不穩(wěn)定時(shí)滯過程的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器設(shè)計(jì)

王惠芳，趙志誠，張井崗(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

開環(huán)不穩(wěn)定過程在工業(yè)領(lǐng)域中普遍存在，如連續(xù)攪拌反應(yīng)釜、聚合反應(yīng)器等，不穩(wěn)定極點(diǎn)的存在使得系統(tǒng)難以控制，尤其當(dāng)不穩(wěn)定過程又含有時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的相位裕度減小，從而進(jìn)一步增加了控制的難度。近年來，針對開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)滯過程，國內(nèi)外眾多學(xué)者在控制方法的研究上開展了大量的工作，取得了豐富的成果。文獻(xiàn)[1]對控制能量存在約束條件的一類不穩(wěn)定時(shí)滯過程探討了最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法，文獻(xiàn)[2]針對不穩(wěn)定時(shí)滯過程提出了一種基于靈敏度指標(biāo)的PID控制器整定方法，有效地增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，文獻(xiàn)[3]采用多項(xiàng)式擬合過程的時(shí)滯環(huán)節(jié)，并通過狀態(tài)反饋方法鎮(zhèn)定不穩(wěn)定過程，在此基礎(chǔ)上給出了內(nèi)模PID控制器參數(shù)的解析式，文獻(xiàn)[4]提出了一種改進(jìn)的內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)，給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定判定定理，并基于系統(tǒng)閉環(huán)性能和相角裕度，實(shí)現(xiàn)了控制器參數(shù)的整定。文獻(xiàn)[5]提出一種基于靈敏度函數(shù)的二自由度PID控制器整定策略但同時(shí)增加了成本。另外，隨著分?jǐn)?shù)階控制理論研究的不斷深入，分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)的靈活性以及對系統(tǒng)性能的改善使其越來越受到控制界的廣泛關(guān)注，針對不穩(wěn)定時(shí)滯過程，文獻(xiàn)[6]提出了一種分?jǐn)?shù)階PDμ控制器設(shè)計(jì)方法，并根據(jù)D分割技術(shù)實(shí)現(xiàn)了控制器參數(shù)的整定，文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的解析整定規(guī)則。但這兩種方法仍然存在著整定復(fù)雜的缺陷，且控制系統(tǒng)性能還有待進(jìn)一步提高。

本文針對不穩(wěn)定過程提出了一種設(shè)定值加權(quán)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)方法。首先利用比例環(huán)節(jié)構(gòu)成的內(nèi)環(huán)反饋鎮(zhèn)定不穩(wěn)定過程，然后基于鎮(zhèn)定后的等效過程模型設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，克服了控制器直接控制不穩(wěn)定過程的不足。仿真結(jié)果表明了所提方法的有效性。

1 不穩(wěn)定過程的鎮(zhèn)定

在工業(yè)過程中，典型的一階不穩(wěn)定時(shí)滯過程模型為：

(1)

式中，K為過程增益；T為時(shí)間常數(shù)；L為時(shí)滯時(shí)間。

采用比例控制器對不穩(wěn)定時(shí)滯過程進(jìn)行鎮(zhèn)定的控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中Gp(s)為不穩(wěn)定過程，G(s)為鎮(zhèn)定后的等效過程模型，K1為內(nèi)環(huán)比例控制器，C(s)為分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，R(s)、Y(s)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出，N(s)為輸入擾動(dòng)。

圖1 不穩(wěn)定過程控制結(jié)構(gòu)圖

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得等效過程的模型:

(2)

對式(2)分母中的時(shí)滯項(xiàng)用一階泰勒公式e-Ls≈1-Ls逼近后得G(s)的近似表達(dá)式：

(3)

為了保證G(s)的穩(wěn)定性，由Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)可知內(nèi)環(huán)比例控制器的增益K1需滿足條件：

(4)

式中，Kmin和Kmax分別為K1的最小值和最大值。

針對式(4)，文獻(xiàn)[7]給出了滿足最優(yōu)增益裕度的比例控制器增益為：

(5)

將式(5)帶入式(3)得:

(6)

2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器是整數(shù)階PID控制器一般化形式的推廣，其數(shù)學(xué)模型為：

(7)

式中，Kp、Ti、Td分別為比例、積分和微分增益，λ和μ分別為積分階次和微分階次。觀察上式可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)λ=μ=0，即C(s)為P控制器；當(dāng)λ=0，μ=1，C(s)為PD控制器；當(dāng)λ=1，μ=0，C(s)為PI控制器；當(dāng)λ=μ=1，C(s)為PID控制器。與傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器相比，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器多了積分階次λ和微分階次μ兩個(gè)參數(shù)，因此整定較為復(fù)雜。

為避免純微分運(yùn)算，工程上常常采用一種改進(jìn)結(jié)構(gòu)的PID控制器[9]:

(8)

式中，N為常數(shù)，其取值范圍為[1，33].

