借題發(fā)揮 培養(yǎng)能力

陳慧

摘要：課堂教學中所講的課本教材中的例題、習題不能簡單的懂了就翻過去，而應該吃透、舉一反三。本文談談借題發(fā)揮，培養(yǎng)學生的解題能力。

關鍵字：借題發(fā)揮；舉一反三；培養(yǎng)能力

在初中數學教學中離不開例題、習題，而課本中舉出的例題、習題都具有最典型的題目性質，所蘊含的教學內容也是非常豐富的，許多考試卷中的題目都是課本例題的演化、遷移的類型題；因此吃透課本教學中的類型題是很有必要的。

原題（蘇科版八年級上冊第38頁習題9）

如圖，點A、B在直線m的同側，點是點B'關于m的對稱點，AB'交m于點P

（1）AB'與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在m上再取一點Q，并連接AQ與QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由

根據這題我們可以得出結論：

如果兩個點在一條直線的同一側，對其中一個點做軸對稱變換，把同側點轉化為異側點，利用“兩點之間線段最短”可以在已知直線上尋找到與同側兩點距離之和最短的點。

抽出數學模型：

已知直線m和直線m同側兩點A、B，在直線m上作一點M使AM+BM最小。

一、根據結論，直接應用

例1 如圖：A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，分別向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪

設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？

分析：此題就是習題問題中的數學背景和模型，學生很容易找出M點的位置。再結合所學習的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，進一步求出總費用。

（通過對問題模型的直接練習，可以進一步加深學生對所學數學模型的理解。）

二、變換背景，靈活運用

題目的變換是多種多樣的，一個類型題目我們要快速找出問題、分析問題、解決問題。

如，例2如圖：在正方形ABCD中，AB=2，P是對角線AC上任意一點，若M是邊AB的中點，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定點，且在定直線AC的同側，P為定直線上的動點，完全符合習題中的數學模型。

由正方型的對稱性可知，作B點關于AC的對稱點必為點D，連結DM與AC的交點，就是所要找到的點P，此時PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根據勾股定理易求PM+PB=DM=

變式：（四川、達州卷）在邊長為2cm的正方形ABCD中，Q為BC邊的中點，P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為_________。

分析：B、Q在直線AC同側，動點P只能在AC上運動，△BPQ中，B、Q為定點，故BQ長不變，要使△PBQ周長最小，應使動點P到兩定點B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值為 ，則△BPQ的周長最小值為 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐標系中，有A（3，-2），B（4，2）兩點，現另取一點C（1，n），當n=____時，AC+BC的值最小。

分析：較之前面的問題，此題中“數學模型”較為隱蔽，對模型的識別主要靠問題本身。點C（1、n）是定直線l： X=1上的動點，而A，B是定點，且在定直線l的同側，作點A（3，-2）關于定直線l的對稱點A′（-1，-2），過A′B的直線y=0.8x—1.2與定直線l的交點即為所求的點，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，綜合應用

通過對一道習題的應用、變化和延伸，這對提高學生的數學素養(yǎng)，發(fā)展學生的學習能力起到事半功倍的作用，同時也培養(yǎng)了學生綜合運用知識的能力。

例4（浙江，衢州卷）如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線上y=ax2.

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.

分析：第（1）小題完全具備習題中的數學模型，學生只要求出AP與X軸的交點坐標即為點O的坐標.

第（2）小題①：設將拋物線y=/12x2向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標分別為A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-m，-8）.直線A′′B′的解析式為y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，點C應在直線A′′B′上，將點C（-2，0）代入直線A′′B′的解析式，解得m=14/5.故將拋物線y=/12x2向左平移14/5個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為y=/12（x+14/5）. ②左右平移拋物線

y=/12x2，

因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第1種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短.

第2種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因為CD=2，因此將點B'向左平移2個單位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.點A'關于x軸對稱點的坐標為A''（-4-b，-8），直線A''B''的解析式為

要使A'D+DB''最短，點D應在直線A''B''上，將點D（-4，0）代入直線A''B''的解析式，解得 .故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A'B'CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為

對于第（2）小題中的問題①學生嚴格按照習題中的數學模型來解答，思路清晰。對于第（2）小題中的問題②通過簡單的動靜轉化，巧妙地創(chuàng)造了應用習題模型的條件，通過對數學模型的深層次挖掘，學生自覺學會分析問題結構，開拓模型應用思路的意識和創(chuàng)新能力。

