馬爾科夫?qū)ΨQ離散信道級(jí)聯(lián)信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周東青

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038）

馬爾科夫?qū)ΨQ離散信道級(jí)聯(lián)信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周東青

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038）

基于有限維的級(jí)聯(lián)馬爾科夫?qū)ΨQ信道矩陣，其轉(zhuǎn)移概率的極限一定存在，推導(dǎo)出當(dāng)n足夠大時(shí)，輸出符號(hào)的概率分布不依賴于輸入的概率分布，使得信道容量為零，信道阻塞。n為信道級(jí)聯(lián)的上限。針對(duì)主對(duì)角元素概率值不同將信道矩陣劃分為惰性信道和靈敏信道，并通過仿真分析得出信道的級(jí)聯(lián)上限n與矩陣維數(shù)無關(guān)，與信道矩陣主對(duì)角元素呈正相關(guān)。

馬爾科夫鏈，對(duì)稱離散信道，信道容量，級(jí)聯(lián)上限

引言

馬爾科夫鏈［1］是通信系統(tǒng)中常見的一類離散信道模型，對(duì)于馬爾科夫鏈的信道轉(zhuǎn)移矩陣（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣），文獻(xiàn)［1］中只討論了一步轉(zhuǎn)移的信道容量問題，對(duì)于二元對(duì)稱信道，文中指出了其信道容量為零的問題。實(shí)際應(yīng)用中，信道通常是級(jí)聯(lián)的。對(duì)于有限維的實(shí)對(duì)稱信道級(jí)聯(lián)后由于極限分布的存在，使得輸出符號(hào)熵H（Y）和噪聲熵H（Y|X）相等，使得信道容量C=0［2］。

本文通過分析對(duì)稱轉(zhuǎn)移矩陣的極限分布，推出n步轉(zhuǎn)移后的對(duì)稱信道的極限分布為均勻分布且信道矩陣收斂到一常數(shù)，從而使得級(jí)聯(lián)后的信道容量為零，即信道阻塞。所以，有限維實(shí)對(duì)稱信道級(jí)聯(lián)一定會(huì)導(dǎo)致信道容量的下降，那么有必要研究實(shí)對(duì)稱信道理想條件下的級(jí)聯(lián)上限。

1 對(duì)稱離散信道模型

文獻(xiàn)［1］中采用的離散信道數(shù)學(xué)模型，如下頁圖1所示。圖中輸入和輸出信號(hào)都采用矢量表示。輸入信號(hào)X=（X1X2… Xi… XN），輸出信號(hào)Y=（Y1Y2… Yi… YN）其中i=1，2，…，N表示時(shí)間或空間的離散值，條件概率P（y|x）描述了輸入和輸出之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。概率空間［X P（y|x） Y］描述了信道的統(tǒng)計(jì)特性。

傳遞概率可用矩陣形式表示：

圖1 離散信道數(shù)學(xué)模型

稱為信道的傳遞矩陣又稱為信道矩陣，式（2）表示該矩陣行和為1。本文研究的信道矩陣為實(shí)對(duì)稱信道矩陣如下所示：

根據(jù)信道矩陣的特點(diǎn)有：

2 對(duì)稱離散信道阻塞分析

對(duì)于對(duì)稱信道矩陣P，可以計(jì)算r（P）=N，即P是滿秩矩陣，特征值為：

由于P滿足式（2），且有一特征值為1，則λ1對(duì)應(yīng)的特征向量為：

即下式成立：

文獻(xiàn)［2］中討論了馬爾科夫鏈當(dāng)n→∞時(shí)轉(zhuǎn)移概率pij（n）的極限問題，即信道矩陣級(jí)聯(lián)的極限問題，給出了遍歷馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率的極限滿足：

