一類具有功能反應(yīng)的非線性捕食系統(tǒng)的定性分析①

李曉艷， 霍錦霞， 李曼生， 田麗娜

(蘭州城市學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

0 引言

捕食與被捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的一個(gè)非常重要的課題，特別是關(guān)于極限環(huán)的存在性問題，在這方面已有許多研究成果.本文研究如下既具有功能反應(yīng)又具有密度制約的非線性種群系統(tǒng):

考慮到系統(tǒng)的實(shí)際意義，僅在集合R+中研究A≥1的情形，作變換，則模型(1)可化為

1 平衡點(diǎn)及其性態(tài)分析

下面判定奇點(diǎn)的性態(tài)，易得到:O(0，0)為系統(tǒng)(3)的鞍點(diǎn);R1(1，0)為系統(tǒng)(3)的鞍點(diǎn);

令p=0可解得:

則A＞M時(shí)p(x0，y0)＜0;A＜M時(shí)p(x0，y0)＞0;A=M 時(shí)，p(x0，y0)=0.

綜上所述，可得如下定理:

定理1 當(dāng)A＞M時(shí)，R2(x0，y0)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn);當(dāng)A＜M時(shí)，R2(x0，y0)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn);當(dāng)A=M時(shí)，R2(x0，y0)為中心點(diǎn).

定理2 系統(tǒng)(3)由P(xp，yp)出發(fā)的解是有界的，其中(xp，yp)∈ R2，xp≥0，yp≥ 0.

證明: 設(shè)系統(tǒng)(3)由P(xp，yp)出發(fā)的解為x=x(t)，y=y(t)，作直線 x=r，r≥ max{xp，1}，則當(dāng)y＞0時(shí)=r(1－r)－yn≤－yn＜0可知系統(tǒng)(3)的軌線經(jīng)過直線x=r時(shí)，總是從右向左的;

定理3 當(dāng)1＜A≤2時(shí)，系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)R2(x0，y0)在R+內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明: 當(dāng)1＜A≤2時(shí)，系統(tǒng)(3)存在唯一的正平衡點(diǎn)R2(x0，y0)且為穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn).下面只需證明，當(dāng)1＜A≤2時(shí)，系統(tǒng)(3)在R+內(nèi)不存在極限環(huán).利用 Dulac函數(shù)法，取 B=xαyβ，其中 α

因?yàn)? ＜ A≤2，則α≥0，β ＞ 0，C=－ αx－1yn－d1h(1+в+n)yn≤0，由Dulac函數(shù)法可得當(dāng)1＜A≤2時(shí)，系統(tǒng)(3)在R+內(nèi)不存在極限環(huán)，再根據(jù)定理3可知系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)R2(x0，y0)在內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

2 極限環(huán)的存在唯一性

定理4 A＞M當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(3)至少存在一個(gè)包含R2點(diǎn)的極限環(huán).

證明: 當(dāng)A＞M時(shí)，第一象限內(nèi)的正平衡點(diǎn)R2(x0，y0)存在且為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn)，在R2點(diǎn)的足夠小鄰域內(nèi)做包含R2的閉曲線C，凡與C相遇的軌線均穿向C的外部，所以C可作為環(huán)域G的內(nèi)境界線.下面構(gòu)造環(huán)域G的外境界線:當(dāng)y＞0時(shí)，，所以系統(tǒng)(3)的軌線與x=1相遇時(shí)，均從該直線的右方穿入左方.

故軌線與直線y=s相遇時(shí)均從其右上方穿入左下方.

這樣由直線 x=0，y=0，x=1，y=s，圍成了G的外境界線，G內(nèi)部無奇點(diǎn)，O(0，0)和R1(1，0)均為鞍點(diǎn)，G內(nèi)的軌線正向不能進(jìn)入，由Bendixson環(huán)域定理可知G內(nèi)至少存在一個(gè)包含R2點(diǎn)的極限環(huán).

從生態(tài)學(xué)的角度來看，極限環(huán)的存在性意味著捕食和被捕食兩種群將長(zhǎng)期共存，而且兩種群的密度大小最終趨于某一有規(guī)則的周期性振蕩，兩者密度同時(shí)上升(下降)，或者交替上升(下降)，周而復(fù)始，從而使兩物種協(xié)同進(jìn)化.

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