一類(lèi)分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題的解

代雨杭，胡平平，蘇新衛(wèi)

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京 100083）

1 引 言

本文研究下面問(wèn)題

近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)次微積分算子及分?jǐn)?shù)次微積分方程因其在眾多領(lǐng)域的應(yīng)用而倍受關(guān)注，發(fā)展十分迅速[1-3].國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者致力于研究分?jǐn)?shù)次微分方程的邊值問(wèn)題. 在文獻(xiàn)[4]中，作者研究了無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)次微分方程的邊值問(wèn)題，應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及對(duì)角線(xiàn)化方法，證明了其有界解的存在性.無(wú)窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)次微分方程邊值問(wèn)題無(wú)界解的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6].本文在合適的Banach空間中討論問(wèn)題（1.1）的解并允許解是無(wú)界的，基于Caputo導(dǎo)數(shù)更廣泛的應(yīng)用，不同于文獻(xiàn)[5-6]，問(wèn)題（1.1）中的導(dǎo)數(shù)是Caputo導(dǎo)數(shù)且階數(shù)是任意的.

2 有關(guān)引理

關(guān)于函數(shù)x(t)的 δ >0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)次積分和Caputo分?jǐn)?shù)次導(dǎo)數(shù)的定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

引理2.1[1]分?jǐn)?shù)次微積分算子有如下性質(zhì)，其中a>0是任意常數(shù).

（1）對(duì) f∈ L1(0, a), γ>δ>0,有和

（2）對(duì) α > 0, β > 0, f(t)∈ L1(0, a)有

引理2.2[1]當(dāng)且僅當(dāng)f(t)=b+bt+bt2+…+btn-1，其中b∈R是常數(shù)，n是大于或等于δ012n-1i的最小整數(shù).

由引理2.2可得

3 解的存在性

用C(J, R)表示定義在J上的連續(xù)函數(shù)空間. 定義空間

為證明本文的主要結(jié)果，我們需要下面的引理.

引理3.1[6]假設(shè)Y?X是有界集，若滿(mǎn)足以下條件，則Y是相對(duì)緊集.

（2）任給 ε >0，存在 T =T(ε)>0，使對(duì)任意 t1, t2≥T 及 x (t)∈Y ，有

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理3.1 設(shè) 有Lebesgue可積函數(shù) a (t), b(t)∈L1(J, R+)滿(mǎn)足 |f(t,x)|≤a(t)|x|+b(t)，而且，2M∫0∞(1+tα-1)a(t) dt<1, ∫0∞b(t) dt<∞,則問(wèn)題（1.1）至少存在一個(gè)解.

證 明首先注意到

由引理2.1，引理2.2及（2.1）式易知（1.1）等價(jià)于下面的積分方程.

定義算子T如下：

則算子T的不動(dòng)點(diǎn)即是（1.1）的解.下面驗(yàn)證T滿(mǎn)足Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的條件.

首先，T:U→U.事實(shí)上，對(duì) x(t)∈U，由條件及（3.1）（3.2）可知

所以T:U→U.

T是連續(xù)的算子.事實(shí)上，對(duì)任意的x, y∈U有由Lebesgue控制收斂定理可得T是連續(xù)算子.

下面證明對(duì)Y?X是有界集，則TY是相對(duì)緊集，即證TY滿(mǎn)足引理3.1.

首先設(shè) I?J是緊區(qū)間，t1, t2∈I, t1

另一方面，由可積函數(shù)的絕對(duì)連續(xù)性得：任意ε>0,存在L>0，使得

同時(shí)，存在T1>0,使得t1, t2≥T1時(shí)有

又存在T2>L>0,使得t1, t2≥T2， s∈[0, L]時(shí)有

令 T>max{T1, T2}，則當(dāng)t1, t2≥ T 時(shí)，由（3.3）（3.4）（3.5）可得

所以易知引理3.1的（2）滿(mǎn)足.

由上述證明可知，T滿(mǎn)足Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的條件，所以T在X中有不動(dòng)點(diǎn)，即（1.1）存在解.

[1]Kilbas A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam:Elsevier B V,2006.

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