非經(jīng)典阻尼的位移輸入模型和多點(diǎn)反應(yīng)譜注記

柳國(guó)環(huán)，練繼建，趙 悅

非經(jīng)典阻尼的位移輸入模型和多點(diǎn)反應(yīng)譜注記

柳國(guó)環(huán)1，2，練繼建1，2，趙 悅1，2

（1.天津大學(xué)水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，300072天津；2.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，300072天津）

為注記和揭示底部單元為非經(jīng)典阻尼下位移輸入模型與多點(diǎn)反應(yīng)譜的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性，本文涉及理論推導(dǎo)與計(jì)算分析兩個(gè)層面.討論了在時(shí)域模型中底部單元分別為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼的區(qū)別，在時(shí)域模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)給出底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)多點(diǎn)反應(yīng)譜公式，并通過(guò)算例驗(yàn)證.分析結(jié)果表明：底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)，位移輸入模型不會(huì)出現(xiàn)底部單元?jiǎng)偠扔嘘P(guān)的阻尼項(xiàng)；理論上證明了在底部單元為非經(jīng)典阻尼下位移輸入模型和多點(diǎn)反應(yīng)譜不存在結(jié)果不收斂問(wèn)題；驗(yàn)證了底部單元為非經(jīng)典阻尼下，采用位移輸入模型計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性.

地震動(dòng)；時(shí)域模型；位移輸入模型；多點(diǎn)反應(yīng)譜；非經(jīng)典阻尼

地震反應(yīng)譜理論由于考慮了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性與地震特性之間的動(dòng)力關(guān)系，又保持了原有的靜力理論形式，因而反應(yīng)譜理論在地震工程中得到廣泛使用［1］.傳統(tǒng)的反應(yīng)譜理論為一致激勵(lì)情況下的反應(yīng)理論，它的主要優(yōu)點(diǎn)在于形式簡(jiǎn)潔、概念清晰、應(yīng)用方便，對(duì)于一般性結(jié)構(gòu)，可取得較高精度結(jié)果，已為多個(gè)國(guó)家規(guī)范所采用［2］.然而，地震地面的運(yùn)動(dòng)往往具有不均勻性，在本質(zhì)上是隨空間變化的，由于波列傳播速度的有限性和相干性的損失，以及局部場(chǎng)地地質(zhì)的不同，會(huì)導(dǎo)致各支承點(diǎn)的地震激勵(lì)出現(xiàn)顯著差異［3］.因此地震動(dòng)的多點(diǎn)輸入模型與一致輸入情形存在差別，這對(duì)于大跨結(jié)構(gòu)而言更為明顯.當(dāng)前，地震動(dòng)多點(diǎn)輸入下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析已成為抗震工程界的研究熱點(diǎn)之一.其中，根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論推導(dǎo)出的MSRS（multiple support response spectrum）理論表達(dá)式，計(jì)算快、方便使用，常用于工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中.

近年來(lái)，學(xué)者們?cè)贛SRS法方面做了許多研究.Yamamura等［4］將結(jié)構(gòu)各支承點(diǎn)根據(jù)空間分布和場(chǎng)地地質(zhì)情況分為若干組，假定每組支承點(diǎn)之間為完全相關(guān)，而組與組之間為不相關(guān)，在此基礎(chǔ)上提出了一種近似的反應(yīng)譜分析方法，該方法無(wú)法考慮行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)的影響.王君杰［5］推導(dǎo)出了一般阻尼結(jié)構(gòu)體系在多維多點(diǎn)地震動(dòng)作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的MSRS法.葉繼紅等［6］提出了基于虛擬激勵(lì)原理建立了多點(diǎn)反應(yīng)譜法，指出結(jié)構(gòu)地震動(dòng)反應(yīng)由地面各點(diǎn)輸入位移不一致引起的擬靜力響應(yīng)、地面加速度作用下引起的動(dòng)力響應(yīng)和二者之間的耦合項(xiàng)組成，具有公式形式簡(jiǎn)潔、物理意義明確、理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn).本文作者也進(jìn)行了相關(guān)研究，文獻(xiàn)［7］全面詳細(xì)地分析了位移輸入模型存在底部單元計(jì)算結(jié)果的不穩(wěn)定和不可靠，并提出了理論嚴(yán)格的附加無(wú)質(zhì)量剛性元（AMCE）實(shí)效對(duì)策.文獻(xiàn)［8］指出模型底部單元的耦合剛度其大小為底部單元?jiǎng)偠?，直接決定于物理模型所對(duì)應(yīng)的數(shù)值模型單元?jiǎng)澐?，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂.文獻(xiàn)［8-9］處理問(wèn)題方法的巧妙性在于沒(méi)有引入地面運(yùn)動(dòng)的速度項(xiàng)，仍采用位移輸入模型本身解決位移輸入模型中存在不可忽視的問(wèn)題.