摘要：課堂教學中所講的課本教材中的例題、習題不能簡單的懂了就翻過去，而應該吃透、舉一反三。本文談談借題發(fā)揮，培養(yǎng)學生的解題能力。

關鍵字：借題發(fā)揮；舉一反三；培養(yǎng)能力

在初中數學教學中離不開例題、習題，而課本中舉出的例題、習題都具有最典型的題目性質，所蘊含的教學內容也是非常豐富的，許多考試卷中的題目都是課本例題的演化、遷移的類型題；因此吃透課本教學中的類型題是很有必要的。

原題（蘇科版八年級上冊第38頁習題9）

如圖，點A、B在直線m的同側，點是點B'關于m的對稱點，AB'交m于點P

（1）AB'與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在m上再取一點Q，并連接AQ與QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由

根據這題我們可以得出結論：

如果兩個點在一條直線的同一側，對其中一個點做軸對稱變換，把同側點轉化為異側點，利用“兩點之間線段最短”可以在已知直線上尋找到與同側兩點距離之和最短的點。

抽出數學模型：

已知直線m和直線m同側兩點A、B，在直線m上作一點M使AM+BM最小。

一、根據結論，直接應用

例1 如圖：A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，分別向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪

設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？

分析：此題就是習題問題中的數學背景和模型，學生很容易找出M點的位置。再結合所學習的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，進一步求出總費用。

（通過對問題模型的直接練習，可以進一步加深學生對所學數學模型的理解。）

二、變換背景，靈活運用

題目的變換是多種多樣的，一個類型題目我們要快速找出問題、分析問題、解決問題。

如，例2如圖：在正方形ABCD中，AB=2，P是對角線AC上任意一點，若M是邊AB的中點，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定點，且在定直線AC的同側，P為定直線上的動點，完全符合習題中的數學模型。

由正方型的對稱性可知，作B點關于AC的對稱點必為點D，連結DM與AC的交點，就是所要找到的點P，此時PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根據勾股定理易求PM+PB=DM=

變式：（四川、達州卷）在邊長為2cm的正方形ABCD中，Q為BC邊的中點，P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為_________。

分析：B、Q在直線AC同側，動點P只能在AC上運動，△BPQ中，B、Q為定點，故BQ長不變，要使△PBQ周長最小，應使動點P到兩定點B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值為 ，則△BPQ的周長最小值為 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐標系中，有A（3，-2），B（4，2）兩點，現另取一點C（1，n），當n=____時，AC+BC的值最小。

分析：較之前面的問題，此題中“數學模型”較為隱蔽，對模型的識別主要靠問題本身。點C（1、n）是定直線l： X=1上的動點，而A，B是定點，且在定直線l的同側，作點A（3，-2）關于定直線l的對稱點A′（-1，-2），過A′B的直線y=0.8x—1.2與定直線l的交點即為所求的點，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，綜合應用

通過對一道習題的應用、變化和延伸，這對提高學生的數學素養(yǎng)，發(fā)展學生的學習能力起到事半功倍的作用，同時也培養(yǎng)了學生綜合運用知識的能力。

例4（浙江，衢州卷）如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線上y=ax2.

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.

分析：第（1）小題完全具備習題中的數學模型，學生只要求出AP與X軸的交點坐標即為點O的坐標.

第（2）小題①：設將拋物線y=/12x2向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標分別為A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-m，-8）.直線A′′B′的解析式為y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，點C應在直線A′′B′上，將點C（-2，0）代入直線A′′B′的解析式，解得m=14/5.故將拋物線y=/12x2向左平移14/5個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為y=/12（x+14/5）. ②左右平移拋物線

y=/12x2，

因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第1種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短.

第2種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因為CD=2，因此將點B'向左平移2個單位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.點A'關于x軸對稱點的坐標為A''（-4-b，-8），直線A''B''的解析式為

要使A'D+DB''最短，點D應在直線A''B''上，將點D（-4，0）代入直線A''B''的解析式，解得 .故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A'B'CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為

對于第（2）小題中的問題①學生嚴格按照習題中的數學模型來解答，思路清晰。對于第（2）小題中的問題②通過簡單的動靜轉化，巧妙地創(chuàng)造了應用習題模型的條件，通過對數學模型的深層次挖掘，學生自覺學會分析問題結構，開拓模型應用思路的意識和創(chuàng)新能力。

摘要：課堂教學中所講的課本教材中的例題、習題不能簡單的懂了就翻過去，而應該吃透、舉一反三。本文談談借題發(fā)揮，培養(yǎng)學生的解題能力。

關鍵字：借題發(fā)揮；舉一反三；培養(yǎng)能力

在初中數學教學中離不開例題、習題，而課本中舉出的例題、習題都具有最典型的題目性質，所蘊含的教學內容也是非常豐富的，許多考試卷中的題目都是課本例題的演化、遷移的類型題；因此吃透課本教學中的類型題是很有必要的。

