基于矩陣重構(gòu)的功率倒置算法研究

任 遠(yuǎn) 劉 翔 羅丁利

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

GPS(Global Position System)是美國在1973年開始研制的衛(wèi)星導(dǎo)航與定位系統(tǒng)，具有高精度、全天候、全球覆蓋、方便靈活等特點(diǎn)。時至今日，GPS系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用在軍事、航天、航空、測繪、通訊等各個行業(yè)，為美國帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)和軍事效益，也引起了世界各國對全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)的密切關(guān)注;憧憬于非常廣闊的應(yīng)用前景和巨大的商業(yè)市場，中國、俄羅斯、歐盟、日本都在發(fā)展自己的衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)。采用碼分多址的GPS信號具有一定的抗干擾能力，但是由于 GPS衛(wèi)星距離地球表面大約20000km，加之信號發(fā)射功率低，GPS接收機(jī)天線接收到的GPS信號強(qiáng)度低于環(huán)境熱噪聲基底大約為20dB［1］。面對日益復(fù)雜的電磁環(huán)境，干擾抑制處理的重要性日趨突出。

目前研究中常見的干擾抑制技術(shù)有時域，空域和空時域三大類?；诠β实怪?Power Inversion，PI)算法的自適應(yīng)調(diào)零天線被證明是一種簡單有效的空域濾波干擾抑制技術(shù)。該算法在不要求期望信號的波達(dá)方向等先驗信息的情況下使天線陣列方向圖在干擾入射方向形成零陷，而且干擾強(qiáng)度越大，對應(yīng)零陷越深［2-3］。在不改變GPS接收機(jī)原有結(jié)構(gòu)的前提下，將接收機(jī)天線更換為PI天線陣列系統(tǒng)，顯著增強(qiáng)了接收機(jī)的抗干擾能力，易于工程實現(xiàn)。但是功率倒置算法對弱干擾進(jìn)行抑制時，天線陣列方向圖對應(yīng)零陷深度不夠，干擾抑制效果不理想。

本文以等距線陣為例，詳細(xì)闡述了PI算法的基本原理，并且通過公式推導(dǎo)揭示了PI算法的本質(zhì)，針對弱干擾抑制能力不足的缺點(diǎn)提出一種基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法。

1 PI算法［4］

PI陣列如圖1所示。N為陣列陣元數(shù)目，陣元間距d=λ/2，λ為GPS信號L1載頻所對應(yīng)的波長(0.19m)。陣列的輸入信號

陣列自適應(yīng)加權(quán)矢量

輸出信號

輸出信號功率

PI算法求得陣列權(quán)值矢量ω，使得輸出信號功率P最小，即代價函數(shù)為:

式中Rxx為輸入信號X的自相關(guān)矩陣。為了防止求得無意義解

添加一個約束條件:第一個陣元上的加權(quán)值固定為1。

由拉格朗日函數(shù)求得最佳權(quán)值矢量為:

圖1 功率倒置陣列示意圖

約束條件保證第一陣元支路輸出功率恒定，調(diào)整其他陣元加權(quán)值使得整個陣列輸出功率最小，其物理意義在于PI算法不區(qū)分期望信號和干擾信號，只保證將陣列輸出功率最小。通常干擾信號往往大大強(qiáng)于熱噪聲，而期望信號功率低于環(huán)境熱噪聲基底近20dB，所以PI算法對干擾信號的抑制要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于對期望信號的抑制。這種強(qiáng)信號大衰減，弱信號小衰減的過程提高了陣列的輸出信號干擾噪聲比，有利于后續(xù)的捕獲跟蹤和定位導(dǎo)航解算過程。

以8陣元的等距線陣為例，約定陣列法線方向為0°，順時針方向為正角度方向，逆時針方向為負(fù)角度方向。有用信號使用L1載頻的擴(kuò)頻信號，入射方向為0°;干擾信號為與GPS信號同載頻的連續(xù)波干擾，入射角度為 45°，信號干擾功率比 SIR=-50dB;仿真中引入信號噪聲功率比SNR=-20dB的高斯白噪聲，各陣元通道噪聲與干擾互不相關(guān)。仿真快拍數(shù)為2046，取1000次獨(dú)立仿真平均結(jié)果。PI算法形成的陣列方向圖如圖2所示，在45°干擾入射方向形成深度約為-80dB的零陷，對干擾有很好的抑制效果。

圖2 PI算法8元陣方向圖

圖3為PI算法形成的零陷深度隨輸入干擾噪聲功率比JNR變化曲線。由圖3可以看出干擾強(qiáng)度越強(qiáng)，零陷深度越深。另外，輸入JNR＜20dB時，PI算法陣列方向圖在干擾方向上形成的零陷深度不夠，導(dǎo)致干擾抑制效果不佳。

圖3 零陷深度隨輸入JNR變化曲線

2 基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法

2.1 算法原理

對輸入信號X的自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解

式中M為干擾信號個數(shù)，λi為Rxx的第i個特征值，qi為該特征值對應(yīng)的特征向量，σi2為噪聲功率。Rxx為N階Hermite矩陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，則有噪聲特征向量與干擾特征向量正交。對Rxx求逆得

