考慮磁路飽和效應(yīng)的無刷直流電機電感參數(shù)研究①

鐘繼隆， 周 蘇，2， 王明強

(1.同濟大學(xué)汽車學(xué)院，上海201804;2.同濟大學(xué)中德學(xué)院，上海 200092)

0 引言

電感是對電機性能有重大影響的參數(shù)，它不僅直接影響電機的穩(wěn)態(tài)性能，還與電機的換相及轉(zhuǎn)矩脈動等動態(tài)性能密切相關(guān)[1].由于飽和效應(yīng)的影響，電感在電機運行過程中也體現(xiàn)出動態(tài)特性.而在以往的永磁無刷直流電機模型中，相繞組電感都視為常值，因而忽略了電感參數(shù)的飽和效應(yīng)，這就勢必導(dǎo)致性能計算值與實際情況出現(xiàn)偏差.在無刷直流電機的控制方面，目前已有研究利用電感的飽和效應(yīng)進行無位置傳感器電機的啟動控制及轉(zhuǎn)子位置估計[2～3]，但并未對電感的變化規(guī)律作系統(tǒng)的研究和闡述.

因此，對電機電感參數(shù)的準確描述無論對電機本體本身的設(shè)計還是對電機的控制都有重要意義.本文將從電感飽和效應(yīng)的基本原理出發(fā)，系統(tǒng)分析影響電感變化的因素及其規(guī)律性，并給出無刷直流電機各相繞組自感和互感的計算方法.

1 電感飽和性質(zhì)

1.1 基本性質(zhì)

電感是電路元件的一種集總性質(zhì)，表征了元件儲存磁能的能力.對于一個通電電流為，電感為L的N匝線圈，其反電動勢

可見電感又是關(guān)聯(lián)磁場與電場的物理量.電磁理論研究表明，繞組磁鏈Ψ與通入其中的電流有如圖1所示的關(guān)系.結(jié)合式，從中可以看到電感具有以下性質(zhì):

(1)始終為正，這也可以從磁能表達式得出;

(2)通電電流為0或磁場最弱時，電感最大;

(3)隨著磁場增強，電感逐漸減小;

圖1 線圈電感隨磁鏈的變化圖

此即電感的飽和特性.磁路分析法表明，繞組電感

其中N為繞組元件匝數(shù)，Λ為磁導(dǎo)，Rm為磁阻.

因此，當(dāng)繞組確定時，匝數(shù)確定，電感僅由磁導(dǎo)或磁阻決定，而由于磁路具有飽和性質(zhì)，磁阻在接近飽和狀態(tài)時，將急劇增大，電感趨于0.因此，電感的飽和性質(zhì)其實是磁路飽和效應(yīng)的一種體現(xiàn).

1.2 無刷直流電機電感的影響因素分析

文獻[4]指出，對于通電線圈，其磁鏈

則電感

其中L0為電流為0時電感，也即最大電感.可見，式與圖1描述的電感飽和規(guī)律相互驗證.對無刷直流電機的某相繞組而言，其磁鏈不僅包括該繞組電流產(chǎn)生的自磁鏈，還包括外部磁場通量交鏈:其他繞組電流對其產(chǎn)生的磁通交鏈及作為勵磁元件的永磁體產(chǎn)生的磁通交鏈.因此，式(3)應(yīng)修正為

對于p相繞組，其磁鏈0

φmp為永磁體在相繞組內(nèi)的磁通，則p相繞組自感

由于各相永磁磁通跟轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，因此可以定性地認為，某一特定無刷直流電機的各相電感隨三相電流及轉(zhuǎn)子位置θ變化而變化.

2 無刷直流電機磁路分析和電感計算

無刷直流電機三相繞組磁路及對應(yīng)坐標系如圖2所示，其中永磁鐵轉(zhuǎn)子位置θ以轉(zhuǎn)子D軸來表征.