原題（蘇科版八年級上冊第38頁習題9）

如圖，點A、B在直線m的同側，點是點B'關于m的對稱點，AB'交m于點P

（1）AB'與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在m上再取一點Q，并連接AQ與QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由

根據這題我們可以得出結論：

如果兩個點在一條直線的同一側，對其中一個點做軸對稱變換，把同側點轉化為異側點，利用“兩點之間線段最短”可以在已知直線上尋找到與同側兩點距離之和最短的點。

抽出數學模型：

已知直線m和直線m同側兩點A、B，在直線m上作一點M使AM+BM最小。

一、根據結論，直接應用

例1 如圖：A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，分別向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪

設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？

分析：此題就是習題問題中的數學背景和模型，學生很容易找出M點的位置。再結合所學習的勾股定理很容易求出AM+BM的最小值，進一步求出總費用。

（通過對問題模型的直接練習，可以進一步加深學生對所學數學模型的理解。）

二、變換背景，靈活運用

題目的變換是多種多樣的，一個類型題目我們要快速找出問題、分析問題、解決問題。

如，例2如圖：在正方形ABCD中，AB=2，P是對角線AC上任意一點，若M是邊AB的中點，求PM+PB的最小值。

分析：B、M是定點，且在定直線AC的同側，P為定直線上的動點，完全符合習題中的數學模型。

由正方型的對稱性可知，作B點關于AC的對稱點必為點D，連結DM與AC的交點，就是所要找到的點P，此時PM+PB=PM+PD=DM，在直角△ADMZH中根據勾股定理易求PM+PB=DM=

變式：（四川、達州卷）在邊長為2cm的正方形ABCD中，Q為BC邊的中點，P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為_________。

分析：B、Q在直線AC同側，動點P只能在AC上運動，△BPQ中，B、Q為定點，故BQ長不變，要使△PBQ周長最小，應使動點P到兩定點B、Q之和PB+PQ最小，由例2可知，PB+PQ最小值為 ，則△BPQ的周長最小值為 +1.

例3（湖北、孝感卷）在平面直角坐標系中，有A（3，-2），B（4，2）兩點，現另取一點C（1，n），當n=____時，AC+BC的值最小。

分析：較之前面的問題，此題中“數學模型”較為隱蔽，對模型的識別主要靠問題本身。點C（1、n）是定直線l： X=1上的動點，而A，B是定點，且在定直線l的同側，作點A（3，-2）關于定直線l的對稱點A′（-1，-2），過A′B的直線y=0.8x—1.2與定直線l的交點即為所求的點，令x=1，可得n=-0.4.

三、拓展延伸，綜合應用

通過對一道習題的應用、變化和延伸，這對提高學生的數學素養(yǎng)，發(fā)展學生的學習能力起到事半功倍的作用，同時也培養(yǎng)了學生綜合運用知識的能力。

例4（浙江，衢州卷）如圖，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線上y=ax2.

（1）求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；

（2）平移拋物線，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.

分析：第（1）小題完全具備習題中的數學模型，學生只要求出AP與X軸的交點坐標即為點O的坐標.

第（2）小題①：設將拋物線y=/12x2向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標分別為A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（-4-m，-8）.直線A′′B′的解析式為y=/53x+/53m-/43.要使A′C+CB′最短，點C應在直線A′′B′上，將點C（-2，0）代入直線A′′B′的解析式，解得m=14/5.故將拋物線y=/12x2向左平移14/5個單位時A′C+CB′最短，此時拋物線的函數解析式為y=/12（x+14/5）. ②左右平移拋物線

y=/12x2，

因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第1種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短.

第2種情況：設拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）。因為CD=2，因此將點B'向左平移2個單位得B''（-b，2），要使A'D+CB'最短，只要使A'D+DB''最短.點A'關于x軸對稱點的坐標為A''（-4-b，-8），直線A''B''的解析式為

要使A'D+DB''最短，點D應在直線A''B''上，將點D（-4，0）代入直線A''B''的解析式，解得 .故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A'B'CD的周長最短，此時拋物線的函數解析式為

對于第（2）小題中的問題①學生嚴格按照習題中的數學模型來解答，思路清晰。對于第（2）小題中的問題②通過簡單的動靜轉化，巧妙地創(chuàng)造了應用習題模型的條件，通過對數學模型的深層次挖掘，學生自覺學會分析問題結構，開拓模型應用思路的意識和創(chuàng)新能力。