中學(xué)數(shù)學(xué)中概率的幾個(gè)要點(diǎn)

王鵬彥

摘 要：概率是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其基礎(chǔ)知識(shí)初步揭示了偶然現(xiàn)象中存在的必然規(guī)律。對(duì)概率這一概念的理解以及與之相關(guān)的事件的理解是解決概率問題的關(guān)鍵，同時(shí)也是學(xué)習(xí)和教學(xué)中的難點(diǎn)之一。本文通過實(shí)例從不同的側(cè)面來說明在概率的學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的問題。

關(guān)鍵詞：概率 隨機(jī)事件 統(tǒng)計(jì)結(jié)果 隨機(jī)抽取

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（c）-0096-01

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，其基礎(chǔ)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容之一。由于在思考方法上，概率的基礎(chǔ)知識(shí)初步揭示偶然性中存在著必然性的規(guī)律，學(xué)生一開始接觸和學(xué)習(xí)，接受起來比較困難，尤其是對(duì)概率這一概念的理解和與概念相關(guān)的問題的思考解決中，常會(huì)出現(xiàn)困惑或錯(cuò)誤。本文通過實(shí)例從不同的側(cè)面來說明在概率的學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的問題。

1 從時(shí)空的角度理解概率的概念

在中學(xué)數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)理解，概率就是是表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的0到1之間的一個(gè)數(shù)，概率越接近于1則隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大，接近于0則隨機(jī)事件發(fā)生的可能性小。從時(shí)間的角度來說，已經(jīng)發(fā)生的事件屬于過去，尚未發(fā)生的事件屬于將來。從空間的角度來說，甲地的人對(duì)于乙地的（從時(shí)間上說相對(duì)已成為過去）某事件是否發(fā)生不知道，從而判斷其發(fā)生的可能性的大小也是有意義的。

例1：說昨天下雨的概率是0.9毫無意義，而說明天下雨的概率是0.9則表示明天下雨的可能性比較大。

例2：甲對(duì)乙說：昨天去年你在A地的概率是0.09。雖然事件已成為過去，但這一說法中的“概率”顯然是有意義的，甲認(rèn)為乙去年在A地的可能很小甚至不可能在A地。

2 計(jì)算概率的問題的關(guān)鍵

行為之前與之后的區(qū)別是解決計(jì)算概率的問題的關(guān)鍵在某些實(shí)際的問題中，會(huì)出現(xiàn)不同的時(shí)間更是解決問題的的關(guān)鍵，如果忽略了就很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例3：用一臺(tái)機(jī)床制造某種產(chǎn)品，制造的產(chǎn)品是次品的概率是0.03。在它的產(chǎn)品中任取1件來檢驗(yàn)，求是合格品的概率。

一種錯(cuò)誤的解法是：記事件為“取出的產(chǎn)品是合格品”，則“取出的產(chǎn)品是次品”為事件（即事件的對(duì)立事件），而P（）=0.03，所以P（）=1-P（）=1-0.03=0.97。表面看起來并沒有錯(cuò)，可是如果仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)P（）=0.03顯然不成立。這是因?yàn)椋?.03表示制造產(chǎn)品這一行為之前對(duì)隨機(jī)事件“制造的產(chǎn)品是次品”發(fā)生的可能性的大小，是機(jī)床制造出次品的可能性的大小，而P（）是制造產(chǎn)品這一行為發(fā)生之后隨機(jī)抽檢時(shí)隨機(jī)事件“取出的產(chǎn)品是次品”發(fā)生的可能性大小，是抽檢的產(chǎn)品是合格品的可能性的大小，所以兩者之間并沒有必然的聯(lián)系，因而也就不能把它們混為一談，“0.03”實(shí)際上對(duì)于解決問題沒有意義，甚至可以說是一個(gè)干擾因素。