本文對(duì)位移輸入模型進(jìn)行較為詳細(xì)地分析與比較，明確指出在時(shí)域模型中采用底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼的差別；進(jìn)而推導(dǎo)得出了底部單元為非經(jīng)典阻尼在時(shí)域模型中表達(dá)式與多點(diǎn)反應(yīng)譜中結(jié)構(gòu)反應(yīng)表達(dá)式，證明了底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)位移輸入模型與多點(diǎn)反應(yīng)譜不存在不收斂問(wèn)題；最后，對(duì)底部單元為非經(jīng)典阻尼的位移輸入模型，結(jié)合算例進(jìn)行了驗(yàn)證與說(shuō)明.

1 理論簡(jiǎn)要回顧

在絕對(duì)坐標(biāo)系下，一離散單元的結(jié)構(gòu)體系與地面連接，將其自由度分為兩類(lèi):n個(gè)非支座節(jié)點(diǎn)自由度與m個(gè)支座節(jié)點(diǎn)自由度．地震地面運(yùn)動(dòng)作用下，該體系的動(dòng)力平衡方程可表達(dá)為

式中:M、C和K表示質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；下標(biāo)tt、uu和tu（ut）分別表示非支座節(jié)點(diǎn)、支座節(jié)點(diǎn)自由度及兩者之間的耦合，大小分別為n×n、m× m、n×m（m×n）維；X、˙X和¨X為絕對(duì)坐標(biāo)系下非支座節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度反應(yīng)列向量；U、˙U和¨U為絕對(duì)坐標(biāo)系下支座節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度反應(yīng)列向量，即支座處地面運(yùn)動(dòng)向量；P為m維支座節(jié)點(diǎn)反力向量．

將式（1）中上式展開(kāi)并考慮集中質(zhì)量，可得到關(guān)于X、˙X和¨X的動(dòng)力平衡方程:

上式即為位移-速度輸入模型.這時(shí)，將結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)位移分為兩部分表達(dá):

考慮擬靜力位移Xs=-KttU=RU，R為影響矩陣．若將位移-速度模型式（2）中的阻尼項(xiàng)CtuU˙忽略:或

式（4）即為位移輸入模型，式（5）為位移輸入模型的等價(jià)表達(dá)式.

2 底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼模型差別的討論與注記

底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼模型對(duì)比，如圖1所示.在時(shí)域模型中，針對(duì)式（5）中的底部單元阻尼項(xiàng)，傳統(tǒng)的方法選擇采用經(jīng)典阻尼中的Rayleigh阻尼（結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線(xiàn)性組合），而本文引入的底部單元為非經(jīng)典阻尼則是由自身性質(zhì)所決定的.

圖1 經(jīng)典阻尼與非經(jīng)典阻尼對(duì)比

若考慮經(jīng)典阻尼（以Rayleigh阻尼為例），C=αM+βK．

式中:m為集中質(zhì)量，k為剛度系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，α和β分別為Rayleigh阻尼的質(zhì)量阻尼系數(shù)和剛度阻尼系數(shù).

