Arps遞減微分方程的推導(dǎo)及應(yīng)用

陳元千，郝明強(qiáng)

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083）

1945年，Arps［1-2］通過定義損失比（Loss ratio）參數(shù)，對(duì)油井實(shí)際產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并在未經(jīng)推導(dǎo)的情況下提出了一個(gè)常微分方程。在此基礎(chǔ)上，首創(chuàng)性建立了指數(shù)、雙曲、調(diào)和3 種遞減模型，受到學(xué)界的高度重視，并被世界各石油公司和儲(chǔ)量價(jià)值評(píng)估公司廣泛應(yīng)用于產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量預(yù)測(cè)。筆者在此方面通過長期深入研究，也取得了一些成果［3-16］。本文應(yīng)用文獻(xiàn)［3］的研究成果，對(duì)Arps 微分方程進(jìn)行了理論推導(dǎo)。

1 Arps 微分方程的推導(dǎo)

Arps 遞減率為單位時(shí)間的產(chǎn)量變化率［1-2］，表示為

式中：D 為遞減率，月-1或a-1；q 為遞減階段產(chǎn)量，m3/月或104m3/a；t 為生產(chǎn)時(shí)間，月或a。

由此，Arps 初始遞減率Di可相應(yīng)表示為［2］

式中：qi為初始階段產(chǎn)量，m3/月或104m3/a。文獻(xiàn)［3］給出遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為

式中：n 為遞減指數(shù)，取值［0，1］，n=0 時(shí)產(chǎn)量為指數(shù)遞減，0

對(duì)式（3）兩邊求倒數(shù)后，得出

實(shí)際數(shù)據(jù)［1］表明D-1-t 呈直線關(guān)系（見圖1），相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.999 2，這證明了式（4）的正確性。

圖1 D-1-t 關(guān)系曲線

對(duì)式（4）兩邊關(guān)于t 進(jìn)行求導(dǎo)，得

式（5）清晰地展現(xiàn)了遞減指數(shù)n 的含義。將式（1）代入式（5），即可得出與Arps 相同的二階常微分方程：

對(duì)式（6）兩邊積分，得到Arps 一階常微分方程為

式中：c 為積分常數(shù)。

當(dāng)t=0 時(shí)，q=qi，由式（7）得

結(jié)合式（2），得

將式（9）與式（7）結(jié)合，可得

式（10）也可由式（4）結(jié)合式（1）直接得出，式（5）—式（7）的推導(dǎo)過程便于理解Arps 微分方程的由來。

2 Arps 微分方程的應(yīng)用

在Arps 微分方程基礎(chǔ)上，在［0，1］區(qū)間假定不同的n 值，由式（10）求解得出Arps 的3 種遞減模型。

2.1 指數(shù)遞減模型

當(dāng)n=0 時(shí)，可將式（10）改寫為

對(duì)式（11）求倒數(shù)，并關(guān)于q，t 分離變量積分，得到

對(duì)式（12）求積、簡化，得到Arps 指數(shù)遞減模型為

2.2 雙曲遞減模型

當(dāng)0

對(duì)式（14）求積并整理，得到Arps 雙曲遞減模型為

2.3 調(diào)和遞減模型

當(dāng)n=1 時(shí)，由式（10）可得

對(duì)式（16）進(jìn)行分離變量積分，得到

對(duì)式（17）求積并整理，得到Arps 調(diào)和遞減模型為

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