正確的做法是：對(duì)于抽出的一件產(chǎn)品檢驗(yàn)，共有兩個(gè)結(jié)果，合格和不合格，而且兩者發(fā)生的可能性是相等的，因此P（）=0.5。也就是說這個(gè)問題實(shí)際上是等可能事件的概率的問題，題目中的前提“用一臺(tái)機(jī)床制造某種產(chǎn)品，制造的產(chǎn)品是次品的概率是0.03”僅僅只是說明了該機(jī)器制造的產(chǎn)品有合格品也可能有次品，因此，“從該機(jī)器制造的產(chǎn)品中任取一件檢驗(yàn)是合格品”是一個(gè)隨機(jī)事件。把問題稍作改動(dòng)，變?yōu)椤俺槌鰞杉a(chǎn)品檢驗(yàn)，是合格品的概率是多少？”則是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的問題，因?yàn)槌槌龅膬杉a(chǎn)品中的任意一件是合格品的概率都是0.5，對(duì)另一件是合格品的概率沒有任何影響，所以結(jié)果是0.25。

3 兩個(gè)區(qū)別

（1）統(tǒng)計(jì)結(jié)果與概率的區(qū)別。中學(xué)數(shù)學(xué)中的概率部分主要涉及的是概率的統(tǒng)計(jì)定義：實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)，某事件發(fā)生的頻率趨近于一個(gè)常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)叫做該事件發(fā)生的概率。在教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程中，經(jīng)常會(huì)忽略定義中的關(guān)鍵詞“實(shí)驗(yàn)次數(shù)無限增大時(shí)頻率趨近于常數(shù)”而簡(jiǎn)單的把頻率等同于概率，以至于解決問題時(shí)出錯(cuò)。這是因?yàn)轭l率畢竟只是統(tǒng)計(jì)結(jié)果，而概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的判斷。更重要的是統(tǒng)計(jì)結(jié)果是根據(jù)對(duì)樣本的分析而得出的對(duì)總體的估計(jì)，而概率通常只是對(duì)總體中的個(gè)體或是一個(gè)小容量的樣本的分析判斷。二者有本質(zhì)上的區(qū)別。

例4：對(duì)A地0到6歲的兒童統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，其中男孩占53%，女孩占47%。已知A地某戶有一個(gè)小孩（0～6歲），問這個(gè)小孩是女孩的概率是多少。

解：該地由于0～6歲的兒童中男孩占53%，女孩占47%，因此，A地該戶的小孩（0～6歲）是男孩的概率是53%，是女孩的概率是47%。這種做法把統(tǒng)計(jì)的結(jié)果等同成了隨機(jī)事件的概率，這顯然是不可取的。正確的做法是：該小孩是男孩和是女孩的可能性相等，是女孩的概率是0.5。由此可見，統(tǒng)計(jì)結(jié)果和與統(tǒng)計(jì)對(duì)象中某個(gè)個(gè)體相關(guān)的隨機(jī)事件的概率沒有聯(lián)系，因此，在解題過程中要格外重視題目中給出的是統(tǒng)計(jì)結(jié)果還是概率。

（2）隨機(jī)抽取和固定對(duì)象。

這里所說的隨機(jī)抽取指的是在所描述的所有對(duì)象中任意抽取一個(gè)或幾個(gè)，而固定對(duì)象指的是描述的對(duì)象中某個(gè)或幾個(gè)固定的個(gè)體，兩者之間有著明顯的區(qū)別。例4中的“兩個(gè)小孩”就是固定的對(duì)象，所以與統(tǒng)計(jì)的結(jié)果沒有關(guān)系，要求的只是他們都是女孩的概率。而下面的例5中的“兩個(gè)小孩”則是隨機(jī)抽取，于是統(tǒng)計(jì)的結(jié)果對(duì)解題就有不可或缺的意義了。

例5：對(duì)個(gè)A地0～6歲的兒童統(tǒng)計(jì)，結(jié)果男孩占53%，女孩占47%。從中抽出1名，問都是女孩的概率是多少。

解：隨機(jī)抽取時(shí)，每個(gè)小孩被抽到的可能是一樣的。而A地0～6歲的兒童統(tǒng)計(jì)結(jié)果是男孩占53%，女孩占47%，也就是說隨機(jī)抽取一個(gè)，是女孩的概率是47%。

從以上幾點(diǎn)可以看出，在理解和解決與概率有關(guān)的問題時(shí)，一要理解清楚隨機(jī)事件。二要弄清問題中的隨機(jī)事件的本質(zhì)特征，即問題是等可能事件的概率還是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率。三是弄清題目給出的條件與所求概率的事件的關(guān)系，否則很容易發(fā)生錯(cuò)誤。

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