則式（5）可改寫(xiě)為

在經(jīng)典阻尼下，基于位移輸入模型導(dǎo)出的MSRS，存在不容忽視的問(wèn)題，即底部單元內(nèi)力隨單元逐步細(xì)分出現(xiàn)不收斂不合理的現(xiàn)象，這是因?yàn)闀r(shí)域內(nèi)位移輸入模型本身右端存在βKtu˙U項(xiàng)所致．這點(diǎn)已在文獻(xiàn)［8］中被充分證實(shí)與說(shuō)明:模型底部單元的耦合剛度Ktu其大小為底部單元?jiǎng)偠龋苯記Q定于物理模型所對(duì)應(yīng)的數(shù)值模型單元?jiǎng)澐?，如隨著底部單元數(shù)值模型單元?jiǎng)澐值迷矫?，?huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂，表現(xiàn)為底部單元內(nèi)力出現(xiàn)不合理的放大，與物理實(shí)際不相符．

若考慮底部單元為非經(jīng)典阻尼，結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣C不能由質(zhì)量矩陣M與剛度矩陣K線(xiàn)性表示．

則式（5）可改寫(xiě)為

對(duì)比式（8）和（10），可發(fā)現(xiàn)由于底部單元為非經(jīng)典阻尼，式（10）等式右端不會(huì)出現(xiàn)βKtu˙U項(xiàng)，也就不存在剛度Ktu的影響，從而不會(huì)出現(xiàn)如經(jīng)典阻尼所導(dǎo)致式（8）對(duì)應(yīng)模型出現(xiàn)的上述不收斂等問(wèn)題，符合實(shí)際物理模型，并具有嚴(yán)格的理論意義．

3 底部單元為非經(jīng)典阻尼位移時(shí)域模型的結(jié)構(gòu)反應(yīng)表達(dá)式

本節(jié)基于文獻(xiàn)［10-11］的思路，從位移輸入模型推導(dǎo)底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)，結(jié)構(gòu)時(shí)域反應(yīng)計(jì)算公式.為得到多點(diǎn)反應(yīng)譜表達(dá)式，需要對(duì)式（5）振

式中:ξi和ωi分別為第i階振型的阻尼比和圓頻時(shí)的Ctt為非經(jīng)典阻尼；與之相對(duì)，若Ctt為經(jīng)典阻尼（即Rayleigh阻尼），等式右端會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)，就會(huì)出現(xiàn)2節(jié)中所討論的問(wèn)題．當(dāng)在底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)，ξi包含了兩部分:上部經(jīng)典阻尼部分的ξi1與底部單元非經(jīng)典阻尼部分的ξi2，即ξi1+ξi2．令

式中rk表示R的第k列向量．

將式（12）和（13）代入式（11）中，可得:

令

考慮阻尼比為ξi，圓頻率為ωi的單位質(zhì)量單自由度體系，分別受¨uk（t）和˙uk（t）激勵(lì)，其運(yùn)動(dòng)方程可分別表示為:

根據(jù)有限元知識(shí)，結(jié)構(gòu)反應(yīng)（例如:內(nèi)力、應(yīng)力和應(yīng)變），可表示如下:

式中系數(shù)ak、bk和ck可表示為

式中H表示反應(yīng)轉(zhuǎn)換向量，例如:剛度矩陣、應(yīng)力矩陣和應(yīng)變矩陣．為了指出系數(shù)ak、bki和cki在底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼的表達(dá)式的不同，表1給出了二者的對(duì)比．可以看出，系數(shù)ak、bki的表達(dá)式一樣，cki的表達(dá)式不同，體現(xiàn)了二者的差異．

表1 系數(shù)在底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼表達(dá)式對(duì)比

4 底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)域模型對(duì)應(yīng)的多點(diǎn)反應(yīng)譜

4.1 底部單元為非經(jīng)典阻尼位移輸入模型對(duì)應(yīng)的多點(diǎn)反應(yīng)譜的表達(dá)式

基于3節(jié)中導(dǎo)出的式（22），本節(jié)根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，有下式成立:

對(duì)式（23）兩邊在ω∈（-∞，+∞）上進(jìn)行積分，可得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)方差的表達(dá)式:

式中

式中Sukuk（ω）、S˙uk˙uk（ω）和S¨uk¨uk（ω）分別表示結(jié)構(gòu)第k個(gè)支撐位置的地面運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度功率譜密度函數(shù)．

表2 系數(shù)在底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼多點(diǎn)反應(yīng)譜表達(dá)式中的對(duì)比

4.2 底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)位移與加速度輸入多點(diǎn)反應(yīng)譜差別的討論

文獻(xiàn)［10］已詳細(xì)論述了對(duì)于經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)體系下，位移輸入模型的多點(diǎn)反應(yīng)譜（D-MSRS）與加速度輸入模型的多點(diǎn)反應(yīng)譜（A-MSRS）區(qū)別.本節(jié)將在此基礎(chǔ)上，討論二者在底部單元為非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)體系下的差別.