圖2 無刷直流電機各相繞組磁路示意圖

2.1 磁鏈的計算

此時無刷直流電機各相磁鏈為:

此即磁鏈方程.忽略永磁體退磁效應(yīng)，永磁磁通交鏈Ψma，Ψmb，Ψmc僅取決于轉(zhuǎn)子位置.其變化產(chǎn)生了梯形反電動勢，即:

顯然，Ψma(0)是永磁體通過A相繞組的最大磁鏈，Ψma(0)=Nφm(φm為極面氣隙磁通).根據(jù)三相反電動勢因數(shù)Kea，Keb，Kec與轉(zhuǎn)子位置的梯形函數(shù)關(guān)系解式(5)中的方程得A相永磁磁通交鏈

由Ψma(π)=－Ψma(0)=－Nφm得

利用Ψma(θ)，Ψmb(θ)，Ψmc(θ)之間的120°電角度關(guān)系，得

2.2 互感的計算

由電磁學(xué)相關(guān)理論知，相繞組間互感有如下關(guān)系:Lab=Lba，Lac=Lca及Lbc=Lcb，且相繞組間互感具有與自感機理相同的飽和效應(yīng).那么，對于互感飽和效應(yīng)，需要考慮兩相繞組互磁路飽和情況，例如計算AB兩相繞組互感時應(yīng)考慮AB互磁路即以Lab或Lba為磁路軸線的虛擬繞組磁路飽和效應(yīng)，如圖2所示.

以Lab，Lba磁路為軸線的互磁路磁鏈分別為Ψab(θ)=Lbbibcos150°+Laaiacos30°+ Ψma(θ+30°)Ψab(θ)=Lbbibcos30°+Laaiacos150°+ Ψma(θ－150°)

上文已述，電感L=L0－b0|Ψ|.由于互磁路與自感磁路路徑不同，因而L0與b0參數(shù)值不同，分別另記為M0與c0，注意到繞組方向，互感為負，得:

同理可得BC和AC相互感公式，整理得互感方程

流電機的電感方程:

取六個符號變量S1～S6∈{1，－1}，作用于方程組(10)中，得

整理成矩陣形式得:

2.3 無刷直流電機電感方程

綜上對三相繞組自感及互感的論述，得無刷直

2.4 電感方程的求解

對于電機的某一具體運行狀態(tài)，電感方程中S1～S6的取值是確定的.其求解方法可歸納如下:

1)代入S1～S6某個組合，求解方程;

2)驗證是否滿足方程組(10)中的去絕對值符號;

3)若滿足，方程得解;若不滿足，代入下一個組合，重復(fù)1)～3).

因此，最多26=64次計算，即可求得三相繞組自感及互感.

實際上，為減少方程求解時間，可預(yù)先判定方程組(10)中的去絕對值符號，方法見表1.運用這種預(yù) 判方法，可以有效地減少求解電感方程的計算量.

表1 符號變量S1～S6的確定方法

3 電感仿真及變化規(guī)律驗證與分析

3.1 Matlab/Simulink 和 Ansoft Maxwell建模

根據(jù)電感方程，在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建無刷直流電機電感計算仿真模型.模型輸入為ia，ib，ic三相相電流及電機轉(zhuǎn)子位置θ，輸出為電機各相自感及互感.模型相關(guān)參數(shù):極面氣隙磁通φm=0.098Wb、最大自感 L0=0.036H、參數(shù) b0=0.0002A－1、最大互感 M0=0.0014H、參數(shù) c0=0.0002A－1、相繞組匝數(shù) N=12.

由于本文提出的電感方程基于磁路計算法，其采用解析的方法對復(fù)雜的電機磁場進行計算，難以全面考慮電機磁場的細節(jié)，因而可能導(dǎo)致計算準確度較低.因此，在磁路計算完成后，需對電機進行電磁場數(shù)值計算和分析，校核磁路計算的準確性和有效性.在所有電磁場數(shù)值計算方法中，有限元法是應(yīng)用最廣泛、最有效的一種方法[5].

有限元法將無刷直流電機空間劃分為微小的網(wǎng)格空間，設(shè)置邊界條件和激勵后，通過仿真環(huán)境如Ansys、Ansoft Maxwell等對微小網(wǎng)格空間的電磁特性求解，得到整個無刷直流電機電磁場分布繼而得到轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等動力性能.有限元方法能完整而精確地呈現(xiàn)無刷直流電機瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性.

