非線性中立型變時滯微分方程解的零點分布

孟智娟，楊 軍

(1.太原科技大學應用科學學院，太原 030024；2.燕山大學理學院，河北 秦皇島 066004)

近年來，對時滯微分方程和中立型微分方程振動解的零點分布及零點個數(shù)進行了許多研究[1-10]，并獲得了許多很多的結論，但幾乎都是對單個常時滯線性微分方程的零點距進行了估計，對具有多個變時滯非線性微分方程振動解的零點分布研究結果寥寥無幾，本文考慮微分方程：

(1)

其中:

P(t),Qi(t),σi(t)∈C([t0,+∞],R+),τ∈R+

(2)

解的零點分布，對其相鄰零點間的距離進行了估計，并改進和推廣了已有的一些的結果。

1 引理

首先，如文獻[3]中，定義序列{an(ρ)}，0<ρ<1，如下:

a0(ρ)=1,an+1(ρ)=eρan(ρ),n=1,2,…

(3)

(4)

再定義序列{bm(ρ)},0<ρ<1如下:

(5)

易證，0<ρ<1時，bm+1(ρ)

(6)

為了證明本文的結論，我們用到以下的引理。

考慮微分不等式:

(7)

引理1假設Qi(t)，σi(t)∈C([t0,+∞],R+),i=1,2,…,m,x(t)是不等式(7)在[t0,+∞]上的解，若存在t1≥t0,0<ρ<1，使得:

(8)

且存在T0≥t1，T≥T0+3σ1,使x(t)在[T0,T]上恒為正，則對任意n≥1,T-(2+n)σ0≥T0有:

(9)

證：由(7)得：

(10)

故x(t)在[T0,T-σ0]上不減，因此有:

(11)

當T0≤t≤T-3σ0時，式(7)兩邊除以x(t)并從t到t+σ0積分得:

(12)

ρa0(ρ)

引理2假設Qi(t),σi(t)∈C([t0,+∞),R+)，i=1,2,…m,x(t)是不等式(7)在[t0,+∞)上的解，若存在t1≥t0，0<ρ<1,使得:

(13)

(14)

且存在T0≥t1+σ1，正整數(shù)N≥4使x(t)在[T0,T0+Nσ0]上恒為正，則對任意m≤N-3有:

(15)

t1+σ0

(16)

由t-σ0≤s≤t,知t≤s+σ0≤t+σ0≤T0+(N-2)σ0,(7)式從t到s+σ0積分得:

由(10)式知x(u+σi(u))在T0≤u≤T0+(N-2)σ0上不減，聯(lián)立(14)式得:

(17)

由(16)，(17)兩式得：

因x(λt)≤x(t)，則:

(18)

又t∈[T0+σ0,T0+(N-3)σ0]時，x(t-σ0)>0，由(18)式得:

(19)

當T0+2σ0≤t≤T0+(N-3)σ0時，易知T0+σ0≤t-σ0≤T0+(N-4)σ0，由(19)得:

代入(18)式得:

因此:

重復上述過程，得:

(20)

2 主要結果

定理1假設(2)成立，且Qi(t),σi(t)是以τ為周期的函數(shù)。

(21)

記Ri(t)=P(t+σi(t)),i=1,2,…,m

P(t)∈C′([t0,+∞),R+),

(22)

且存在t1≥t0使得:

(23)

則對任意T≥t1，方程(1)在[T,T+3σ0-τ]上至少存在一個零點。

證明：否則，不失一般性，設方程(1)的解x(t)>0，t∈[T,T+3σ0-τ]為方便起見，下記:

z(t)=x(t)+P(t)x(t+τ)

(24)

則z(t)>0,t∈[T,T+3σ0-2τ]

(25)

(26)

(27)

(28)

則w(t)>0,t∈[T,T+3(σ0-τ)]

(29)

(30)

由式(26)和式(28)知:

t∈[T,T+2(σ0-τ)]

由式(30)知：

則有:

(31)

(31)式從T到T+σ0-τ積分得:

w(T+σ0-τ)≥w(T)+w(T+σ0-τ)

即w(t)≤0，產生矛盾，證畢。

定理2假設式(2)，式(21)，式(22)成立，存在t1≥t0和正常數(shù)ρ，1/e<ρ<1,使得:

進一步設:

t1≤t≤s+σ0-τ≤t+σ0-τ

則對任意的T≥t1+σ0-τ，方程(1)的解x(t)在[T,T+2σ0+K(σ0-τ)]上至少存在一個零點，這里:

定理3假定式(2)，式(21)，式(22)和式(33)成立，且存在t1≥t0和正常數(shù)ρ，0<ρ≤1/e,使(32)式成立，進一步假設存在序列{Ti}，Ti→∞,i→+∞使得:

其中a(ρ)是方程(4)在[1,e]上的實根.

定理2，定理3證明略，由引理1，引理2及定理1容易得證，事實上，定理1，2，3給出了方程(1)解振動的充分條件。

參考文獻：

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