式（23）為底部單元為非經(jīng)典阻尼導(dǎo)出的DMSRS表達(dá)式.其與D-MSRS相比，不難發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn):（1）由于加速度輸入時(shí)域模型中，忽略等式右邊的阻尼項(xiàng)，故右端不會(huì)出現(xiàn)Ctt項(xiàng)，體現(xiàn)在AMSRS中表現(xiàn)為cki=0，其中cki的具體表達(dá)式見(jiàn)表1，即可得A-MSRS多點(diǎn)反應(yīng)譜表達(dá)式為式（24）；（2）由于加速度輸入時(shí)域模型中，右端不出現(xiàn)Ctt項(xiàng)，在底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)，底部非經(jīng)典阻尼項(xiàng)不會(huì)在該時(shí)域模型等式右端中出現(xiàn)，體現(xiàn)在A-MSRS中表現(xiàn)為僅體現(xiàn)在傳遞函數(shù)Hi．為了清晰起見(jiàn)，表3給出了二者之間的差別.后面的底部單元為非經(jīng)典阻尼的算例將進(jìn)一步說(shuō)明.

表3 兩種多點(diǎn)反應(yīng)譜表達(dá)式的對(duì)比

圖2 算例模型示意

5 算例驗(yàn)證

5.1 算例與相關(guān)參數(shù)

第3節(jié)基于位移輸入模型，推導(dǎo)給出了時(shí)域模型的表達(dá)式；第4節(jié)通過(guò)推導(dǎo)給出了底部單元為非經(jīng)典阻尼多點(diǎn)反應(yīng)譜的表達(dá)式（D-MSRS）.為驗(yàn)證時(shí)域位移輸入模型理論分析的合理性，下面給出底部單元為非經(jīng)典阻尼的算例，并與經(jīng)典阻尼進(jìn)行對(duì)比分析.

算例模型如圖2所示，其中包括底部單元為經(jīng)典阻尼模型和非經(jīng)典阻尼模型.圖2（a）為經(jīng)典阻尼模型，底部單元為經(jīng)典阻尼，采用Rayleigh阻尼；圖2（b）為非經(jīng)典阻尼模型，底部單元為非經(jīng)典阻尼，采用非經(jīng)典阻尼單元，阻尼為非經(jīng)典阻尼單元確定.各個(gè)構(gòu)件（包括單元?jiǎng)偠龋?、?jié)點(diǎn)以及相關(guān)參數(shù)表示，所有參數(shù)均在SAP2000（V15.1.1新版本）中完成輸入.方便起見(jiàn)，只考慮水平X向平動(dòng)有效自由度，結(jié)構(gòu)體系受到El Centro（1940NS）地震波的作用，地震地面加速度計(jì)錄（Δt=0.02 s）與積分得到的地面運(yùn)動(dòng)位移時(shí)程如圖3所示.

根據(jù)模型的前兩階圓頻率ω1=3.104 rad／s和ω2=23.732 rad／s，以及振型阻尼比ξ1=ξ2= 0.05，可得Rayleigh阻尼的質(zhì)量阻尼系數(shù)α= 1.745 3和剛度阻尼系數(shù)β=5.659×10-4.

圖3 El Centro地震波加速度與位移時(shí)程曲線(xiàn)

5.2 底部單元為經(jīng)典與非經(jīng)典阻尼的時(shí)域位移輸入模型驗(yàn)證與對(duì)比

本節(jié)目的主要有二:（1）通過(guò)算例進(jìn)一步驗(yàn)證底部單元為非經(jīng)典阻尼時(shí)，時(shí)域位移輸入模型的合理性與穩(wěn)定性；（2）通過(guò)對(duì)比底部單元為經(jīng)典阻尼與非經(jīng)典阻尼的時(shí)域位移輸入模型，證明上述理論推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性.研究主要分3種底部單元長(zhǎng)度（d=0.3，d=0.03，d=0.003，單位:m）情形，考察支座底部單元的剪力時(shí)程和標(biāo)準(zhǔn)差.

