無限大壓電材料薄板Ⅰ型裂紋斷裂分析

解海玲，張雪霞，趙文彬，余路娟(太原科技大學(xué)，太原 030024)

壓電材料在發(fā)生機(jī)械變形時(shí)產(chǎn)生電場，當(dāng)受到電場作用時(shí)發(fā)生機(jī)械變形，因其具有這種獨(dú)特的機(jī)電耦合性質(zhì)，被廣泛用于制作高精度傳感器、制動(dòng)器、高精度位移器等電子器件中，還應(yīng)用于精密儀器、航天航空、自動(dòng)控制等領(lǐng)域。因此，隨著這種具有智能特性的壓電材料的快速發(fā)展，壓電材料已成為現(xiàn)代工程材料的一個(gè)重要的分支。壓電材料作為智能結(jié)構(gòu)器件的核心材料，其力電耦合靜動(dòng)力特性的研究得到了普遍的重視。但是壓電材料自身有很大的脆性，在制造和使用過程中不可避免地出現(xiàn)缺陷(如裂紋、夾雜、孔洞等)，往往會(huì)導(dǎo)致材料過早地失效或者發(fā)生破壞，從而影響智能結(jié)構(gòu)的性能和可靠性，因此研究壓電材料的斷裂問題有十分重要的意義。

Parton[1]從線性壓電本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，研究了遠(yuǎn)場作用機(jī)械載荷時(shí)壓電介質(zhì)中的有限長裂紋的平面應(yīng)變問題，得到了廣義的Griffith能量釋放率。胡克強(qiáng)[2]基于線性壓電理論，采用電絕緣邊界條件，對壓電板條中的張開型(Ⅰ型)裂紋問題進(jìn)行了求解，得到了裂紋尖端場的強(qiáng)度因子。Sosa[3]分析了一個(gè)含有缺陷的二維橫觀各向同性壓電體，求出了在不可導(dǎo)通邊界條件下無限大壓電平面含有橢圓孔口時(shí)的平面電彈性問題的精確解析解。Yang[4]采用可導(dǎo)通邊界條件給出了無限大壓電介質(zhì)中Ⅰ型裂紋問題的封閉解。李堯臣[5]在壓電材料平面問題復(fù)變函數(shù)形式的通解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了裂紋問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子的一般表達(dá)式。郭俊宏[6]研究了含周期性裂紋正交各向異性板平面問題，對平面問題的應(yīng)力場進(jìn)行了分析。陳夢成[7]討論了不可導(dǎo)通情況下三維橫觀各向同性壓電材料中受拉伸和電載荷作用的平片裂紋Ⅰ型斷裂力學(xué)問題，得到了以裂紋面位移間斷和電勢間斷表示的應(yīng)力和電位移強(qiáng)度因子、能量釋放率表達(dá)式。Gao[8]用復(fù)勢的方法研究了含橢圓形孔的壓電材料受到遠(yuǎn)場均勻載荷的二維問題，得到滿足電邊界條件的橢圓孔內(nèi)、外的封閉解和當(dāng)橢圓孔變?yōu)榱鸭y時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子。楊麗敏[9]利用Lekhnitskii理論和Stroh理論的相互聯(lián)系，把已知的基于Lekhnitskii理論平面應(yīng)變結(jié)果轉(zhuǎn)化為Stroh理論形式的結(jié)果，導(dǎo)出壓電材料平面應(yīng)變問題的尖端場Williams形式的展開式，采用半權(quán)函數(shù)法計(jì)算有限大壓電體平面問題應(yīng)力和電位移強(qiáng)度因子。劉新民[10]用復(fù)變函數(shù)的方法，研究了壓電材料平面可導(dǎo)通裂紋的機(jī)電耦合場及其奇異性。趙文彬[11]在彎扭載荷作用下，利用復(fù)變函數(shù)方法研究線彈性各向異性纖維復(fù)合材料板裂紋尖端附近的應(yīng)力場、位移場，并且推出裂紋尖端附近的應(yīng)力和位移計(jì)算公式。馮中華[12]等人利用復(fù)變函數(shù)方法，半逆解法及待定系數(shù)法，研究了壓電材料的共線周期性裂紋問題，給出了在電不可導(dǎo)通邊界條件下的應(yīng)力、電位移、應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子和機(jī)械應(yīng)變能釋放率的解析解。

近年來，研究壓電材料斷裂問題的文獻(xiàn)很多，所用的方法也很多。但是用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法來研究壓電材料斷裂問題的文獻(xiàn)還很少，此方法比已有文獻(xiàn)中所用的方法簡單，而且能有效地解決壓電材料的一類問題。

