單級(jí)倒立擺的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

李明杰，趙志誠(chéng)，桑 海

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、非線性、多變量、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，也是驗(yàn)證各種先進(jìn)控制策略的典型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。目前針對(duì)倒立擺系統(tǒng)控制的方法主要包括 PID 控制[1]、狀態(tài)反饋控制[2]、模糊控制[3]、擬人智能控制[4]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[5]，以及這些控制算法相互結(jié)合與集成，而且由倒立擺系統(tǒng)研究產(chǎn)生的控制方法和技術(shù)在機(jī)器人控制、人工智能、軍事領(lǐng)域和一般工業(yè)應(yīng)用等方面都具有廣泛的應(yīng)用開(kāi)發(fā)前景，所以對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)這樣的一個(gè)典型被控對(duì)象進(jìn)行研究，無(wú)論在理論上和實(shí)踐中都具有重要的意義。

分?jǐn)?shù)階微積分理論的建立至今已有三百多年的歷史，分?jǐn)?shù)階微積分就是指微分和積分的階次可以是任何數(shù)或者說(shuō)可以是分?jǐn)?shù)，常用的整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階的一種特殊形式，但早期主要側(cè)重于理論研究，近年來(lái)將分?jǐn)?shù)階控制理論與PID控制器參數(shù)整定理論相結(jié)合，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制已引起眾多研究者的關(guān)注[6-12]。常規(guī)的整數(shù)階PID控制器由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于操作、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，在工業(yè)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Podlubny教授提出的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器具有優(yōu)于整數(shù)階 PID控制器的性能[13]。兩者相比，整數(shù)階PID控制器只是分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的特例，分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制將傳統(tǒng)的PID控制推廣到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，比傳統(tǒng)的PID控制多了2個(gè)可調(diào)參數(shù)λ和μ，即積分項(xiàng)和微分項(xiàng)的階次，因此它具有更大的可調(diào)范圍和更好的控制品質(zhì)[14]，為控制系統(tǒng)獲得更優(yōu)性能提供了可能。

1 系統(tǒng)建模及化簡(jiǎn)

1.1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將單級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)模型Fig.1 Single inverted-pendulum system model

假定系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如下:小車質(zhì)量M=1.096 kg，擺桿質(zhì)量 m=0.109 kg，小車摩擦系數(shù) b=0.1 N/m/s，擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度l=0.25 m，擺桿慣量 I=0.0034 kg·m2，重力加速度 g=9.8 m/s2，u為作用在小車上的力(N)，θ是擺桿與垂線向上方向的夾角(rad)，x是小車運(yùn)動(dòng)的水平位移(m).

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)是通過(guò)實(shí)時(shí)給定的控制量u來(lái)控制小車的位移x和擺桿的角度θ，使之能夠快速的回到倒立的平衡位置。運(yùn)用牛頓力學(xué)定律以及剛體沿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)，采用分離法分別對(duì)小車和擺桿進(jìn)行受力分析，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:

1.2 模型簡(jiǎn)化處理

系統(tǒng)在平衡位置附近時(shí)擺角θ變化很小(θ?1 rad)，在此為了把系統(tǒng)的精確模型簡(jiǎn)化處理，假設(shè)擺角θ只在平衡點(diǎn)附近發(fā)生細(xì)微變化，則可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行近似處理，此時(shí)有dθ/dr≈0、cosθ≈1、sinθ≈θ，將其代入式(1)可得到下面方程組:

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

對(duì)式(2)進(jìn)行整理后得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程:

將系統(tǒng)的參數(shù)代入空間狀態(tài)方程可得:

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器

將傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器的微分項(xiàng)和積分項(xiàng)的階次推廣到分?jǐn)?shù)域，可得到分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器如下式:

式中，λ和μ分別為分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的積分和微分階次，且均為大于0的任意實(shí)數(shù)，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分增益。由式(6)可以看出當(dāng)λ=μ=1時(shí)，C(s)為PID控制器;當(dāng)λ =1，μ=0時(shí)，C(s)為PI控制器;當(dāng) λ =0，μ =1時(shí)，C(s)為PD控制器，由此可見(jiàn)整數(shù)階PID控制器為分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的特例。

由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)微積分的階次不是整數(shù)，只能用微分方程的有限項(xiàng)近似逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)。在采用連續(xù)濾波器的多種實(shí)現(xiàn)算法中，最常用的當(dāng)屬Oustaloup算法[15]，該方法首先選定擬合頻率段 (ω1，ω2)，ω1和ω2分別為擬合頻率的下限和上限，則構(gòu)造的連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)模型為:

圖2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Fractional-order PIλDμ controller

3 分?jǐn)?shù)階PDμ控制器設(shè)計(jì)