圖4給出了在經(jīng)典阻尼與底部單元為非經(jīng)典阻尼情況下，采用位移輸入模型對(duì)文中算例進(jìn)行時(shí)程計(jì)算的結(jié)果.由圖4（a）可以看出:隨著底部單元的長(zhǎng)度d越來(lái)越小，經(jīng)典阻尼計(jì)算結(jié)果不同且差異較大，底部單元剪力出現(xiàn)不穩(wěn)定不收斂，定性地證明本文2節(jié)所指出的問(wèn)題.與之相比，圖4（b）說(shuō)明了底部單元為非經(jīng)典阻尼計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，底部單元剪力并未出現(xiàn)不收斂，計(jì)算結(jié)果與理論推導(dǎo)很好吻合.圖5給出了在經(jīng)典阻尼與底部單元為非經(jīng)典阻尼情況下，采用一致加速度輸入模型與位移輸入模型對(duì)文中算例進(jìn)行計(jì)算結(jié)果比較.由圖5（a）可以看出:經(jīng)典阻尼情況，以一致加速度輸入模型為標(biāo)準(zhǔn)，位移輸入模型與之相差很大，說(shuō)明其計(jì)算結(jié)果具有不合理不穩(wěn)定性.與之相比，圖5（b）說(shuō)明了底部單元為非經(jīng)典阻尼計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，一致加速度輸入與位移輸入的結(jié)果吻合得很好，進(jìn)一步證明了其理論的合理性.

圖4 不同底部單元長(zhǎng)度的底部單元剪力時(shí)程

圖5 兩種阻尼類(lèi)型加速度與位移模型的底部剪力時(shí)程對(duì)比

表4給出了兩種阻尼的支座剪力的標(biāo)準(zhǔn)差與誤差分析（以一致加速度為標(biāo)準(zhǔn)）.底部單元為經(jīng)典阻尼的計(jì)算結(jié)果的誤差分別為125%（d= 0.3），294%（d=0.03）和1 572%（d=0.003），定量地說(shuō)明了其不可靠性與不穩(wěn)定性，更進(jìn)一步證明本文2節(jié)所指出的問(wèn)題．與之相比，底部單元為非經(jīng)典阻尼的計(jì)算結(jié)果的誤差分別為0.362%（d=0.3），0.012%（d=0.03）和0.013%（d= 0.003）．這不僅說(shuō)明本文討論模型的有效性與準(zhǔn)確性，也說(shuō)明了其計(jì)算結(jié)果的合理性與穩(wěn)定性，具有一定的工程借鑒意義．應(yīng)該說(shuō)明，本文之所以引用文獻(xiàn)［7-8］所討論的底部單元阻尼類(lèi)型為經(jīng)典阻尼時(shí)不可靠結(jié)果，目的是對(duì)比說(shuō)明非經(jīng)典阻尼時(shí)不存在相應(yīng)現(xiàn)象．

此處，底部單元為非經(jīng)典阻尼位移輸入的時(shí)域模型理論分析與數(shù)值算例已經(jīng)清晰且有力地說(shuō)明了本文所指出的問(wèn)題.同時(shí)，基于位移輸入模型的多點(diǎn)反應(yīng)譜理論公式已給出并證明，相關(guān)算例結(jié)果與時(shí)域模型類(lèi)似，由于篇幅有限，不再繁冗陳述.

表4 采用兩種阻尼類(lèi)型的底部單元剪力的標(biāo)準(zhǔn)差與誤差分析

6 結(jié) 論

1）針對(duì)底部單元為經(jīng)典阻尼與非經(jīng)典阻尼的位移輸入模型區(qū)別進(jìn)行了分析討論，指出底部單元為非典阻尼時(shí)，位移輸入模型不出現(xiàn)底部單元?jiǎng)偠认嚓P(guān)的阻尼項(xiàng)，故底部單元剪力不存在不收斂問(wèn)題，并證明了其理論上的合理性.

2）在時(shí)域模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)給出了底部單元為非經(jīng)典阻尼的多點(diǎn)反應(yīng)譜位移輸入模型的表達(dá)式（D-MSRS），同時(shí)指出底部單元為非經(jīng)典阻尼的D-MSRS與A-MSRS的異同.

3）最后，通過(guò)算例驗(yàn)證了底部單元為非經(jīng)典阻尼下采用位移輸入模型計(jì)算結(jié)果的有效性和穩(wěn)定性，這一點(diǎn)不同于底部單元為經(jīng)典阻尼的位移輸入模型，具有工程借鑒意義.

