移動(dòng)載荷下橋梁速度響應(yīng)小波分析多裂紋識(shí)別

耿 佳，張偉偉，趙子龍，耿佳楊

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

土木結(jié)構(gòu)坍塌事故會(huì)給人類的生命及財(cái)產(chǎn)帶來巨大的損失[1]。橋梁作為交通工具的重要組成部分，一旦發(fā)生坍塌事故會(huì)造成無法挽回的生命財(cái)產(chǎn)損失[2]，所以對(duì)橋梁進(jìn)行監(jiān)測(cè)，在結(jié)構(gòu)發(fā)生早期損傷時(shí)及時(shí)發(fā)現(xiàn)并采取相應(yīng)的加固措施成為橋梁管理的重要組成部分。

在橋梁工程中，移動(dòng)載荷是“車輛-橋梁”系統(tǒng)中對(duì)車輛載荷和重物載荷的簡(jiǎn)化模型。自2000年以來，如何利用橋梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別受到了越來越多的研究人員的關(guān)注。王步宇，俞亞南[3]研究了利用移動(dòng)載荷作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)幅值和非線性特征的變化來提取有關(guān)結(jié)構(gòu)的損傷信息；徐偉華，呂忠榮等[4]人研究了基于多跨連續(xù)橋梁的某一橋梁物理參數(shù)在移動(dòng)在移動(dòng)載荷作用下的響應(yīng)靈敏度的有限元模型修正法來識(shí)別結(jié)構(gòu)局部損傷；杜永峰，劉云帥等[5]研究了移動(dòng)載荷作用下簡(jiǎn)支梁某一點(diǎn)撓度解析解，在理論上證明了撓度差值影響線對(duì)損傷的識(shí)別。Li和Law[6]利用數(shù)學(xué)方法模擬了移動(dòng)載荷和具有損傷的橋梁結(jié)構(gòu)的特性，在此基礎(chǔ)上研究了基于橋梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)載荷作用下的響應(yīng)敏感性作為損傷指標(biāo)的損傷識(shí)別方法，并討論了在不完備測(cè)量條件下該方法的識(shí)別精度。

小波理論作為非穩(wěn)態(tài)信號(hào)處理的先進(jìn)方法，在結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)中具有廣泛的應(yīng)用。其理論基礎(chǔ)為結(jié)構(gòu)中的損傷必然會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的奇異點(diǎn)，小波分析適合于檢測(cè)信號(hào)中的奇異點(diǎn)，該方法只需要測(cè)量橋梁少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)，利用小波分析實(shí)現(xiàn)損傷定位和評(píng)估，具有理論明確，操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。2006年，Zhu和Law[7]利用移動(dòng)載荷作用下橋梁中點(diǎn)位置的撓度響應(yīng)信號(hào)作為損傷識(shí)別依據(jù)，并利用如圖1(a)所示的Mexican hat 小波對(duì)該響應(yīng)進(jìn)行損傷識(shí)別分析，從而獲得結(jié)構(gòu)局部損傷的損傷參數(shù)，結(jié)果表明該方法不僅可以識(shí)別出裂紋的位置而且還可以指示裂紋的深度；Khorram A[8]提取了移動(dòng)載荷作用時(shí)梁中點(diǎn)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，利用Gaussian-4小波進(jìn)行損傷識(shí)別。為了量化損傷程度，作者依據(jù)小波變換局部極值定義了損傷指標(biāo)，并利用因子設(shè)計(jì)給出了梁長(zhǎng)高比、損傷位置以及損傷深度與損傷指標(biāo)之間的顯示表達(dá)。Nguyen K等[9]應(yīng)用多自由度的機(jī)車在梁式結(jié)構(gòu)上移動(dòng)的模型，將位移傳感器布置在車輛模型上來并提取隨時(shí)間變化的位移響應(yīng)信號(hào)作為小波分析的輸入信號(hào)，分析了位置為L(zhǎng)/3和2L/3處深度相同的損傷，而并未對(duì)裂紋個(gè)數(shù)變化以及裂紋深度隨裂紋位置不同時(shí)的識(shí)別進(jìn)行研究，而且測(cè)量結(jié)果很容易受到干擾； Khorram A[10]提取移動(dòng)載荷作用下中點(diǎn)位置的撓度響應(yīng)信號(hào)作為如圖1(b)所示Gaussian-4小波分析的輸入信號(hào)，進(jìn)行多處損傷定位分析，并利用小波系數(shù)局部極大值建立了損傷指標(biāo)DI，從而指示裂紋的大小。