基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，將式(8)中的微積分階次推廣至分?jǐn)?shù)，得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器：

(9)

另外，考慮設(shè)定值加權(quán)方法可以有效的減少系統(tǒng)超調(diào)量[7，10-11]，進(jìn)一步改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，因此可以在式(8)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)一種設(shè)定值加權(quán)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器：

(10)

式中，β為設(shè)定值加權(quán)系數(shù)。

由式(10)可以看出，除了N之外，設(shè)定值加權(quán)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器中包含6個(gè)待整定參數(shù)，文獻(xiàn)[6]針對式(6)所示的穩(wěn)定的一階時(shí)滯過程，基于最大靈敏度指標(biāo)和最小化積分絕對誤差(IAE)指標(biāo)，給出了一種如下設(shè)定值加權(quán)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)整定方法：

(11)

因此，本文將此控制器參數(shù)整定方法推廣應(yīng)用于不穩(wěn)定時(shí)滯過程設(shè)定值加權(quán)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)中。

3 仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，基于Matlab平臺進(jìn)行仿真分析，并與文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行對比。

例1：考慮文獻(xiàn)[2]中不穩(wěn)定時(shí)滯過程：

(12)

利用本文方法，根據(jù)式(5)得內(nèi)環(huán)比例控制器增益K1=0.5，同時(shí)根據(jù)式(6)得等效的穩(wěn)定時(shí)滯過程參數(shù)K′=4，T′=2.根據(jù)式(11)，可得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.199 5，Ti=0.936 6，Td=0.561 0，β=1.016 3，λ=1，μ=1.1.將參數(shù)代入式(10)，并取參數(shù)N=30，得Csp(s)控制器；文獻(xiàn)[11]針對此過程設(shè)計(jì)了PID控制器，其參數(shù)分別為Kp=0.655，Ti=0.060 1，Td=0.49.在t=90 s時(shí)，加入幅值為+0.2的階躍輸入擾動(dòng)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖2所示。由圖可見本文方法可使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，并能快速抑制擾動(dòng)。

圖2 例1控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，假設(shè)過程增益發(fā)生-10%的攝動(dòng)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3所示。可以看出本文方法設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)攝動(dòng)不敏感，具有更好的魯棒性。

例2：考慮文獻(xiàn)[7]中不穩(wěn)定過程：

(13)

同樣利用本文方法，內(nèi)環(huán)比例控制器增益K1由式(5)為2.236 1，由式(6)等效過程模型參數(shù)系統(tǒng)增益K′取0.809 0，時(shí)間常數(shù)T′取0.447 2.根據(jù)式(11)，可得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.851 8，Ti=0.198 0，Td=0.098 6，β=0.970 0，λ=1，μ=1.1，取參數(shù)N=30，得Csp(s)控制器，而利用文獻(xiàn)[12]方法得出的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)為Kp=0.254 6，Ti=0.437 1，Td=0.093 0，λ=1.480 1，μ=0.981 0.分別用這兩種控制器對該系統(tǒng)進(jìn)行控制，其單位階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。從圖中可以看出本文設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器可以使系統(tǒng)獲得更好跟蹤特性。與文獻(xiàn)所設(shè)計(jì)的控制器相比，其閉環(huán)系統(tǒng)輸出超調(diào)小，震蕩少，系統(tǒng)反應(yīng)快，調(diào)節(jié)時(shí)間短，表現(xiàn)出了很好的動(dòng)靜態(tài)性能。當(dāng)t=40 s時(shí)，加入幅值為+0.2階躍輸入擾動(dòng)，可見本文方法可以更好地抑制干擾，具有良好的控制特性。

圖3 例1模型失配情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

圖4 例2 控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

圖5 例2模型失配情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

同樣驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，在過程增益發(fā)生-10%攝動(dòng)的情況下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖5所示?？梢钥闯霰疚乃O(shè)計(jì)控制器的閉環(huán)輸出只是超調(diào)有微小增大，調(diào)節(jié)時(shí)間和系統(tǒng)反應(yīng)速度基本上沒有差別。與文獻(xiàn)控制器相比，本文控制器具有更好的魯棒效果。

4 結(jié)論

針對工業(yè)過程中具有代表性的一階不穩(wěn)定時(shí)滯過程，給出了一種基于設(shè)定值加權(quán)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器設(shè)計(jì)方法。仿真結(jié)果表明：本文設(shè)計(jì)方法簡單有效，可使不穩(wěn)定過程獲得較快的設(shè)定值跟蹤特性、擾動(dòng)抑制特性，同時(shí)提高了系統(tǒng)克服參數(shù)變化的魯棒性。

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