Ansoft Maxwell是一款高性能的電磁場設(shè)計和有限元仿真分析軟件.它包括電場、靜磁場、渦流場、瞬態(tài)場和溫度場分析模塊，可用于分析電磁裝置的靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)、正常工況和故障工況特性，具有強大的計算分析能力和良好的易用性.本文將采用Ansoft Maxwell軟件提供的瞬態(tài)場(Transient Field)求解器對如圖3所示的內(nèi)轉(zhuǎn)子式永磁無刷直流電機模型進行計算求解，其基本參數(shù)見表2.

圖3 Maxwell中的無刷直流電機2D Transient模型

表2 Maxwell 2D無刷直流電機模型參數(shù)

以上基于Ansoft Maxwell的模型完整而充分地考慮了無刷直流電機的具體結(jié)構(gòu)，結(jié)合基于有限元法的瞬態(tài)求解器高計算精度，得到的結(jié)果精確可信.

基于兩個軟件的計算方法之間互無關(guān)聯(lián)，其模型用到的參數(shù)也互不相同，且難以做到相互對應(yīng).同時由于本文的目的在于探討無刷直流電機電感的變化規(guī)律，故本文將借助有限元法重點對提出的電感方程所映射的電感變化規(guī)律進行驗證，而非著眼于仿真結(jié)果的電感數(shù)值上.

3.2 仿真結(jié)果及電感變化規(guī)律分析

在實際的電感測量中，由于一般無刷直流電機無中性點，儀器設(shè)備只能對各導(dǎo)通相的耦合電感(而非單相電感)進行直接測量，且耦合電感的變化會直接反映在電機瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能上.依此，本文將對導(dǎo)通相的耦合電感進行著重分析.

(1)兩相運行時耦合電感變化規(guī)律及分析

以導(dǎo)通AB兩相為例，即ia=－ib，此時電機的耦合電感為Lt=Laa+Lbb－2Lab.分別在Matlab/Simulink和Maxwell軟件下對電機空載、ia=20A、ia=50A三種工況進行仿真，得到耦合電感與轉(zhuǎn)子位置的關(guān)系如圖4中a)和b)(由于Maxwell模型中的電機極對數(shù)為2，圖中b)的橫軸實為電角度，其值為轉(zhuǎn)子位置的2倍.為便于比較說明，統(tǒng)稱為轉(zhuǎn)子位置，下同).

圖4 導(dǎo)通兩相時耦合電感隨電角度變化的仿真波形

仿真結(jié)果顯示，無論空載還是負載，耦合電感波形有兩個波谷，且出現(xiàn)的對應(yīng)轉(zhuǎn)子位置不隨電流變化，都在150°和330°處;空載時的兩個波谷值相等，而一定負載時，150°處的波谷值隨電流增大，330°處的波谷值隨電流增大而減小，為最小值.無論空載還是負載，波形有兩個峰值，且兩者相等，同為最大值;空載時最大值出現(xiàn)在60°及240°，而一定負載時，最大值出現(xiàn)位置隨負載增大逐漸偏離了空載時的60°和240°，例如圖 4中 a)顯示 ia=20A，時的最大值分別出現(xiàn)在68.3°及 231.7°，而 ia=50A 時則分別出現(xiàn)在 82.4°及 217.6°.整個波形關(guān)于波谷位置軸對稱，空載波形近似于正弦波形.這些特性在兩個軟件的仿真結(jié)果中表現(xiàn)完全一致，很好地驗證了本文提出的電感計算方程.

圖5 電流磁通與永磁磁通的矢量合成

圖6 導(dǎo)通三相時耦合電感隨電角度變化的仿真波形

以上結(jié)果可以用矢量理論來解釋.如圖5所示，磁通或磁鏈既有大小又有方向，視為矢量，AB相電流產(chǎn)生的磁場在繞組中的磁通在330°方向，與永磁磁通共同組成繞組合成磁通，且永磁磁通幅值大于繞組電流磁通.合成磁通在AB磁路軸線上的分量幅值決定了耦合電感的飽和情況，也即決定了其變化情況.空載時，繞組電流磁通可視為0，耦合電感的飽和情況僅取決于永磁磁通在AB繞組軸線的分量;顯然永磁體位置330°和150°時該分量幅值最大，都等于永磁磁通幅值，電感最小;而θ1=60°及 θ2=240°兩個位置，該分量幅值為 0，電感最大.隨著負載的增大，繞組電流磁通也增大，合成磁通分量幅值在330°和150°時分別為兩個磁通分量的和與差，對應(yīng)形成耦合電感的最小值和一個局部最小值，且兩者之間的差值也隨負載增大而增大;而對應(yīng)最大耦合電感的合成磁通分量幅值為0的位置 θ1，θ2則逐漸偏離空載時的60°和240°.