圖1 Mexican Hat、Gaussian-4和Gaussian-5小波Fig.1 The wavelet of Mexican Hat，Gaussian-4 and Gaussian-5

在移動(dòng)載荷下，橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)包括位移、速度和加速度，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要討論了位移和加速度在損傷識(shí)別中的應(yīng)用。已知速度和加速度可以由位移求導(dǎo)獲得，因此，和位移相比，速度和加速度有望獲得更高的靈敏度。同時(shí)，加速度對(duì)信號(hào)的局部特征更為敏感，易受噪聲影響?；诖?，將檢驗(yàn)速度響應(yīng)作為結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)基礎(chǔ)信號(hào)的有效性，考慮到實(shí)際工程中多處裂紋同時(shí)發(fā)生，將對(duì)利用速度響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)多位置裂紋損傷將重點(diǎn)描述，并對(duì)噪聲以及載荷速度對(duì)識(shí)別效果的影響進(jìn)行深入討論。

1 梁的運(yùn)動(dòng)方程

1.1 無裂紋梁運(yùn)動(dòng)方程

在移動(dòng)載荷作用下無裂紋梁的力學(xué)模型如圖2所示。該梁承受移動(dòng)載荷P(t)，其運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

圖2 無裂紋梁的力學(xué)模型Fig.2 The model of intact beam

邊界條件為：

(2)

初始條件為：

(3)

方程(1)的解為：

(4)

(5)

對(duì)式(5)求導(dǎo)可得到梁中點(diǎn)的速度為:

(6)

1.2 裂紋梁運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)梁中存在裂紋時(shí)，可將其簡(jiǎn)化為由扭轉(zhuǎn)彈簧連接的多個(gè)Euler-Bernoulli子梁[6]，如圖3所示。其中扭轉(zhuǎn)彈簧在裂紋處。圖3所示含有離散裂紋的梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)載荷作用下第i部分的歐拉伯努利特征函數(shù)ri為：

ri(xi)=Aisinβxi+Bicosβxi+Cisinhβxi+Dicosβxi,
(i=1,2,…,N+1)

(8)

圖3 裂紋梁的力學(xué)模型Fig.3 The model of crack beam

β是該梁的特征值。

邊界條件為：

r1(xi)x1=rN+1(xN+1)|xN+1=lN+1=0

(9)

(10)

ri(xi)|xi=li=ri+1(xi+1)|xi+1=0

(11)

(12)

(13)

(14)

由此可得該裂紋梁的模態(tài)函數(shù)為:

φ(x)=r1(x)[1-H(x-l1)]+

(15)

其中H(x)是單位長(zhǎng)度階梯函數(shù)。

則裂紋梁中點(diǎn)的撓度響應(yīng)為：

(16)

求導(dǎo)可得該裂紋梁中點(diǎn)的速度響應(yīng)為：

(17)

2 利用連續(xù)小波變換識(shí)別裂紋

在式(16)所示的含有結(jié)構(gòu)模態(tài)振型函數(shù)的響應(yīng)中由于在裂紋處不連續(xù)而存在突變點(diǎn)，這些突變點(diǎn)會(huì)在結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)曲線中成為奇異點(diǎn)，這些奇異點(diǎn)是無法直接觀察出來的。連續(xù)小波變換作為信號(hào)處理工具的出現(xiàn)使得識(shí)別信號(hào)中所包含的奇異點(diǎn)(損傷)成為可能，并且可以識(shí)別出損傷參數(shù)[11]。小波變換的一般表達(dá)式為：

