第二型廣義曲線積分

胡美蓉，戴培良

（常熟理工學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，江蘇 常熟 215500）

縱觀中外，許多數(shù)學家、數(shù)學學者歷來都十分重視曲線積分的研究.文獻[1]著重討論了第一型曲線積分和第二型曲線積分在曲線為有限長和被積函數(shù)為有界函數(shù)這兩種情況；文獻[2]中則介紹了曲線長度計算定理及其證明.文獻[3]探究了曲線為無窮長度曲線的第二型曲線積分的定義、性質、計算方法和收斂性判別；文獻[4]則特別闡明了被積函數(shù)為無界函數(shù)的第二型廣義曲線積分的定義、計算方法及收斂性；文獻[5]著重討論了被積函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)的幾個具體例子，闡述了這時計算曲線積分的方法.這些文獻沒有將有界閉圍區(qū)域上的第二型曲線積分與被積函數(shù)為有瑕點的函數(shù)的曲線積分聯(lián)系起來討論，這為本文的研究提供了廣闊的空間.

本文將進一步研究第二型廣義曲線積分的定義、性質和計算方法，給出廣義格林公式的具體內容并做出證明.

1 無窮曲線的第二型曲線積分

計算方法：平面無窮曲線 其中 x =φ(t)，y=ψ(t)在 [ α,+∞)上具有一階連續(xù)導數(shù)，且 L 上任意兩點 A 、 B 的坐標分別為 ( φ(α),ψ(α))、(φ(β),ψ(β))，又設函數(shù) P (x,y)、Q(x,y)為 L 上的連續(xù)函數(shù)，則沿 L 從 A 到B的第二型廣義曲線積分，若

2 無界函數(shù)的第二型曲線積分

[3]中介紹了關于瑕點的定義，在此將根據(jù)瑕點所在的位置給出無界函數(shù)的第二型廣義曲線積分的相關定義.為方便敘述，將點 A 為起點、點B為終點的有向曲線L記為L(AB)，并給出與瑕點位置有關的無界函數(shù)的第二型曲線積分的相關定義.

定義2 設L(AB)為 x oy平面上的一條光滑有向曲線，C為L(AB)上的任意一點（C≠B），二元函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在弧L(AC)上有界且可積，B為其瑕點，如果存在極限，則稱此極限為無界函數(shù)P(x,y)在弧L(AB)上的關于x的第二型廣義曲線積分，同理可給出Q(x,y)在L(AB)上的關于y的第二型廣義曲線積分，并分別記為∫L(AB)P(x,y)dx=J1和∫L(AB)Q(x,y)dy=J2.我們把這個定義稱為瑕點在曲線的一個端點時的第二型廣義曲線積分.

定義3 設L(AB)為xoy平面上的一條光滑有向曲線，D為L(AB)上的一點且D點為瑕點（D≠A,B），C點為L(AD)上除端點外的任意一點，E點為L(DB)上除端點外的任意一點，若極限

存在，則定義第二型廣義曲線積分收斂，且

其中函數(shù) P(x,y)在曲線段 L(AB)除 D點外有界可積，在 D的任一鄰域內無界，但在 L(AC)?L(AD)及L(EB)?L(DB)都可積，我們把這個積分稱為瑕點在曲線上（除端點外）的第二型廣義曲線積分.

定義4 平面上有一光滑或逐段光滑的曲線L，函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)以曲線L的兩個端點為瑕點，且函數(shù)在任意曲線段L(CD)?L(AB)上可積，若極限存在，則此時第二型廣義曲線積分收斂，這時定義瑕積分

其中E為L(AB)上任意一點，我們把這個定積分稱為瑕點在曲線兩個端點時的第二型廣義曲線分.

針對上述瑕點位置的定義，具有如下性質.

性質1（線性性質）：設L(AB)為平面有向可求長度的光滑曲線段，P(x,y)為平面上的一函數(shù)且在L(AC)上有界（C≠B），其中 B為瑕點，若無界函數(shù)第二型廣義曲線積分 ∫L(AB)Pi(x,y)dx(i=1,2,3,…,n)存在，ki(i=1,2,3,…,n)為常數(shù)，則 也 存在，且有

以下兩個性質均以曲線端點為被積函數(shù)的瑕點，且所給出的無界函數(shù)的第二型曲線積分收斂.

性質2（方向性）：設L(AB)為平面xoy上的一可求長度的光滑曲線，則其上的無界函數(shù)的第二型曲線積分與曲線 L (AB)的方向有關，即：∫L(AB)P(x,y)dx=-∫L(BA)P(x,y)dx.