pj稱為轉(zhuǎn)移概率的極限分布。文獻(xiàn)［2］中給出了有限維遍歷平穩(wěn)馬爾科夫鏈極限分布的求法［3］，極限分布pj滿足：

式中P為實(shí)對(duì)稱信道矩陣［4］，PT=P推出：

根據(jù)式（7），可以得出：

信道級(jí)聯(lián)模型如圖2所示。

圖2 信道級(jí)聯(lián)圖

文獻(xiàn)［1］中給出的對(duì)稱信道，信道容量計(jì)算公式為：

因此，信道容量［5-6］為：

由于級(jí)聯(lián)后的信道P（Y）=PJ，輸出符號(hào)一定是等概分布的，所以推出：

不難發(fā)現(xiàn)級(jí)聯(lián)后H（Y）=H（Y|X）符號(hào)熵等于噪聲熵，此時(shí)的信道容量［7］：

文獻(xiàn)［1］中指出了二元強(qiáng)對(duì)稱信道，信道容量為零，說明這種信道存在信道阻塞的問題，經(jīng)過以上的推導(dǎo)，不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于一般的實(shí)對(duì)稱信道，當(dāng)信道級(jí)聯(lián)［8］時(shí)，會(huì)存在信道矩陣收斂到常數(shù)問題，從而使得信道容量為零，發(fā)生信道阻塞問題。因此，對(duì)于實(shí)對(duì)稱信道矩陣而言可得出：實(shí)對(duì)稱信道矩陣n步轉(zhuǎn)移收斂后的信道容量為零。

該結(jié)論說明，對(duì)于一般的實(shí)對(duì)稱信道在理想的條件下，信道的級(jí)聯(lián)一定是存在一個(gè)上限的。

3 仿真與分析

通過分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱信道存在級(jí)聯(lián)的上限，對(duì)于不同的主對(duì)角概率的對(duì)稱信道而言，其級(jí)聯(lián)上限有什么區(qū)別，呈現(xiàn)何種規(guī)律是我們所關(guān)心的。

仿真假設(shè)信道模型是實(shí)對(duì)稱的轉(zhuǎn)移矩陣，主對(duì)角概率a∈［0.1，0.9］，以步長0.2連續(xù)取值，矩陣維數(shù)從2維到100維，考察矩陣維數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)移矩陣級(jí)聯(lián)上限是否存在影響，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 矩陣維數(shù)影響圖

從圖中看出，隨著矩陣維數(shù)的增加，級(jí)聯(lián)上限趨于穩(wěn)定，即轉(zhuǎn)移矩陣級(jí)聯(lián)上限與矩陣維數(shù)無關(guān)。隨著轉(zhuǎn)移矩陣P中主對(duì)角元a的增加，信道級(jí)聯(lián)的上限增大，對(duì)于a值較大的惰性信道（a=0.9），級(jí)聯(lián)上限相比a值較小的靈敏信道有明顯的增加。

4 結(jié) 論

實(shí)對(duì)稱信道矩陣的極限分布一定存在且為均勻分布，實(shí)對(duì)稱轉(zhuǎn)移矩陣級(jí)聯(lián)后的信道容量為零，即存在級(jí)聯(lián)上限。

通過仿真發(fā)現(xiàn)級(jí)聯(lián)上限與信道矩陣維數(shù)無關(guān)，依賴于信道主對(duì)角元素的大小，主對(duì)角元素越大，級(jí)聯(lián)上限值越大。

［1］傅祖蕓.信息論基礎(chǔ)理論與應(yīng)用［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2007：77-134.

［2］汪榮鑫.隨機(jī)過程.［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，2006：178-211.

［3］汪榮鑫.數(shù)理統(tǒng)計(jì).［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，1986：56-57.

［4］漢明R W著，朱雪龍譯.編碼和信息理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1984：25-29.

［5］王新梅，肖國鎮(zhèn).糾錯(cuò)碼——原理與方法［M］.北京：人民郵電出版社，2011.

［6］ Xie L L，Kumar P R.A Network Information Theory for Wireless Conmunication:Scaling Laws and Optimal Operation［J］.IEEE Trans Inform Theroy，2004，50（5）：748-767.

［7］周炯槃，丁曉明.信源編碼原理［M］.北京：人民郵電出版社，1996.

［8］雅閣龍A M.平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)導(dǎo)論［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1956，2（1）：18-25

Analysis on Channel Obstruct of Markov Syemmetry Disperse Channel Capacity

WANG Rui-jia，WANG Xing，CHENG Si-yi，ZHOU Dong-qing
（School of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China）

Based on markov syemmetry disperse channel in series，the limit probability exists.When being infinite，output probability is independ of the input probability making the Channel Capacity be zero and channel obstruct.n is the upper limit of the cascade channel.The channel is classified as two types by the value of main diagonal，one is inertia channel，the other is delicacy channel.The simulated analysis shows that the upper limit of the cascade channel isn't related to the dimension of matrix but related to the the value of main diagonal.

markov chain，syemmetry disperse channel，channel capacity，upper limit

TN97

A

1002-0640（2014）11-0040-03

2013-08-20

2013-11-17

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2012JQ8019）

王睿甲（1990- ）男，陜西咸陽人，碩士研究生。研究方向：信息與信號(hào)處理。