(18)

其中ψ(t)為母小波，ψ(t)經(jīng)過平移和伸縮之后就成為一個(gè)小波序列即ψa,b(t).從橋梁損傷識(shí)別的工程角度來看，奇異點(diǎn)就是信號(hào)中的突變點(diǎn)即損傷點(diǎn)，而奇異性則是關(guān)于奇異點(diǎn)突變程度的定性描述。小波變換對(duì)于奇異點(diǎn)的識(shí)別一般采用如下表達(dá)式：

(19)

(20)

當(dāng)s→0時(shí)，小波反應(yīng)了x點(diǎn)的局部形態(tài)，式(20)就是可以用來觀察信號(hào)中存在的微小變化[12]。因此小波變換可以用來判斷函數(shù)(信號(hào))的局部性態(tài)，亦即局部正則型，由Lip指數(shù)的概念知函數(shù)(信號(hào))的正則型就反映了函數(shù)(信號(hào))的奇異性。

小波變換對(duì)奇異點(diǎn)的指示包括小波系數(shù)曲線過零點(diǎn)和極值點(diǎn)兩種方式，也就是說突變點(diǎn)的位置有時(shí)是由小波系數(shù)曲線的過零點(diǎn)表示的，有時(shí)是由極值點(diǎn)表示的。一般說來過零點(diǎn)檢測(cè)奇異點(diǎn)效果較差，因?yàn)檫^零點(diǎn)易受噪聲的干擾，而且有時(shí)反映的不是信號(hào)的突變點(diǎn)而是信號(hào)在慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。而不同對(duì)稱性質(zhì)的小波基對(duì)于階躍信號(hào)和突變信號(hào)的奇異性的指示方式是不同的，對(duì)稱小波基以極值點(diǎn)表示突變信號(hào)的奇異點(diǎn)，而反對(duì)稱小波基以極值點(diǎn)表示階躍信號(hào)的奇異點(diǎn)。由文獻(xiàn)[13]中知，移動(dòng)載荷作用下梁中點(diǎn)的速度響應(yīng)信號(hào)是階躍的而位移響應(yīng)是突變的。所以為了獲取較好的識(shí)別效果，本文選取圖1(c)所示具有反對(duì)稱性質(zhì)的Gaussian-5小波基來分析速度響應(yīng)信號(hào)。

3 數(shù)值研究

為了驗(yàn)證上述方法的可行性，文獻(xiàn)[7]中的簡(jiǎn)支梁模型將被應(yīng)用于本文的損傷識(shí)別研究中。幾何參數(shù)和材料屬性如表1所示。

表1 模型幾何物理參數(shù)Tab.1 Parameters of the beam

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，取材料阻尼比為0.02.移動(dòng)載荷下橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)將利用Ansys瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析模塊求解，采用shell63單元，由于數(shù)值分析結(jié)果顯示裂紋識(shí)別結(jié)果與裂紋寬度無關(guān)，故單元大小設(shè)定為0.1 m×0.1 m.裂紋參數(shù)xc(xc=裂紋位置距離左邊界的距離/梁長(zhǎng)渡)和a(a=裂紋深度/梁高度)分別表示裂紋相對(duì)于左邊界的位置和裂紋大小。本文利用刪除單元的方法在有限元計(jì)算中模擬梁結(jié)構(gòu)的裂紋。圖4和圖5所示為無阻尼簡(jiǎn)支梁在速度為5 m/s和15 m/s移動(dòng)載荷作用下中點(diǎn)位置的撓度和速度響應(yīng)的模擬和解析結(jié)果。從中可以看出，Ansys結(jié)果具有良好的求解精度。

