B?Bρ.

定理1.2的證明 用u與方程（1）式做內(nèi)積，得：

帶入（4）式及Poincare不等式｜u｜2≤λ｜ u｜2得：

由Gronwall不等式得：

半群S（t）的全局吸引子是一個(gè)緊的不變集A，通常方法由嵌入定理證明，運(yùn)用文獻(xiàn)［6］中一種新的驗(yàn)證緊性的方法，得到了預(yù)期的結(jié)果.

定義1.1［6］Banach空間X中的連續(xù)半群S（t）滿足條件C，是指對(duì)任意ε＞0及X中任何的有界集B，存在t（B）＞0和一個(gè)有限維的子空間 H1，使得‖PS（t）B‖是有界的，并且‖（I－P）S（t）x‖≤ε，?t≥t（B），x∈B，P：X X1是一個(gè)規(guī)范投影.

定理1.3［6］設(shè)S（t）是Hilbert空間X中的連續(xù)半群，如果下面條件成立；

1）S（t）在X中存在有界吸收集B?X；

2）S（t）滿足條件C.

那么S（t）在X中存在全局吸引子A＝ω（B），且A吸引X中的一切有界集.

2 全局吸引子的存在性

2.1 H2有界吸收集的存在性 用v＝ut＋ε0u與方程（1）作內(nèi)積，得：

由Poincare不等式得：

將（9～10）式代入（7）式得：

由Young不等式得：

因?yàn)棣（u）＝f″（u）（u）2＋f′（u）Δu，因 H1?L2，由（ⅳ）、（ⅲ）、sobolev嵌入定理及定理1.2得：

利用Gagliardo－Nirenberg不等式，得：

得

將上式代入（13）式得：

將（12～14）式代入（11）式得：

取適當(dāng)?shù)摩?，使得c7＞0，c8＞0，由Gronwall不等式得：

所以對(duì)任意‖u0‖≤R，存在，使得當(dāng)t≥t1時(shí)

定理2.1 f滿足條件ⅳ，以ρ1為半徑的球Bρ1（0，ρ1）是問(wèn)題（1～3）生成的解半群S（t）在 H2中的有界吸收集，即對(duì)H2中的任何有界集B，存在t1，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，S（t）B?Bρ1.

2.2 在H2中全局吸引子的存在性 記λ1，λ2，…，λk，…為A 的特征值，e1，e2，…，ek，…為對(duì)應(yīng)的特征向量，當(dāng)i→∞時(shí)構(gòu)成了H2（Ω）的正交基，令Wm＝span｛e1，e2，…，em｝，W′＝W，記Pi：V→Wm為規(guī)范投影.

對(duì)?u∈H，則有u＝u1＋u2，其中，用v2＝u2t＋ε0u2與方程（1）作內(nèi)積，類似于（8～11）式的估計(jì)得：

同理可得，取適當(dāng)?shù)摩?，使得c3＞0，由Gronwall不等式得：

因此滿足條件（ⅳ）、定理1.3、定理2.1，得：

定理2.2 設(shè)u0∈H2，初值問(wèn)題（1）～（3）在H2中存在全局吸引子A＝ω（B），且A在H2的范數(shù)下吸引H2中的一切有界集.

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