雙材料界面裂紋奇異性及應(yīng)力強(qiáng)度因子

劉曉紅，李俊林，謝秀峰，李沐陽(yáng)(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

1 新應(yīng)力函數(shù)

如圖1所示，y>0部分為第一種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E11,E12,v11,v12,μ1；y<0部分為第二種正交異性材料，其材料工程常數(shù)為E21,E22,v21,v22,μ2；x≤0，y=0為界面裂紋；x>0，y=0為材料粘接界面；r和θ為從裂紋邊緣起度量的極坐標(biāo)。

應(yīng)力函數(shù)Uj(j=1,2)滿(mǎn)足控制方程：

(1)

圖1 正交異性雙材料半無(wú)限界面裂紋模型

系數(shù)(b11)j,(b12)j,(b22)j,(b66)j分別為：

連續(xù)邊界條件為：

θ=±π:(σθ)1=(σθ)2=0,(τrθ)1=(τrθ)2=0

(2)

θ=0:(σθ)1=(σθ)2,(τrθ)1=(τrθ)2

(3)

θ=0:(ur)1=(ur)2,(uθ)1=(uθ)2

(4)

令ηjk滿(mǎn)足控制方程組(1)的特征方程組：

(5)

此方程組的判別式有三種情形，分別為：△1>0,△2>0；△1<0,△2<0；△1>0,△2<0.本文僅討論判別式△1>0,△2>0情況(其他兩種情形可類(lèi)似討論)。

此時(shí)方程組(5)的根為：

由控制方程(1)及界面裂紋邊界條件(2)-(4)，構(gòu)造含有復(fù)奇異指數(shù)的新應(yīng)力函數(shù)為：

(6)

其中λ為未知的復(fù)奇異指數(shù)，Ajk、Bjk為待定的復(fù)參數(shù)。

(7)

2 四種奇異性

對(duì)方程組的系數(shù)行列式進(jìn)行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q后，它們系數(shù)矩陣的行列式均為：

(8)

(9)

為使線性方程組有一組非零解，則系數(shù)行列式必須為0.

若sinλπ=0時(shí)，則λ=n(n=0,1,2…).因與復(fù)合材料工程常數(shù)無(wú)關(guān)，舍去此λ.

(10)

由式(10)可知c2>0，c4>0，以下通過(guò)c1c3中上下材料的不同討論復(fù)奇異指數(shù)λ的取值。

1)當(dāng)c1c3=0時(shí)，分情況討論復(fù)奇異指數(shù)λ的值。

(11)

圖2 半無(wú)限裂紋加載荷

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

如圖2所示，半無(wú)限界面裂紋在x=0，y=h處受集中復(fù)載荷R=Q+iP作用，其邊界條件為：

(12)

由彈性力學(xué)知：

(13)

Re(Ajk+Bjk)=ajkRe(A22+B22),Im(Ajk+Bjk)=bjkIm(A22+B22)

(14)

由式(6)，式(12)-(14)可求得自由量Re(A22+B22)，Im(A22+B22)的表達(dá)式。

結(jié)合式(13)，可得應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式為：

(j=1,2)

(15)

Re(Ajk+Bjk)=-ajkIm(A22+B22),Im(Ajk+Bjk)=bjkIm(A22+B22),(j=1,2；k=1,2)

(16)

由式(6)，式(12)-(13)，結(jié)合式(16)可得自由未知量Im(A22+B22)的表達(dá)式。

結(jié)合式(13)，可得應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式為：

(17)

(18)

(19)

由式(6)、式(13)，結(jié)合式(19)，可得應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式為：

(20)

(21)

結(jié)合式(13)，定義應(yīng)力強(qiáng)度因子[3]為：

(22)

p=aj1+bj1+aj2+bj2,q=βj1aj1-βj1bj1+βj2aj2-βj2bj2

由式(6)、式(13)，結(jié)合式(22)，可得應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式為：

(23)

4 四種奇異性算例分析

由以上推導(dǎo)，選取適當(dāng)?shù)恼划愋詮?fù)合材料彈性工程常數(shù)[10]，進(jìn)行算例分析如下，結(jié)果驗(yàn)證了正交異性雙材料半無(wú)限界面裂紋四種應(yīng)力奇異性的存在。

表1 材料工程參數(shù)

表2 四種奇異指數(shù)

注：表中數(shù)據(jù)精確到千分位。

5 結(jié)論

本文在含有實(shí)奇異指數(shù)的應(yīng)力函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了含有復(fù)奇異指數(shù)的新應(yīng)力函數(shù)，采用復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法，對(duì)正交異性雙材料界面裂紋應(yīng)力奇異性問(wèn)題進(jìn)行了研究。系統(tǒng)地討論了雙材料工程參數(shù)與應(yīng)力奇異性之間的關(guān)系。主要結(jié)果如下：

(2)在給定載荷條件時(shí)，得出了四種奇異性下應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式。

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