將(9)式代入(7)式可得

由(10)式可知，PI算法最優(yōu)權(quán)值矢量為干擾特征向量和噪聲特征向量的加權(quán)和，前一項為干擾信號特征向量加權(quán)和，后一項為噪聲特征向量加權(quán)和。干擾特征向量與干擾信號導(dǎo)向矢量張成同一子空間，則干擾信號導(dǎo)向矢量為干擾信號特征向量的線性組合。強(qiáng)干擾環(huán)境下干擾特征值較大，對ωopt的影響反而小，可以認(rèn)為ωopt位于噪聲子空間，即ωopt是噪聲特征向量的線性組合，因此ωopt與干擾信號導(dǎo)向矢量正交，在干擾方向上形成較深的零陷，而弱干擾環(huán)境下干擾特征值較小，與噪聲特征值接近，對ωopt的影響反而大，因此在干擾方向上無法形成較深零陷［5］。增大弱干擾特征值可以減小ωopt中弱干擾特征向量的權(quán)重比例，從而加深在弱干擾方向上形成的零陷深度。接收信號自相關(guān)矩陣的特征值由兩部分組成:前M個特征值等于干擾功率Pi與噪聲功率σi2之和，后N-M個特征值全部等于噪聲功率［6］。當(dāng)JNR達(dá)到一定值時，干擾方向上零陷深度足夠，此時接收信號自相關(guān)矩陣Rxx的干擾特征值與噪聲特征值的比值為ρ。

基于矩陣重構(gòu)的PI算法(以下簡稱改進(jìn)算法)就是基于上述的分析，針對弱干擾源，先將接收信號自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解，保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值保持ρ，然后重新構(gòu)成新的接收信號自相關(guān)矩陣，最后根據(jù)(7)式求得陣列最優(yōu)權(quán)值矢量ωopt。

2.2 算法仿真與分析

由圖3可知，當(dāng)輸入干擾噪聲功率比JNR為20dB，零陷深度大約為-60dB，干擾抑制效果良好，陣列輸出信號干擾噪聲功率比得到改善，此時干擾特征值與噪聲特征值比值約為20dB。因此針對干擾噪聲功率比JNR＜20dB的弱干擾，改進(jìn)算法增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值為20dB。

以8陣元的等距線陣為例，分析基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法的抗干擾性能。干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號從45°入射，其余采用與上節(jié)中相同的仿真條件。

圖4 PI算法和改進(jìn)算法的方向圖

圖4分別示出JNR=0dB的干擾下PI算法和改進(jìn)算法的方向圖?？梢姡瑑煞N算法都準(zhǔn)確地在干擾方向形成零陷，改進(jìn)算法零陷深度加深約30dB，說明改進(jìn)算法較PI算法有更強(qiáng)的弱干擾抑制能力。

圖5示出兩種算法在干擾方向零陷深度隨輸入JNR的變化情況。由圖5可以看出，當(dāng)JNR＜20dB時，改進(jìn)算法零陷深度明顯深于PI算法零陷深度，且兩者零陷深度隨著干擾噪聲功率比JNR的增大而逐漸接近。

圖5 零陷深度隨輸入SIR變化情況

對于多個干擾同時存在的情況，改進(jìn)算法依然適用。先將接收信號自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解，對各干擾特征值與噪聲特征值比值進(jìn)行判斷，比值小于20dB則按照2．1節(jié)方法增大該干擾特征值，使比值增大到20dB;比值大于20dB則不做處理。此過程中保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，然后重構(gòu)Rxx，通過(7)式求解最優(yōu)權(quán)值矢量 ωopt。

假設(shè)干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號J1從45°入射，干擾噪聲功率比JNR=30dB的干擾信號J2從-45°入射，其余采用與上節(jié)中相同的仿真條件。

圖6 PI算法和改進(jìn)算法的方向圖

圖6中分別示出存在干擾信號J1和干擾信號J2情況下PI算法和改進(jìn)算法的方向圖。從圖中可見，兩種算法在干擾信號J2入射方向形成零陷基本相同，而干擾信號J1入射方向上，改進(jìn)算法零陷深度比PI算法零陷大約有30dB的改善。由此可得，改進(jìn)算法不僅適用于弱干擾存在的情況，也適用于強(qiáng)干擾和弱干擾同時存在的情況，比PI算法有更好的適應(yīng)性。

3 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了PI算法的原理和干擾抑制性能，從公式推導(dǎo)的角度揭示PI算法針對弱干擾時零陷深度較淺的原因，并在此基礎(chǔ)上并提出基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法。通過仿真實驗證明了改進(jìn)算法行之有效。本文算法不僅適用于GPS接收機(jī)，還可以應(yīng)用在“北斗”二代等全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)接收機(jī)。

［1］謝鋼.GPS原理與接收機(jī)設(shè)計［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

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［3］何永前，李建璞.GPS抗干擾接收機(jī)自適應(yīng)天線陣功率倒置算法研究［J］.艦船電子工程，2012，32(6):61-63.

［4］張文明.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)干擾抑制技術(shù)［D］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2002.

［5］王永良，丁前軍，李榮峰.自適應(yīng)陣列處理［M］。北京:清華大學(xué)出版社，2009.

［6］ 張賢達(dá).現(xiàn)代信號處理［M］.第2版.北京:清華大學(xué)出版社，2002.