圖4 梁中點(diǎn)撓度響應(yīng)Fig.4 The deflection response at mid-span

為了比較該方法識(shí)別損傷的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)同一損傷分別利用速度響應(yīng)Gaussian-5小波和位移響應(yīng)的Gaussian-4、Mexican hat小波來分析，結(jié)果如圖6所示。從圖6中可以看出中點(diǎn)速度結(jié)果的Gaussian-5小波分析對(duì)損傷的識(shí)別結(jié)果比撓度Gaussian-4更加靈敏同時(shí)也比撓度Mexican hat小波的識(shí)別結(jié)果更容易觀察出裂紋的位置，指示也更精確。所以本文將選取Gaussian-5小波和中點(diǎn)速度結(jié)果進(jìn)行多裂紋損傷識(shí)別研究。

圖5 梁中點(diǎn)速度響應(yīng)Fig.5 The velocity response at mid-span

圖6 損傷的識(shí)別方法比較Fig.6 The comparison of damage detection methods

3.1 多位置損傷識(shí)別

為了進(jìn)一步說明本文所提的方法，對(duì)表2所列算例將利用上述方法進(jìn)行識(shí)別。

表2 損傷識(shí)別算例Tab.2 Parameters of different cases

圖7 算例1到6損傷識(shí)別結(jié)果與未損傷時(shí)的對(duì)比Fig.7 Wavelet transform of velocity responses for both intact and damaged beam

為對(duì)比計(jì)算結(jié)果，令載荷移動(dòng)速度為2 m/s，裂紋深度a為0.2.圖7顯示了給出了各算例經(jīng)過連續(xù)小波變換以后的損傷識(shí)別結(jié)果。可以看出，無論是單一位置損傷還是多處位置損傷，該方法均可以準(zhǔn)確指示出來裂紋位置。為了可以直觀對(duì)比識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性，將該方法的識(shí)別結(jié)果的小波系數(shù)極值點(diǎn)數(shù)據(jù)和裂紋位置進(jìn)行對(duì)從而得到如表3所示的損傷識(shí)別算例及識(shí)別結(jié)果?？梢钥闯?，利用該方法識(shí)別裂紋位置的最大誤差為0.6%，可滿足工程需要，并且裂紋位置的識(shí)別結(jié)果不受其他裂紋的影響，具有非常好的獨(dú)立性。

表3 算例識(shí)別結(jié)果Tab.3 Results of different cases

3.2 裂紋深度識(shí)別

為了進(jìn)一步研究裂紋深度隨小波系數(shù)局部極大值變化的關(guān)系，對(duì)表4中所列同一位置，不同裂紋深度的算例也進(jìn)行小波分析。

表4 不同裂紋深度參數(shù)Tab.3 Parameters of different crack depths

圖8和圖9給出了裂紋位置分別為0.25L和0.5L時(shí)不同裂紋深度下的小波變換系數(shù)。

并將圖10和圖11中隨著裂紋深度不斷變化的小波系數(shù)(為了能夠清楚表達(dá)變換關(guān)系，圖中裂紋深度a為0.1、0.2和0.4)局部極大值分別為橫縱坐標(biāo)建立深度與局部極大值之間的變化關(guān)系，從圖中可見，當(dāng)裂紋深度逐漸增加時(shí)，小波系數(shù)局部極大值也隨之增加，這一規(guī)律可用來識(shí)別裂紋深度。為此，定義小波系數(shù)局部極大值為損傷指標(biāo)DI為:

DI=max|WF|

(18)

分別由圖7和圖8中不同裂紋位置的深度和小波系數(shù)局部極大值之間的變化關(guān)系建立裂紋深度與損傷指標(biāo)DI之間的變化關(guān)系，從而得到如圖9所示小波系數(shù)局部極大值與裂紋深度的關(guān)系曲線。從圖中可以看出不同位置的小波系數(shù)局部極大值隨著裂紋深度的增加也在不斷上升，所以以該方法建立的以小波系數(shù)局部極大值DI為損傷指標(biāo)可以用來指示損傷的大小。