因此，耦合電感局部最小值發(fā)生位置不隨負載變化，而最大值發(fā)生位置隨導(dǎo)通電流大小而變化.

(2)三相運行時耦合電感變化規(guī)律及分析

以導(dǎo)通順序A－BC為例，一般BC相電流相差不大，可以認為ia=－2ib=－2ic.此時電機的耦合電抗為

而耦合電感是其虛部.令

則耦合電感

仿真工況同樣設(shè)為電機空載、ia=20A和ia=50A三種，兩種方法仿真得耦合電感波形分別如圖6中a)和b)所示，兩者的規(guī)律性同樣十分吻合.耦合電感的兩個波谷值分別出現(xiàn)在0°及180°，最大值對應(yīng)轉(zhuǎn)子位置則隨電流影響分別出現(xiàn)在90°及270°附近，這樣的結(jié)果表明A－BC導(dǎo)通電流產(chǎn)生的磁通在0°方向.其他變化規(guī)律與兩相運行時類似，并且同樣可以用矢量理論進行解釋，這里不再贅述.

綜合以上仿真計算結(jié)果和分析，總結(jié)出無刷直流電機電感的以下幾條變化規(guī)律:

(1)無刷直流電機導(dǎo)通相的耦合電感隨轉(zhuǎn)子位置變化的規(guī)律可從磁通矢量的角度予以解釋，且變化情況取決于合成磁通在導(dǎo)通相磁路軸線的分量幅值;

(2)無論電機是兩相導(dǎo)通還是三相導(dǎo)通，空載還是負載，其耦合電感一個電周期內(nèi)有兩個局部最小值，且其對應(yīng)的電機轉(zhuǎn)子位置不隨負載變化而變化;空載時，兩個局部最小值相等;隨著負載增大，兩個局部最小值分別增大和減小;

(3)無論電機是兩相導(dǎo)通還是三相導(dǎo)通，其耦合電感一個電周期內(nèi)有兩個局部最大值，且兩者相等;一定負載時，最大值對應(yīng)的轉(zhuǎn)子位置相對于空載時發(fā)生偏移，且負載越大(電流越大)，偏移量越大;

4 結(jié)論

本文從理論的角度對無刷直流電機的磁路機理和電感飽和效應(yīng)進行了基礎(chǔ)的分析探討，并推導(dǎo)出了基于磁路法的電感計算方程.基于該電感方程的模型在Matlab/Simulink環(huán)境下的仿真結(jié)果與基于有限元方法在Ansoft Maxwell軟件下的仿真計算結(jié)果在規(guī)律性上表現(xiàn)一致，這很好地驗證了該計算方法的正確性.同時文章結(jié)合矢量理論，對無刷直流電機不同運行工況下的電感參數(shù)變化規(guī)律進行了系統(tǒng)的分析，得出了對其電感飽和效應(yīng)明確的規(guī)律性認識.這對深化無刷直流電機的理論，建立精確的分析模型和正確的參數(shù)測試方法等，都有重要的意義.

[1]茆美琴，張邵波.永磁無刷直流電機電感分析及優(yōu)化設(shè)計[J].電氣傳動，2013，43(2):19－21.

[2]Mei Ying，Pan Zaiping.A Novel Starting Method of Sensorless BLDC Motors for Electric Vehicles.2010 International Conference on Electrical and Control Engineering[C].784:3212－3215.

[3]王華斌.基于間接電感法的永磁無刷直流電機無位置傳感器控制[D].重慶:重慶大學(xué)，2009.

[4]Fatihcan M.Atay.Magnetic Saturation and Steady－State Analysis of Electrical Motors.Applied Mathematical Modelling[C].2000(24):827－842.

[5]Aydin M，Surong Huang，Lipo T.A.Design and 3D Electromagnetic Field Analysis of Non－slotted and Slotted TORUS Type Axial Flux Surface Mounted Permanent Magnet Disc Machines[C].Electric Machines and Drives Conference IEEE International.Cambridge，Massachusetts，IEMDC，2001:645－651.