［1］胡聿賢.地震工程學(xué)［M］.北京:地震出版社，2006.

［2］白鳳龍，李宏男，王國(guó)新.多點(diǎn)輸入下大跨結(jié)構(gòu)反應(yīng)譜分析方法研究進(jìn)展［J］.地震工程與工程振動(dòng)，2008，28（4）:35-42.

［3］CHOPRA A K.Dynamics of structures:theory and applications to earthquake engineering［M］.New York:Prentice Hall，2001.

［4］YAMAMURA N，TANAKA H.Response analysis of flexible MDF systems for multiple-support seismicexcitations［J］. Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，1990，19:345-357.

［5］王君杰.多點(diǎn)多維地震動(dòng)隨機(jī)模型及結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜分析［D］.哈爾濱:國(guó)家地震局工程力學(xué)研究所，1992.

［6］葉繼紅，孫建梅.多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法的理論研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（1）:47-53.

［7］柳國(guó)環(huán)，李宏男，國(guó)巍.求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)位移輸入模型存在的問(wèn)題及其AMCE實(shí)效對(duì)策［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2009（006）:862-869.

［8］柳國(guó)環(huán)，李宏男，國(guó)巍，等.求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)位移輸入模型中存在問(wèn)題的一種新解決方法［J］.工程力學(xué)，2010（9）:55-62.

［9］柳國(guó)環(huán)，李宏男，田利.九江長(zhǎng)江大橋在多點(diǎn)多維地震激勵(lì)下的反應(yīng)分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（9）: 204-209.

［10］KIUREGHIAN A D，NEUENHOFER A.Response spectrum method for multi-support seismic excitations［J］.Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，1992，21（8）:713-740.

［11］柳國(guó)環(huán)，李宏男，林海.結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計(jì)算模型的比較與分析［J］.工程力學(xué)，2009（2）:10-15.

［12］BERRAH M，KAUSEL E.Response spectrum analysis of structures subjected to spatially varying motions［J］. Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，1992，21（6）:461-470.

［13］LIUGuohuan，GUO Wei，LI Hongnan.An effective and practical method for solving an unnegligible problem inherent in the current calculation model for multisupport seismic analysis of structures［J］.Science China（Technological Sciences），2010，53（7）:1774-1784.

［14］HAO Hong，OLIVEIRA C S，PENZIEN J.Multiplestation ground motion processing and simulation based on smart-1 arraydata［J］.Nuclear Engineering and Design，1989，111（3）:293-310.

［15］WILSON E L.Three-dimensional static and dynamic analysisofstructures:aphysicalapproachwith emphasis onearthquake engineering［M］.California: Computers and Structures，Inc.1998.

（編輯 趙麗瑩）

Notes on displacement input model and multi-supported response spectrum of non-classical damping

LIU Guohuan1，2，LIAN Jijian1，2，ZHAO Yue1，2
（1.State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，300072 Tianjin，China；2.School of Civil Engineering，Tianjin University，300072 Tianjin，China）

To note and proclaim the accuracy and stability of displacement input model and multiple support response spectrum（MSRS）when non-classical damping in bottom element is adopted，this paper involves in two aspects-theoretical derivation and calculation analysis.The difference of time-domain model between classical and non-classical damping in bottom element is discussed.On the basis of time-domain model，the formula of MSRS is given and deduced，and it is verified by a numerical example.The derivation and analysis show that the stiffness-related damping term in bottom element does not appear in the displacement input model，the displacement input model and MSRS do not have problems of non-convergence，and the accuracy and stability of the displacement input mode is verified.

seismic ground motion；time-domain model；displacement input model；multiple support response spectrum（MSRS）；non-classical damping

P315.9

A

0367-6234（2014）06-0079-07

2014-01-13.

國(guó)家創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51021004）；國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金（51108466）；中國(guó)博士后科學(xué)基金（2011M500332）.

柳國(guó)環(huán)（1980—），男，博士，副教授；

練繼建（1965—），男，博士生導(dǎo)師，長(zhǎng)江學(xué)者特聘教授.

柳國(guó)環(huán)，liu-guohuan＠sina.com.