本文研究了在無窮遠(yuǎn)處平面應(yīng)力和電位移共同作用下，含中心裂紋的無限大橫觀各向同性壓電材料薄板的平面問題。運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法，選取適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)，得到在不可導(dǎo)通邊界條件下裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子、應(yīng)力場、電位移場和位移場、電勢場的計(jì)算公式。

1 壓電材料薄板的控制方程

圖1 含中心裂紋的無限大壓電材料薄板

考慮一個(gè)含有長為2a的中心裂紋的無限大橫觀各向同性壓電材料薄板，在無窮遠(yuǎn)處受到平面應(yīng)力σ和平面內(nèi)電位移D共同作用。如圖1所示。

本文考慮的是橫觀各向同性壓電材料薄板，缺陷位于x1ox3平面，極化方向沿著x3軸的方向，在忽略體力和自由電荷的情況下，對應(yīng)的平面問題的基本方程如下：

本構(gòu)方程：εij=sijklσkl+gkijDk,Ei=-giklσkl+βikDk

(1)

(2)

其中σij為應(yīng)力；Di為電位移；εij為應(yīng)變；ui為位移；Ei為電場強(qiáng)度；φ為電勢；sijkl、gkij、βik分別為彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、介電常數(shù)；i,j,k=1,2,3，式(2)中ui,j、uj,i、φ,i中小標(biāo)中的逗號(hào)表示求偏導(dǎo)。

在平面應(yīng)變問題下，假設(shè)ε22=ε32=ε12=E2=0[8]，

(3)

將式(3)代入式(1)中得到平面應(yīng)變問題下的本構(gòu)方程：

ε11=a11σ11+a12σ33+b21D3；

(4)

ε33=a12σ11+a22σ33+b22D3；

(5)

2ε31=a33σ31+b13D1；

(6)

E1=-b13σ31+δ11D1；

(7)

E3=-b21σ11-b22σ33+δ22D3.

(8)

(9)

(10)

分別由式(9)、式(10)消去u1，u3和φ得到如下方程：

(11)

引入函數(shù)U=U(x1,x3)和Φ=Φ(x1,x3)，則:

(12)

由式(4)-式(8)及式(11)-式(12)，可得如下偏微分方程組：

(13)

利用式(13)，消去Φ(x1,x3)得:

(14)

這是一個(gè)六階常系數(shù)齊次線性偏微分方程，對于圖1所示的Ⅰ型裂紋，采用不可導(dǎo)通的邊界條件，即認(rèn)為在裂紋面處電位移為0.邊界條件[2]如下：

x3→∞∶σ33=σ，D3=D,σ31=0

(15)

x3=0,|x1|

(16)

假設(shè)應(yīng)力函數(shù)：

U(z)=U(x1+sx3)

(17)

將式(17)代入到式(14)中得到特征方程：

a11δ11s6+(a11δ22+2a12δ11+a33δ11+b132+2b13b21+b212)s4+
(a22δ11+2a12δ22+a33δ22+2b22b21+2b22b13)s2+(a22δ22+b222)=0

(18)

(19)

其中α2,β1,β2均為實(shí)常數(shù)。

2 待定系數(shù)法

(20)

(21)

其中Uj應(yīng)力函數(shù):

(22)

將式(20)-式(22)代入到式(12)，得到應(yīng)力場和電位移場：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

當(dāng)x3→∞時(shí)，Uj=σ

(30)

將式(22)-式(27)、式(29)、式(30)代入到式(15)、式(16)得到如下方程組：

(31)

解方程組式(31)得:

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

3 壓電材料裂紋尖端的應(yīng)力場和位移場

(38)

將Zj=x1+sjx3及式(38)代入到式(26)，則在裂紋尖端附近有:

(39)

由式(17)、式(21)-式(25)式及式(39)得應(yīng)力場和電位移場：

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

將式(40)-式(44)代入到式(4)、式(5)、式(7)得應(yīng)變?chǔ)?1、ε33和電場強(qiáng)度E1如下：

(45)

(46)

(47)

由式(45)-式(47)積分得位移場和電勢場的計(jì)算公式如下：

(48)

(49)

(50)

4 結(jié)論

運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法，研究了含中心裂紋的無限大橫觀各向同性壓電材料薄板在無窮遠(yuǎn)處受平面應(yīng)力和電位移共同作用下的問題，得到不可導(dǎo)通邊界條件下Ⅰ型裂紋尖端附近場問題的解?？傻萌缦陆Y(jié)論：

1)得到不可導(dǎo)通邊界條件下Ⅰ型裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子；

2)得到不可導(dǎo)通邊界條件下Ⅰ型裂紋尖端附近應(yīng)力場、電位移場、位移場和電勢場的表達(dá)式，并從表達(dá)式可以看出，它們均可以由應(yīng)力強(qiáng)度因子表示。

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