性質3（可加性）：若光滑可求長度的曲線 L(AB)，且 L(AB)=L(AC)+L(CB)，第二型曲線積分∫L(AC)P(x,y)dx與 無 界 函 數(shù) 第 二 型 曲 線 積 分 ∫L(CB)P(x,y)dx存 在 ，則 有 ∫L(AB)P(x,y)dx也 存 在 ，且 有∫L(AB)P(x,y)dx= ∫L(AC)P(x,y)dx+ ∫L(CB)P(x,y)dx.

針對上述瑕點所在位置而給出的廣義第二型曲線積分的定義，給出其計算方法.

計算方法：平面 x oy上有一光滑或逐段光滑的曲線L(AB)，且其中 α ≤t≤ β ，且 α 對應點 A，β對應點B，函數(shù) x=φ(t)和 y=ψ(t)在α≤t≤β上有連續(xù)的一階連續(xù)導數(shù)，P(x,y)和Q(x,y)為平面上的兩個連續(xù)函數(shù)，則

此為瑕點在曲線一端點時的第二型廣義曲線積分的計算公式.

證明當瑕點為端點B時，C為曲線上除點A、B外任意一點，因為

同理可證當瑕點為A點時的情況.

對于兩端點 A,B均為瑕點的情形，可以在曲線L(AB)上除去兩端點任取一點C，L(AB)=L(AC)+L(CB)，對L(AC)和L(CB)上的積分采用上述方法進行計算.

3 格林公式在無界函數(shù)的第二型廣義曲線積分中的探究

本段主要討論區(qū)域D的邊界曲線L上無界函數(shù)的第二型廣義曲線積分與曲線所圍成的閉圍區(qū)域D上的二重積分之間的聯(lián)系，其中L為一條或幾條光滑曲線組成，邊界的正方向為人沿著邊界行走時，區(qū)域D總在他的左邊時的方向.

定理1 平面上曲線L為光滑或按段光滑的曲線，其圍成的區(qū)域為D，平面上有兩個函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)，這兩個函數(shù)在區(qū)域D內除點M(x0,y0)外都連續(xù)，且除點M(x0,y0)外都有連續(xù)的一階偏導數(shù)，但在點M的鄰域內無界；在點M的某去心領域內有（α為小于2的正常數(shù)）；當(x,y)→(x0,y0)即 r→0時，有 rP(x,y)→0，rQ(x,y)→0；則有

這里的L為區(qū)域D的邊界曲線，并取正方向.公式（1）稱為閉圍區(qū)域上的廣義格林公式.

證明由在區(qū)域D內除點M外處處有定義且都連續(xù)，在M的附近區(qū)域有其中α為小于2的正常數(shù)，相關的定理可知收斂[1].而 ∮LPdx+Qdy顯然是收斂的.

如圖1所示，因為區(qū)域D中的點M為函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)和的瑕點，所以以點M為中心，r為半徑畫圓，圓所圍成的區(qū)域設為Δ，Δ的邊界曲線設為LΔ，在曲線上任取一點 A，LΔ上任取一點B，連接 A和B有

其中 Δ ={(x,y)*(x-x0)2+(y-y0)2≤r2}. 因 為 當( x ,y)→(x0,y0)，r→0 時 ，rP(x,y)→0，根據(jù)極限的定義有：對于任意的正數(shù) ε ，總存在相應的正數(shù) δ1，當M(x,y)∈ Uo(M0,δ1) 時，有 r P (x,y)-0<；同 理 當(x,y)→(x0,y0)，r→0時 ，rQ(x,y)→0；閉圍區(qū)域Δ={(x,y)*(x-x0)2+(y-y0)2≤r2}的邊界曲線用參數(shù)方程可表示為：

圖1 平面關系圖

取 δ=min{δ1, δ2} ，當M (x,y)∈ Uo(M0,δ)時，有

故

要求得區(qū)域D上的重積分，即使區(qū)域D上的重積分為0，也就是使區(qū)域的半徑r無限接近0，根據(jù)上述分析則有

證畢.

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下冊）[M]3版.北京：高等教育出版社，2001：197-227.

[2]Г.И.阿黑波夫，В.А.薩多夫尼奇，В.Н.丘巴里闊夫.數(shù)學分析講義[M]3版.昆揚，譯.北京：高等教育出版社，2006：202-203.

[3]黃華，周道清.第二類廣義曲線積分[J].重慶文理學院學報：自然科學版，2006，5（4）：57-59.

[4]齊春玲，任安忠.無界函數(shù)的第二類曲線積分[J].三門峽職業(yè)技術學院學報，2009，8（2）：105-107.

[5]姜洪文.對坐標的曲線積分的探討[J].電大理工，2000（2）：10-12.