由數(shù)學(xué)模型可知，單級(jí)倒立擺是一個(gè)單輸入(小車受到外力F)雙輸出(擺桿角度θ和小車運(yùn)動(dòng)的水平位移x)的被控對(duì)象，為此本文提出雙回路分?jǐn)?shù)階PDμ控制方案，其原理如圖3所示，這樣可對(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)被控變量同時(shí)進(jìn)行閉環(huán)調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定控制。

圖3 雙回路控制原理圖Fig.3 The scheme of double-loop control system

由圖3所示控制系統(tǒng)總的控制律u是兩個(gè)單回路控制律之和，即u(s)=u1(s)+u2(s).對(duì)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析可知，由控制系統(tǒng)的輸出變量來(lái)構(gòu)成閉環(huán)反饋控制，得輸出反饋控制系統(tǒng)如圖4所示，其中，H為輸出反饋控制器矩陣。

圖4 輸出反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of output feedback system

針對(duì)此系統(tǒng)的設(shè)計(jì)合適的輸出反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)使兩個(gè)回路都有良好的動(dòng)態(tài)特性。由圖4可知輸出反饋控制可以視為當(dāng)K=HC時(shí)的狀態(tài)反饋控制。

考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和各種性能指標(biāo)很大程度上與閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布有關(guān)，因此，在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在期望的位置。這樣通過(guò)輸出反饋控制器來(lái)改變控制系統(tǒng)的極點(diǎn)位置可使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的動(dòng)態(tài)特性，使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，滿足設(shè)計(jì)要求。

由圖4可知，若兩個(gè)回路的控制器為分?jǐn)?shù)階PDμ控制器的傳遞函數(shù)分別C1(s)=kp1+kd1sα和C2(s)=kp2+kd2sβ，輸出反饋控制器矩陣 H= [kp1+kd1sα，kp2+kd2sβ]，其中0 ＜ α、β ＜ 2.可得系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為:

式中，a*=-a，b*=ekp1+fkp2-d，c*=(ceaf)kp2+(ad-cb)，d*=ekd1，e*=(fb-ed)kd1，f*=fkd2，g*=(ce-af)kd2，h*=(fb-ed)kp1;a=-0.0883167，b=0.629317，c=-0.235655，d=27.8285，e=0.883167，f=2.35655.

本文的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)輸出反饋控制器，能使系統(tǒng)特征多項(xiàng)式所指定的極點(diǎn)都在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，使系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定，所指定的極點(diǎn)不僅要改善系統(tǒng)的性能品質(zhì)而且同時(shí)要使整個(gè)系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。

對(duì)于在復(fù)平面s上的一點(diǎn)s=σ+jω的分?jǐn)?shù)階γ次方有:

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)期望的最大超調(diào)量Mp=10%和上升時(shí)間 t=0.5 s，得 ζ=0.65，ω0=2.15，這樣得到閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為 s1，2=-1.432 ± j1.671，將s1=-1.432+j1.671代入式(8)所示的特征多項(xiàng)式得:

式中，R(kp1，kd1，kp2，kd2，α，β)和 I(kp1，kd1，kp2，kd2，α，β)分別表示主導(dǎo)極點(diǎn) s1=-1.432+j1.671處f(s)的實(shí)部和虛部。

利用微粒群優(yōu)化算法(PSO)對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，選擇優(yōu)化性能指標(biāo)為:

式中，P=tan-1(I/R)，其參數(shù)取值 -200≤kp1，kd1≤0;1 ≤kp2，kd2≤500;0 ≤ α，β ≤2;種群數(shù)K=30，學(xué)習(xí)因子 C1=C2=1.5，慣性權(quán)值 ω =0.8.

4 仿真研究

設(shè)小車位移x的初始值為0.1 m，擺桿角度θ的初始值為0.05 rad，仿真時(shí)間為10 s，仿真步長(zhǎng)為5 ms，采用微粒群優(yōu)化算法得到控制器參數(shù)kp1=-15.5326，kd1=-22.6401，kp2=137.5812，kd2=25.9820，α =0.8952，β =1.0384;同時(shí)，當(dāng)控制器為整數(shù)階PD控制器時(shí)，即α=β=1時(shí)kp1=-55.4252，kd1=-26.4270，kp2=103.8714，kd2=19.2023.系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 小車位移響應(yīng)曲線Fig.5 Response curve of cart displacement

從仿真曲線可以看出，使用分?jǐn)?shù)階PDμ控制器小車的位移在較短的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而且超調(diào)小;擺桿角度響應(yīng)速度快，超調(diào)小。

圖6 擺桿角度響應(yīng)曲線Fig.6 Response curve of swing link angle

5 結(jié)論

采用雙回路控制系統(tǒng)構(gòu)建輸出反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階PDμ控制器應(yīng)用到單級(jí)倒立擺系統(tǒng)，研究了輸出反饋分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，對(duì)于單級(jí)倒立擺系統(tǒng)，雙回路分?jǐn)?shù)階PDμ控制較整數(shù)階PD控制，收斂速度快，振蕩小，能取得更好的控制效果。

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