變分不等式與非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近問題

洪 澤，郝 彥

（浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山 316022）

1 引言和預(yù)備知識(shí)

設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,C是H的非空閉凸子集.S:C→C是非線性映像,T:C→H是非線性映像.用F(S)表示S的不動(dòng)點(diǎn)集.

若‖Sx-Sy‖≤‖x-y‖,?x,y∈C,稱S是非擴(kuò)張映像.

若〈Tx-Ty,x-y〉≥0,?x,y∈C,稱T是單調(diào)的.

若存在常數(shù) t＞0,滿足〈Tx-Ty,x-y〉≥t‖x-y‖2,?x,y∈C,稱 T 是強(qiáng)單調(diào)的.

若存在常數(shù)t＞0,滿足〈Tx-Ty,x-y〉≥t‖Tx-Ty‖2,?x,y∈C,稱T是逆強(qiáng)單調(diào)的,也稱為t逆強(qiáng)單調(diào)的.

變分不等式的求解是最優(yōu)化方法的一個(gè)重要分支.人們對(duì)變分不等式的興趣始于對(duì)力學(xué)問題的研究.到了上個(gè)世紀(jì)60年代,變分不等式才作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科被人們廣泛研究.

經(jīng)典變分不等式問題是求u∈C,滿足〈Tu,v-u〉≥0,?v∈C(1.1).本文,用VI(C,T)表示問題(1.1)的解集.顯然,變分不等式問題等價(jià)于不動(dòng)點(diǎn)問題.u∈C是問題(1.1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)u是映像PC(I-λ)T的不動(dòng)點(diǎn),其中λ>0.

最近,許多專家學(xué)者對(duì)變分不等式問題(1.1)的解集和Hilbert空間中的非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)解集的公共元進(jìn)行了廣泛研究,詳見參考文獻(xiàn)[1-3].

令A(yù),B:C→H是兩個(gè)非線性映像,求（x*,y*）∈C×C,滿足

其中λ,η是常數(shù).

2008年,CENG等[2]研究了變分不等式(1.2)的迭代逼近問題,建立了問題(1.2)和一個(gè)非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)問題的強(qiáng)收斂定理.

本文受CENG等的啟發(fā),研究變分不等式與非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近問題.

為了證明本文的主要結(jié)論,我們需要以下引理.

引理1.1[2]給定x*,y*∈C,其中y*=PC(x*-ηBx*),(x*,y*)是問題（1.2）的解當(dāng)且僅當(dāng)x*是映像D:C→C的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),其中 D(x)=PC[PC(x-ηBx)-λAPC(x-ηBx)].

引理1.2[4]設(shè)｛xn｝｛,yn｝是Banach空間X的有界序列,｛βn｝是[0,1]上的序列且假設(shè)對(duì)于所有正整數(shù)

引理1.3[5]假設(shè)｛αn｝是非負(fù)實(shí)數(shù)序列,滿足 αn+1≤(1-γn)αn+δn,其中｛γn｝是(0,1)中的序列,當(dāng)｛γn｝｛,δn｝滿足如下條件時(shí)

引理1.4[5]令C是嚴(yán)格凸Banach空間E的閉凸子集,｛Tn｝是C上的非擴(kuò)張映像.的,正數(shù)序列｛λn｝滿足則對(duì)于是有定義的,非擴(kuò)張的且

2 主要結(jié)論

定理2.1設(shè)C是實(shí)Hilbert空間H的一個(gè)非空閉凸子集,T,A:C→H分別是t,a的逆強(qiáng)單調(diào)映像.令S:C→C是具不動(dòng)點(diǎn)的非擴(kuò)張映像.假設(shè)Ω∶VI(C,T)∩F(S)∩F(D)≠φ,其中映像D由引理1.1定義.令u∈C,x1∈C,序列｛xn｝由下式生成

其中｛αn｝,｛βn｝,｛γn｝是[0,1]上的序列,μ1,μ2,μ3∈[0,1]滿足μ1+μ2+μ3=1,λ∈[0,2a],η∈[0,2b],r∈[0,2t].當(dāng)上述序列滿足以下條件

因?yàn)锳是a逆強(qiáng)單調(diào)映像,于是對(duì)于任意的x,y∈C,有

因此I-λA是非擴(kuò)張映像.同理可證I-ηA,I-rT也是非擴(kuò)張映像.

因VI(C,T)=F(PC(I-rT)),PC(I-rT)是非擴(kuò)張映像可得FP(F,T)是閉凸的.

由引理1.1知D=PC[PC(I-ηA)-λAPC(I-ηA)]=PC(I-ηA)PC(I-ηA).則映像D是非擴(kuò)張映像,即F(D)是閉凸的,于是PΩu有定義.

即｛xn｝是有界的.同理可證｛un｝,｛vn｝,｛yn｝有界.

由(2.1)式有

因?yàn)椋鹸ni｝有界,則存在｛xni｝的子序列｛xnij｝弱收斂至ξ.不失一般性,不妨設(shè)ξ.

定義映像 Q：C→C 滿足 Qx=μ1Sx+μ2Trx+μ3PC(I-λA)PC(I-μA)x,?x∈C.

由引理1.4可知Q是非擴(kuò)張映像,滿足

最后注意到

[1]CENG L C,YAO J C.Relaxed viscosity approximation methods for fixed point problem and variational inequality problems[J].Nonlinear Anal,2008,69:3 299-3 309.

[2]CENG L C,WANG C Y,YAO J C.Strong convergence theorems by a relaxed extragradient method for a general system of variational inequalities,Math[J].Methods Oper Res,2008,67:375-390.

[3]IIDUKA H,TAKAHASHi W.Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and inverse-strongly monotone mappings[J].Nonlinear Anal,2005,61:341-350.

[4]SUZUKI T.Strong convergence of Krasnoselskii and Mann′s type sequences for one-parameter nonexpansive semigroups without Bochne integrals[J].J Math Anal,2005,305:227-239.

[5]XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J London Math Soc,2002,66:240-256.