圖8 小波系數(shù)局部極值變化規(guī)律(裂紋位置為0.25L)Fig.8 The identification results for differentcrack depths at 0.25L

圖8 小波系數(shù)局部極值變化規(guī)律(裂紋位置為0.5L)Fig.8 The identification results for differentcrack depths at 0.5L

圖9 裂紋深度與損傷指標(biāo)DI間的關(guān)系曲線Fig.9 The curve of relation between crack depth and DI

圖10 不同噪聲水平對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響Fig.10 The identification results for different noise levels

圖11 裂紋識(shí)別結(jié)果隨移動(dòng)載荷速度大小的變化規(guī)律Fig.11 The identification results for different velocitiesof moving loads

3.3 參數(shù)對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響

由于實(shí)際測(cè)量環(huán)境中難以避免噪聲影響，同時(shí)載荷速度也是影響損傷檢測(cè)的重要指標(biāo)，本節(jié)將對(duì)噪聲影響和載荷速度進(jìn)行深入討論。以上的裂紋識(shí)別研究結(jié)果都是基于沒有環(huán)境噪聲、移動(dòng)載荷速度固定為v=2 m/s.為了進(jìn)一步說明該方法對(duì)于多處裂紋識(shí)別，研究不同的噪聲水平和載荷速度對(duì)于識(shí)別結(jié)果的影響。將噪聲水平分別為3%、 5%和7%加到中點(diǎn)速度響應(yīng)結(jié)果中，對(duì)含有噪聲的信號(hào)進(jìn)行小波變換的損傷識(shí)別分析，得到如圖10所示識(shí)別結(jié)果，此時(shí)載荷移動(dòng)速度仍取為2 m/s.從圖中可以看出，在噪聲水平逐漸增大時(shí)，出現(xiàn)干擾越來越嚴(yán)重從而不利于識(shí)別損傷，不過在噪聲水平為7%時(shí)，仍可以較好的識(shí)別出兩處損傷。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)噪聲水平大于10%時(shí)無法觀測(cè)出裂紋所在位置。

對(duì)于速度影響，本文考慮裂紋位置xc分別為L(zhǎng)/4和L/2，損傷程度a都為0.4的損傷梁模型，載荷移動(dòng)速度v分別為1 m/s、1.5 m/s、2 m/s和2.5 m/s時(shí)中點(diǎn)位置的速度響應(yīng)進(jìn)行損傷識(shí)別 (分析尺度scale為24)，得到如圖11所示的損傷識(shí)別結(jié)果，可以看出隨著載荷速度的增加損傷識(shí)別結(jié)果的小波系數(shù)曲線會(huì)出現(xiàn)一些波動(dòng)。在速度較小時(shí)，識(shí)別效果較好，但是當(dāng)速度較大時(shí)(如2.5 m/s)，產(chǎn)生的波動(dòng)已經(jīng)很明顯而且已經(jīng)很難從小波系數(shù)曲線中觀察出裂紋的位置。綜上所述，使用該方法來識(shí)別損傷時(shí)需要選取合適的移動(dòng)載荷速度。

4 結(jié)論

討論了利用簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)速度響應(yīng)連續(xù)小波變換的結(jié)構(gòu)多損傷識(shí)別方法。研究結(jié)果表明，利用梁中點(diǎn)速度響應(yīng)的Gaussian5小波分析識(shí)別損傷的方法不僅可以定位出不同裂紋所處的位置，同時(shí)小波系數(shù)局部最大值會(huì)隨損傷程度增加而增加，由此將小波系數(shù)局部極大值(DI)作為損傷指標(biāo)，討論了損傷指標(biāo)隨損傷程度的變化規(guī)律。此外，對(duì)噪聲和載荷速度對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響進(jìn)行了比較研究，數(shù)值算例表明，即便噪聲為10%，該方法仍可以有效的識(shí)別損傷位置；在速度較小時(shí)，識(shí)別效果較好，因此，在利用本文方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別時(shí)，載荷速度不宜過大。

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